Introduction
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- Catégorie parente: Autour des maths
- Catégorie : Constructions à la règle et au compas
- Créé le lundi 6 juillet 2009 13:31
- Mis à jour le samedi 5 janvier 2013 19:31
- Écrit par Dwicky
La construction géométrique à la règle et au compas est un problème mathématique qui fascine depuis l'ancienneté.
Au quatrième siècle avant J.C, Platon eut une influence considérable sur l'utilisation de la règle et du compas. Il considérait que les figures géométriques tracées étaient des représentations imparfaite de la réalité. Les figures ne sont donc qu'un pâle reflet de la réalité qui, elle, appartient au monde des idées. Platon avait peu d'estime pour les instruments de construction géométrique, sauf pour deux, la règle et le compas, considérant que ces deux instruments étaient les seuls à pouvoir respecter la symétrie des configurations.
Au troisième siècle avant J.C, Euclide a fondé sa géométrie sur des axiomes qui assurent en particulier qu'il est toujours possible de tracer une droite passant par deux points donnés et qu'il est toujours possible de tracer un cercle de centre donné et passant par un point donné. La géométrie euclidienne est donc la géométrie des droites et des cercles, donc de la règle et du compas. L'intuition d'Euclide était que tout nombre pouvait être construit, ou "obtenu", à l'aide de ces deux instruments. Cette intuition va remettre en cause la définition même des nombres de l'époque, puisqu'il n'existait que des nombres rationnels (c'est à dire des nombres qui peuvent s'exprimer comme le quotient de deux nombres entiers). Cependant les nombres rationnels ne suffisent pas à exprimer toutes les longueurs ; le théorème de Pythagore permit notamment l'introduction d'un nouveau nombre, `sqrt 2` (obtenu comme étant la longueur de la diagonale d'un carré de coté 1), et il est facile de démontrer que ce nombre ne peut pas s'écrire comme le quotient de deux nombres entiers.
En fait, bien avant Euclide les mathématiciens grecs se sont intéressés à la règle et au compas et très vite se sont heurtés à de grandes difficultés. Dès le cinquième siècle avant J.C sont apparus des problèmes que l'on n'arrivait pas à résoudre à la règle et au compas, parmis ces problèmes nous étudierons l'histoire des plus célèbres la quadrature du cercle, la duplication du cube et la trissection de l'angle. Ensuite nous étudierons le problème des polygones réguliers.
Nous terminerons par l'étude de divers exercices.