Bac S - Métropole Juin 2011
- Détails
- Catégorie parente: Autour des maths
- Catégorie : Exercices Types
- Créé le lundi 7 novembre 2011 19:49
- Mis à jour le samedi 5 janvier 2013 19:31
- Écrit par David Zancanaro
Exercice 1
Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment.
Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à $10^{-4}$. Dans un pays, il y a 2% de la population contaminée par un virus.PARTIE A
On dispose d'un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes :
- La probabilité qu'une personne contaminée ait un test positif est de $0,99$ (sensibilité du test).
- La probabilité qu'une personne non contaminée ait un test négatif est de $0,97$ (spécificité du test).
On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population.
On note $V$ l'évènement " la personne est contaminée par le virus" et
$T$ l'évènement "le test est positif ".
$\overline{V}$ et $\overline{T}$ désignent respectivement les évènements contraires de $V$ et $T$.
- Préciser les valeurs des probabilités $P(V),\, P_{V}(T),\, P_{\overline{V}}(\overline{T})$. Traduire la situation à l'aide d'un arbre de probabilités.
- En déduire la probabilité de l'évènement $V \cap T$.
- Démontrer que la probabilité que le test soit positif est 0,0492.
- Justifier par un calcul la phrase : " Si le test est positif, il n'y a qu'environ 40% de " chances " que la personne soit contaminée ".
- Déterminer la probabilité qu'une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif.
- On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que les tirages sont indépendants. On appelle $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10 personnes.
PARTIE B
- Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
- Calculer la probabilité qu'il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10.
Correction :
PARTIE A- D'après l'énoncé, on a : $P(V)0,02~;~P_{V}(T)=0,99~;~P_{\overline{V}}(\overline{T})=0,97$.
- $P(V \cap T)=P_{V}(T)\times P(V)=0,99\times 0,02=0,0198$
- $T=(V\cap T)\cup\left(V\cap\overline{T}\right)$ (réunion d'événements incompatibles).Par conséquent : $P(V)=P(V\cap T)+P\left(V\cap \overline{T}\right)=P_{T}(V)\times p(T)+P_{\overline{V}}(T)\times P\left(\overline{V}\right)$ (formule des probabilités conditionnelles). Alors : $P(T)=0,99\times 0,02+0,03\times 0,98=0,0492$.
- Il faut calculer $P_{T}(V)$. Or : $P_{T}(V)=\dfrac{P(V\cap T)}{P(T)}=\dfrac{0,0198}{0,0492}\approx 0,402$, soit environ 40 %. Il n'y a bien qu'environ 40 % de " chances " que la personne soit contaminée ", sachant que le test est positif.
- La probabilité qu'une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif est $P_{(T)}\left(\overline{V}\right)=\dfrac{P\left(\overline{V}\cap\overline{T}\right)}{P(\overline{T})}=\dfrac{0,97\times 0,98}{1-0,0492}\approx 0,9997$, c'est-à-dire environ 99,97%.
- On a répétition de 10 épreuves identiques indépendantes à deux issues, donc $X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}(10~;~0,02)$.
- Pour tout $k$, ($0\leqslant k\leqslant 10$), on a $P(X=k)=\binom{10}{k}\times 0,02^k\times (1-0,02)^{10-k}$.