\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex

\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{correction de l'innterrogation n$^{\circ}4$ \hfill Sujet A}}

\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}

\setcounter{section}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application. Une réponse même incomplète sera prise en compte dans l'évaluation.}}
\end{center}


\begin{exoi}\hfill (2 points)

\begin{footnotesize}
Déterminer l'ensemble de définition des fonctions $f_1$, $f_2$, $f_3$ et $f_4$ que voici :

\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item $f_1(x)=-x+8$

$D_{f_1}=\R$ puisqu'il n'y a aucun calcul interdit.
\item $f_2(x)=\dfrac{11}{2x-6}$

Il n'est pas possible de diviser par $0$, chose qui peut arriver lorsque $2x-6=0 \Longleftrightarrow 2x=6 \Longleftrightarrow x=3$. 

Ainsi :

$D_{f_2}=\R\textbackslash \{3\}$
\item $f_3(x)=x^2+2x-1$

$D_{f_3}=\R$ puisqu'il n'y a aucun calcul interdit.
\item $f_4(x)=\sqrt{x-1}$

Il n'est pas possible de calculer la racine d'un nombre strictement négatif, c'est-à-dire qu'il est absolument indispensable que $x-1\geq 0 \Longleftrightarrow x\geq 1$, par conséquent :

$D_{f_4}=[1;+\infty[$.
\end{enumerate}


\end{exoi}




\begin{exoi}\hfill (3 points)

\begin{footnotesize}
On s'intéresse à la fonction $f_1$ définie donc par $f_1(x)=-x+8$.

\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize  Calculer l'image de $1$ puis calculer $f(7)$.}

$$ f_1(1)=-1+8=7$$

$$f_1(7)=-7+8=1$$

\item {\footnotesize  Déterminer les antécédents éventuels de $16$.}

On résout l'équation : $-x+8=16 \Longleftrightarrow -x=8 \Longleftrightarrow x=-8$

16 admet pour antécédent $-8$. 
\item {\footnotesize Existe-t-il un nombre qui est son propre antécédent ?}

On résout l'équation $x=-x=8 \Longleftrightarrow 2x=8 \Longleftrightarrow x=4$

Vérifions : $f(4)=-4+8=4$. 

$4$ est donc le seul nombre à être son propre antécédent.
\end{enumerate}
\end{exoi}


\begin{exoi}\hfill (3 points)

\begin{footnotesize}
On s'intéresse à la fonction $f_2$ définie par $f_2(x)=\dfrac{11}{2x-6}$ puis on considère les points $A(4;5.5)$ et $B(-2;0)$, on note $\mathscr C_{f_2}$ la courbe représentant la fonction $f_2$ dans un repère du plan.

\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item{\footnotesize  Le point $A$ est-il un point de $\mathscr C_{f_2}$  ?}

Si tel est le cas alors $f_2(4)=5,5$

$f_2(4)=\dfrac{11}{2\times 4-6}=5,5$

$A$ est bien un point de $\mathscr C_{f_2}$
\item {\footnotesize Le point $B$ est-il un point de $\mathscr C_{f_2}$  ?}

Si tel est le cas alors $f_2(-2)=0$

$f_2(4)=\dfrac{11}{2\times (-2)-6}=-1,1$

$-1,1\neq 0$ donc $B\notin  \mathscr C_{f_2}$
\item {\footnotesize Déterminer l'ordonnée du point de $\mathscr C_{f_2}$ d'abscisse $-2$.}

Cela revient à calculer $f_2(-2)$, or d'après la question précédente, $f_2(-2)=-1,1$.

Le point d'abscisse $-2$ de $\mathscr C_{f_2}$  a pour ordonnée $-1,1$.
\end{enumerate}

\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill (2 points)

{\footnotesize On s'intéresse à la fonction $f_3$ définie par $f_3(x)=x^2+2x-1$.}

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau suivant :
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
$x$ & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ 
\hline 
$f(x)$ &  7 & 2 & -1 & -2 & -1 & 2 & 7 \\ 
\hline 
\end{tabular} 
\item {\footnotesize Tracer la courbe représentative de la fonction $f_3$ dans un repère en choisissant 1 cm pour une unité en abscisse et $1$ cm pour $2$ unités en ordonnée.}

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.2,-2.42)(2.64,5.02)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.2,-2.42)(2.64,5.02)
\psplot[plotpoints=200]{-4.2}{2.64}{x^2+2*x-1}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\pagebreak
\setcounter{exoBac}{0}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}4$ \hfill Sujet B}}

\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}

\setcounter{section}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application. Une réponse même incomplète sera prise en compte dans l'évaluation.}}
\end{center}


\begin{exoi}\hfill (2 points)

\begin{footnotesize}
Déterminer l'ensemble de définition des fonctions $f_1$, $f_2$, $f_3$ et $f_4$ que voici :

\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item $f_1(x)=-2x+1$

$D_{f_1}=\R$ puisqu'il n'y a aucun calcul interdit.

\item $f_2(x)=\dfrac{1}{3-x}$

Il n'est pas possible de diviser par $0$, chose qui peut arriver lorsque $3-x=0 \Longleftrightarrow -x=-3 \Longleftrightarrow x=3$. 

Ainsi :

$D_{f_2}=\R\textbackslash \{3\}$

\item $f_3(x)=x^2-3x+1$

$D_{f_3}=\R$ puisqu'il n'y a aucun calcul interdit.

\item $f_4(x)=\sqrt{2x+1}$

Il n'est pas possible de calculer la racine d'un nombre strictement négatif, c'est-à-dire qu'il est absolument indispensable que $2x+1\geq 0 \Longleftrightarrow 2x\geq 1 \Longleftrightarrow x\geq 0.5$, par conséquent :

$D_{f_4}=[0.5;+\infty[$.
\end{enumerate}

\end{exoi}




\begin{exoi}\hfill (3 points)

\begin{footnotesize}
On s'intéresse à la fonction $f_1$ définie donc par $f_1(x)=-2x+1$.

\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer l'image de $1$ puis calculer $f(7)$.}

$$ f_1(1)=-2+1=-1$$

$$f_1(7)=-14+1=-13$$
\item {\footnotesize Déterminer les antécédents éventuels de $16$.}

On résout l'équation : $-2x+1=16 \Longleftrightarrow -2x=15 \Longleftrightarrow x=-7.5$

16 admet pour antécédent $-7.5$. 
\item {\footnotesize Existe-t-il un nombre qui est son propre antécédent ?}

On résout l'équation $x=-2x+1 \Longleftrightarrow 3x=1 \Longleftrightarrow x=\dfrac{1}{3}$

Vérifions : $f\left(\dfrac{1}{3}\right)=-\dfrac{2}{3}+1=\dfrac{1}{3}$. 

$\dfrac{1}{3}$ est donc le seul nombre à être son propre antécédent.
\end{enumerate}
\end{exoi}


\begin{exoi}\hfill (3 points)

{\footnotesize On s'intéresse à la fonction $f_2$ définie par $f_2(x)=\dfrac{1}{3-x}$ puis on considère les points $A(4;5.5)$ et $B(-2;0.2)$, on note $\mathscr C_{f_2}$ la courbe représentant la fonction $f_2$ dans un repère du plan.}

\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Le point $A$ est-il un point de $\mathscr C_{f_2}$  ?}

Si tel est le cas alors $f_2(4)=5,5$

$f_2(4)=\dfrac{1}{3-4}=-1$

$A$ n'est pas un point de $\mathscr C_{f_2}$
\item {\footnotesize Le point $B$ est-il un point de $\mathscr C_{f_2}$  ?}

Si tel est le cas alors $f_2(-2)=0$

$f_2(-2)=\dfrac{1}{3-(-2)}=0.2$

$B in  \mathscr C_{f_2}$
\item{\footnotesize  Déterminer l'ordonnée du point de $\mathscr C_{f_2}$ d'abscisse $4$.}

Cela revient à calculer $f_2(4)$, or d'après la question précédente, $f_2(4)=-1$.

Le point d'abscisse $4$ de $\mathscr C_{f_2}$  a pour ordonnée $-1$.
\end{enumerate}

\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill (2 points)

On s'intéresse à la fonction $f_3$ définie par $f_3(x)=x^2-3x+1$.

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau suivant :
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
$x$ &  -2& -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 
\hline 
$f(x)$ & 11 & 5 & 1 & -1 & -1 & 1 & 5  \\ 
\hline 
\end{tabular} 
\item {\footnotesize Tracer la courbe représentative de la fonction $f_3$ dans un repère en choisissant 1 cm pour une unité en abscisse et $1$ cm pour $2$ unités en ordonnée.}

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.22,-1.84)(4.46,5.6)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.22,-1.84)(4.46,5.6)
\psplot[plotpoints=200]{-2.22}{4.46}{x^2-3*x+1}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\end{document}