\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 1}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{G\'en\'eralit\'e sur les fonctions}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{2$^\text{nde}$}
\newcommand{\Annee}{2015-2016}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\input macrodwicky.tex
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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\vfill 


\begin{exoi}
\begin{footnotesize}
On considère les fonctions $f$, $g$, $h$ et $k$ définies sur $\R$ par :
$$ f(x)=3x^2-4x+1\qquad g(x)=-3x+7\qquad h(x)=\dfrac{1}{x^2+1}\qquad k(x)=5$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Pour chacune d'entre elles calculer les images des nombres réels $0$ ; $\dfrac{1}{2}$ et $-7$.}

$f(0)=3\times 0^2-4\times 0+1=1$ ainsi l'image de $0$ par $f$ est $1$.

$f(0.5)=3\times 0.5^2-4\times 0.5+1=0.75-2+1=-0.25$ ainsi l'image de $0.5$ par $f$ est $-0.25$.

$f(-7)=3\times (-7)^2-4\times (-7)+1=147+28+1=176$ ainsi l'image de $-7$ par $f$ est $176$.

$g(0)=-3\times 0+7=7$ ainsi l'image de $0$ par $g$ est $7$.

$g(0.5)=-3\times 0.5+7=5.5$ ainsi l'image de $0.5$ par $g$ est $5.5$.

$g(-7)=-3\times (-7)+7=21+7=28$ ainsi l'image de $-7$ par $g$ est $28$.

$h(0)=\dfrac{1}{0^2+1}=1$ ainsi l'image de $0$ par $h$ est $1$.

$h(0.5)=\dfrac{1}{0.5^2+1}=\dfrac{1}{1,25}=\dfrac{1}{5/4}=\dfrac{4}{5}=0,8$ ainsi l'image de $0.5$ par $h$ est $0.8$.

$h(-7)=\dfrac{1}{(-7)^2+1}=\dfrac{1}{50}=0,02$ ainsi l'image de $-7$ par $h$ est $0,02$.

$k(0)=5$ ainsi l'image de $0$ par $k$ est $5$.

$k(0.5)=5$ ainsi l'image de $0.5$ par $k$ est $5$.

$k(-7)=5$ ainsi l'image de $-7$ par $k$ est $5$.
\item {\footnotesize Déterminer les éventuels antécédents de $1$ par $f$, de $3$ par $g$, de $0.5$ par $h$ et de $7$ par $k$.}

\textbf{Antécédent de $1$ par $f$ :}

On cherche $x$ tel que $f(x)=1\Longleftrightarrow 3x^2-4x+1=1\Longleftrightarrow 3x^2-4x=0\Longleftrightarrow x(3x-4)=0$

Or, un produit est nul si et seulement si un des facteurs au moins est nul, ce qui donne :
$$ x=0\qquad \text{}\qquad 3x-4=0\Longleftrightarrow x=0\qquad \text{ou}\qquad x=\dfrac{4}{3}$$

Ainsi $1$ admet deux antécédents par $f$ qui sont $0$ et $\dfrac{4}{3}$.


\textbf{Antécédent de $3$ par $g$ :}

On cherche $x$ tel que $g(x)=3\Longleftrightarrow -3x+7=3\Longleftrightarrow -3x=-4\Longleftrightarrow x=\dfrac{4}{3}$

Ainsi $3$ admet un antécédent par $g$ qui est $\dfrac{4}{3}$.

\textbf{Antécédent de $0.5$ par $h$ :}

On cherche $x$ tel que $h(x)=0.5\Longleftrightarrow \dfrac{1}{x^2+1}=0,5\Longleftrightarrow 1\times 1=(x^2+1)\times 0,5\Longleftrightarrow 1=0.5x^2+0,5\Longleftrightarrow 0.5=0,5x^2\Longleftrightarrow  1=x^2$


Or, il existe deux nombres qui élever au carré donne $1$, il s'agit de $1$ et $-1$

Ainsi $0.5$ admet deux antécédents par $h$ qui sont $-1$ et $1$.

\textbf{Antécédent de $7$ par $k$ :}

On cherche $x$ tel que $k(x)=7$


Or, quelque soit $x$ on sait que $k(x)=5$, ainsi il est tout à fait impossible que $k(x)=7$

Nous en déduisons que $7$ n'admet pas d'antécédent par $k$.


%\item Préciser quelles sont les fonctions affines puis dans ce cas donner le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine.
\item {\footnotesize Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses (justifier) :}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize $A(1;0)\in \mathscr C_f$ ;}

$A(1;0)\in \mathscr C_f$ si et seulement si $f(1)=0$.

Or, $f(1)=3\times 1^2-4\times 1+1=3-4+1=0$, par conséquent :
$$A(1;0)\in \mathscr C_f $$
\item {\footnotesize $B(1;10)\in \mathscr C_g$ ; }

$B(1;10)\in \mathscr C_g$ si et seulement si $g(1)=10$.

Or, $g(1)=-3\times 1+7=-3+7=4\neq 10$, par conséquent :
$$B(1;10)\notin \mathscr C_g$$
\item {\footnotesize $C(0.5;0.8)\in \mathscr C_h$ ;}

$C(0.5;0.8)\in \mathscr C_h$ si et seulement si $h(0.5)=0.8$.

Or, $h(0.5)=\dfrac{1}{0.5^2+1}=\dfrac{1}{1.25}=\dfrac{1}{\frac{5}{4}}=\dfrac{4}{5}=0,8$, par conséquent :
$$C(0.5;0.8)\in \mathscr C_h$$
\item {\footnotesize $D(1000;5)\in \mathscr C_k$.} 

$D(1000;5)\in \mathscr C_h$ si et seulement si $k(1000)=5$.

Or, $k(1000)=5$, par conséquent :
$$D(1000;5)\in \mathscr C_h$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
	\item {\footnotesize D\'evelopper $\left(x-1\right)^2(x+2)$}
	
	$$\left(x-1\right)^2(x+2)=(x^2-2x+1)(x+2)=x^3+2x^2-2x^2-4x+x+2=x^3-3x+2 $$
	\item {\footnotesize R\'esoudre alors l\'equation $x^3-3x+2=0$}
	
	$x^3-3x+2=0$ équivaut à  $\left(x-1\right)^2(x+2)=0$
	
Or, un produit est nul si et seulement si un des facteurs au moins est nul, ce qui donne :

$$ \left(x-1\right)^2=0\qquad \text{ou}\qquad x+2=0$$

Ce qui donne :
$$ x-1=0\qquad \text{ou}\qquad x=-2$$

et au final :

$$x=1 \qquad \text{ou}\qquad x=-2$$

L'équation $x^3-3x+2=0$ admet donc deux solutions qui sont $x=1$ et $x=-2$.
	\end{enumerate}
\item {\footnotesize On consid\`ere les fonctions $h$ et $k$ d\'efinies sur $\R$ par : $h(x)=x^3$ et $k(x)=3x-2$}
\begin{enumerate}
 \item {\footnotesize Tracer soigneusement les repr\'esentations graphiques $\mathscr C_h$ et $\mathscr C_k$ de $h$ et $k$ sur l'intervalle $[-2;2]$.}
 
 \begin{center}
 \newrgbcolor{qqqqzz}{0 0 0.6}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=4.0cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.36,-8.5)(2.64,8.5)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2.36,-8.5)(2.64,8.5)
\psset{xunit=4.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.36,-8.5)(2.64,8.5)
\psplot[linecolor=qqqqzz,plotpoints=200]{-2.355864811133201}{2.6441351888667994}{x^3}
\psplot[linecolor=zzqqqq,plotpoints=200]{-2.355864811133201}{2.6441351888667994}{3*x-2}
\rput[tl](-1.42,-0.96){$\mathscr C_h$}
\rput[tl](0.31,-0.96){$\zzqqqq{\mathscr C_k}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item {\footnotesize D\'eterminer graphiquement les coordonn\'ees des points communs de $\mathscr C_h$ et $\mathscr C_k$.}

Ces deux courbes ont deux points d'intersection, notons les $A$ et $B$. Leurs coordonnées sont $A(-2;-8)$ et $B(1;1)$.
\end{enumerate}
\item {\footnotesize \`A l'aide de la question 1), retrouver ce r\'esultat par le calcul.}

L'abscisse des points d'intersection entre $\mathscr C_h$ et $\mathscr C_k$ est obtenu lorsque $h(x)=k(x)$.

autrement dit on cherche à résoudre :
$$ x^3=3x-2 \Longleftrightarrow x^3-3x+2=0$$

Nous savons d'après la question $1)$ que cette équation admet deux solutions $1$ et $-2$.

Autrement les courbes $\mathscr C_h$ et $\mathscr C_k$ ont deux points d'intersection dont les abscisses sont $1$ et $-2$.  


On trouve leurs ordonnées en calculant l'image de $1$ et de $-2$ en utilisant indifféremment $h$ ou $k$ :

$$ h(1)=3\times 1-2=1$$

Ainsi le point $B(1:1)$

puis $$ h(2)=3\times (-2)-2=-8$$

Ainsi le point $A(-2;-8)$.
\item {\footnotesize R\'esoudre graphiquement l'in\'equation $h(x)\leq 1$}
\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqzz}{0 0 0.6}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=4.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-2.36,-8.5)(2.64,8.5)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2.36,-8.5)(2.64,8.5)
\psset{xunit=4.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.36,-8.5)(2.64,8.5)
\psplot[linecolor=qqqqzz,plotpoints=200]{-2.355864811133201}{2.6441351888667994}{x^3}
\rput[tl](-1.42,-0.96){$\mathscr C_h$}
\psplot[linestyle=dashed,dash=7pt 7pt,plotpoints=200]{-2.355864811133201}{2.6441351888667994}{1}
\psline(1,1)(1,0)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=zzqqqq]{-2.36}{1}{(-0-0*x)/-2}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](1,0)
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

$h(x)\leq 1$ lorsque $x$ se situe sur la partie rouge du graphique, ainsi l'ensemble des solutions de l'inéquation $h(x)\leq 1$ est l'intervalle :
$$ ]-\infty;1]$$
\end{enumerate}
\end{exoi}


\end{document}