\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex

\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$\hfill \textbf{Prénom : } $ \dots\dots\dots\dots\dots$\hfill Classe : $\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}3$ \hfill Sujet A}}

\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}

\setcounter{section}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application. Une réponse même incomplète sera prise en compte dans l'évaluation.}}
\end{center}


\begin{exoi}\hfill (4 points)

On considère le programme suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline 
\multicolumn{2}{|c|}{Programme $f$} \\ 
\hline 
Etape 1 & choisir un nombre \\ 
\hline 
Etape 2 & Ajouter $7$ \\ 
\hline 
Etape 3 & Multiplier par $3$ \\ 
\hline 
\end{tabular} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Si on choisit $0,5$ comme nombre de départ, combien-t-on à l'arrivée ?}

En choisissant $0,5$, on obtient $22,5$ car $0,5+7=7,5$ puis $7,5\times 3=22,5$
\item {\footnotesize Si on obtient après avoir appliquer le programme $0$, quel était le nombre de départ ?}

Il s'agit d'appliquer le programme à l'envers : $0\div 3=0$ puis $0-7=-7$. Le nombre de départ était donc $-7$.
\item {\footnotesize Exprimer en fonction de $x$ (le nombre de départ) le nombre $f(x)$ (qui est celui d'arrivée), puis vérifier à l'aide de votre formule les résultats des deux premières questions.}

$$f(x)=(x+7)\times 3=3x+21$$

Pour la première question, il s'agit de déterminer l'image de $0,5$ :
$$ f(0,5)=3\times 0,5+21=22,5$$

Pour la deuxième question, il s'agit de déterminer l'ensemble des antécédents de $0$ :

 $$3x+21=0\Longleftrightarrow 3x=-21\Longleftrightarrow x=-7$$
\end{enumerate}
\end{exoi}




\begin{exoi}\hfill (2 points)

\begin{footnotesize}
On considère la fonction $g$ définie pour tout nombre réel $x$ par $ g(x)=4(x-1)^2+2$.

Décrire la fonction $g$ à l'aide d'un \og programme de calcul \fg{} (tel celui présenté dans l'exerice précédent).
\end{footnotesize}

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline 
\multicolumn{2}{|c|}{Programme $g$} \\ 
\hline 
Etape 1 & choisir un nombre \\ 
\hline 
Etape 2 & Retrancher $1$ \\ 
\hline 
Etape 3 & Elever au carré\\ 
\hline 
Etape 4 & Multiplier par $4$\\ 
\hline 
Etape 3 & Ajouter $2$\\ 
\hline 
\end{tabular} 
\end{center}

\end{exoi}


\begin{exoi}\hfill (4 points)

\begin{footnotesize}
On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ par :
$$ f(x)=x^2+2x+3$$

\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer l'image de $0.5$ par $f$.}

$f(0,5)=0,5^2+2\times 0.5+3=0.25+4=4.25$

L'image de $0,5$ est $4.25$.
\item {\footnotesize Calculer l'image de $\sqrt{2}$ par $f$.}

$f(\sqrt{2})=\sqrt{2}^2+2\sqrt{2}+3=2+2\sqrt{2}+3=5+2 \sqrt{2}$

L'image de $\sqrt{2}$ est $5+2\sqrt{2}$.
\item {\footnotesize Vérifier que $1$ est un antécédent de $6$ par $f$.}

On calcule l'image de $1$ :

$ f(1)=1^2+2\times 1+3=6$, ainsi $1$ est bien un antécédent de $6$ par $f$.
\item {\footnotesize Déterminer les antécédents éventuels de $3$ par $f$.}

On cherche $x$ tel que $f(x)=3 \Longleftrightarrow x^2+2x+3=3\Longleftrightarrow x^2+2x=0\Longleftrightarrow x(x+2)=0$

Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul, d'où :
$$ x=0\qquad \text{ou}\qquad x+2=0$$

ce qui équivaut à :
$$ x=0 \qquad \text{ou}\qquad x=-2$$

$3$ admet deux antécédents qui sont $-2$ et $0$.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\vfill
\setcounter{exoBac}{0}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}3$ \hfill Sujet B}}

\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}

\setcounter{section}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application. Une réponse même incomplète sera prise en compte dans l'évaluation.}}
\end{center}


\begin{exoi}\hfill (4 points)

On considère le programme suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline 
\multicolumn{2}{|c|}{Programme $f$} \\ 
\hline 
Etape 1 & choisir un nombre \\ 
\hline 
Etape 2 & Diviser par  $2$ \\ 
\hline 
Etape 3 & Retrancher  $3$ \\ 
\hline 
\end{tabular} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Si on choisit $0,5$ comme nombre de départ, combien-t-on à l'arrivée ?

\end{footnotesize}


En choisissant $0,5$, on obtient $-2.75$ car $0,5\div 2=0,25$ puis $0,255- 3=-2,75$

\item {\footnotesize Si on obtient après avoir appliquer le programme $0$, quel était le nombre de départ ?}


Il s'agit d'appliquer le programme à l'envers : $0+ 3=3$ puis $3\times 2=6$. Le nombre de départ était donc $6$.
\item {\footnotesize Exprimer en fonction de $x$ (le nombre de départ) le nombre $f(x)$ (qui est celui d'arrivée), puis vérifier à l'aide de votre formule les résultats des deux premières questions.}

$$f(x)=x\div 2- 3=\dfrac{x}{2}-3$$

Pour la première question, il s'agit de déterminer l'image de $0,5$ :
$$ f(0,5)=\dfrac{0.5}{2}-3=-2.75$$

Pour la deuxième question, il s'agit de déterminer l'ensemble des antécédents de $0$ :

 $$\dfrac{x}{2}-3=0\Longleftrightarrow \dfrac{x}{2}=3\Longleftrightarrow x=6$$
\end{enumerate}
\end{exoi}




\begin{exoi}\hfill (2 points)

\begin{footnotesize}
On considère la fonction $g$ définie pour tout nombre réel $x$ par $ g(x)=2(x+3)^2+5$.

Décrire la fonction $g$ à l'aide d'un \og programme de calcul \fg{} (tel celui présenté dans l'exerice précédent).
\end{footnotesize}


\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline 
\multicolumn{2}{|c|}{Programme $g$} \\ 
\hline 
Etape 1 & choisir un nombre \\ 
\hline 
Etape 2 & Ajouter $3$ \\ 
\hline 
Etape 3 & Elever au carré\\ 
\hline 
Etape 4 & Multiplier par $2$\\ 
\hline 
Etape 3 & Ajouter $5$\\ 
\hline 
\end{tabular} 
\end{center}
\end{exoi}




\begin{exoi}\hfill (4 points)

\begin{footnotesize}
On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ par $ f(x)=x^2+7x+11$

\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer l'image de $0.5$ par $f$.}

$f(0,5)=0,5^2+7\times 0.5+11=0.25+3.5+11=14.75$

L'image de $0,5$ est $14.75$.
\item {\footnotesize Calculer l'image de $\sqrt{2}$ par $f$.}

$f(\sqrt{2})=\sqrt{2}^2+7\sqrt{2}+11=2+7\sqrt{2}+11=13+7 \sqrt{2}$

L'image de $\sqrt{2}$ est $13+7\sqrt{2}$.
\item {\footnotesize Vérifier que $1$ est un antécédent de $19$ par $f$.}

On calcule l'image de $1$ :

$ f(1)=1^2+7\times 1+11=19$, ainsi $1$ est bien un antécédent de $19$ par $f$.
\item {\footnotesize Déterminer les antécédents éventuels de $11$ par $f$.}

On cherche $x$ tel que $f(x)=11 \Longleftrightarrow x^2+7x+11=11\Longleftrightarrow x^2+7x=0\Longleftrightarrow x(x+7)=0$

Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul, d'où :
$$ x=0\qquad \text{ou}\qquad x+7=0$$

ce qui équivaut à :
$$ x=0 \qquad \text{ou}\qquad x=-7$$

$3$ admet deux antécédents qui sont $-7$ et $0$.
\end{enumerate}
\end{exoi}
\end{document}