\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
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\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}1$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro


\begin{exoi}
{\footnotesize Alice dispose de deux types de remise, une de $15\euro$ et l'autre de $20\%$. }
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Elle désire acheter un coffret DVD qui coute $55\euro$. Quelle remise doit-elle utiliser ?}

En utilisant la remise de $15$ euros, elle paiera son coffret $55-15=40$ euros, tandis que si elle utilise la remise de $20\%$ alors elle paiera son coffret $55 \times 0,8=44 $ euros.

Elle préfère donc la remise de $15\euro$.
\item {\footnotesize A partir de quel prix Alice préfèrera utiliser la remise de $20\%$ ?}

Notons $x$ le prix du coffret DVD, on cherche alors à savoir pour quelle valeur de $x$ on a $0,80x<x-15$

ce qui équivaut à $15<x-0,80x$ et donc $15<0.2x$ puis finalement $\dfrac{15}{0.2}<x$ c'est-à-dire $75<x$

Ainsi elle utilisera la remise de $20\%$ par rapport à celle de $15$ euros dès lors que l'article coûte plus de $75$ euros.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}
{\footnotesize Résoudre chacune des équations suivantes :}
\begin{enumerate}
\item $$2x-4=5x+7\Longleftrightarrow -4-7=5x-2x \Longleftrightarrow -11=3x \Longleftrightarrow x=-\dfrac{11}{3}$$
\item $ -4x+1=5\Longleftrightarrow -4x=4\Longleftrightarrow x=-1$
\item $(3x-1)(2-x)=0$

Un produit est nul si et seulement si l'un de ces facteurs est nul d'où :
$$ 3x-1=0\qquad  \text{ou}\qquad 2-x=0 $$

et donc 

$$ 3x=1\qquad  \text{ou}\qquad 2=x $$

puis :
$$x=\dfrac{1}{3}\qquad  \text{ou}\qquad x=2 $$
\item $(1-x)(2+3x)(4+x)=0$

Un produit est nul si et seulement si l'un de ces facteurs est nul d'où :
$$1-x=0\qquad  \text{ou}\qquad 2+3x=0\qquad \text{ou} \quad 4+x=0 $$
c'est-à-dire :
$$x=1\qquad  \text{ou}\qquad 3x=-2\qquad \text{ou} \quad x=-4 $$

c'est-à-dire :
$$x=1\qquad  \text{ou}\qquad x=-\dfrac{2}{3}\qquad \text{ou} \quad x=-4 $$


\item $\dfrac{3x-5}{4}=1\Longleftrightarrow 3x-5=4\Longleftrightarrow 3x=9\Longleftrightarrow x=3$
\item $ \dfrac{2}{3}x-\dfrac{5}{4}=\dfrac{7}{5}\Longleftrightarrow \dfrac{10}{3}x-\dfrac{25}{4}=7\Longleftrightarrow 10x-\dfrac{75}{4}=21\Longleftrightarrow 40x-75=84\Longleftrightarrow 40x=84+75=159\Longleftrightarrow x=\dfrac{159}{40}$
\end{enumerate}
\end{exoi}


\pagebreak
\setcounter{exoBac}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}1$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro


\begin{exoi}
\begin{footnotesize}
Alice dispose de deux types de remise, une de $10\euro$ et l'autre de $30\%$. 

\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Elle désire acheter un coffret DVD qui coÃ»te $55\euro$. Quelle remise doit-elle utiliser ?}


En utilisant la remise de $10$ euros, elle paiera son coffret $55-10=45$ euros, tandis que si elle utilise la remise de $30\%$ alors elle paiera son coffret $55 \times 0,7=38.5 $ euros.

Elle préfère donc la remise de $30\%$. 
\item {\footnotesize A partir de quel prix Alice préfèrera utiliser la remise de $30\%$ ?}

Imaginons que le coffret coûte $x$ euros, on cherche alors à savoir pour quelle valeur de $x$ on a $0,70x<x-10$

ce qui équivaut à $10<x-0,70x$ et donc $10<0.3x$ puis finalement $\dfrac{10}{0.3}<x$ c'est-à-dire $\dfrac{100}{3}<x$

Ainsi elle utilisera la remise de $30\%$ par rapport à celle de $10$ euros dès lors que l'article coûte plus de $\dfrac{100}{3}\simeq 33,33$ euros.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}
\begin{footnotesize}
Résoudre chacune des équations suivantes :

\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item $2x+4=-5x-7\Longleftrightarrow 2x+5x=-7-4\Longleftrightarrow 7x=-11\Longleftrightarrow x=-\dfrac{11}{7}$
\item $ -4x-1=-5\Longleftrightarrow -4x=-4\Longleftrightarrow x=1$
\item $(-3x+1)(-2-x)=0$

Un produit est nul si et seulement si l'un de ces facteurs est nul d'où :
$$ -3x+1=0\qquad  \text{ou}\qquad -2-x=0 $$
c'est-à-dire :
$$ -3x=-1\qquad  \text{ou}\qquad -2=x $$
c'est-à-dire :
$$ x=\dfrac{1}{3}\qquad  \text{ou}\qquad x=-2$$

\item $(x-1)(2+3x)(4+x)=0$

Un produit est nul si et seulement si l'un de ces facteurs est nul d'où :
$$ x-1=0\qquad  \text{ou}\qquad 2+3x=0 \qquad  \text{ou}\qquad 4+x=0$$
c'est-à-dire :
$$ x=1\qquad  \text{ou}\qquad 3x=-2 \qquad  \text{ou}\qquad x=-4$$
c'est-à-dire :
$$ x=1\qquad  \text{ou}\qquad x=-\dfrac{2}{3} \qquad  \text{ou}\qquad x=-4$$
\item $\dfrac{3x-5}{4}=10\Longleftrightarrow 3x-5=40\Longleftrightarrow 3x=45\Longleftrightarrow x=15$
\item $ \dfrac{2}{4}x-\dfrac{5}{7}=\dfrac{7}{3}\Longleftrightarrow \dfrac{6}{4}x-\dfrac{15}{7}=7\Longleftrightarrow \dfrac{21}{2}x-15=49\Longleftrightarrow 21x-30=98\Longleftrightarrow 21x=128\Longleftrightarrow x=\dfrac{128}{21}$
\end{enumerate}
\end{exoi}

\end{document}