\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}8$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire


\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
\begin{enumerate}
\item Compléter :\\
$f$ est dérivable en $a$ si et seulement si la limite de $ \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} $ lorsque $x$ tend vers $a$ existe et est finie.
\\
On note alors dans ce cas là :
$$f'(a)= \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$$
\item En utilisant la question précédente on a
$$ \Lim{0}\dfrac{e^x-1}{x}=\Lim{0}\dfrac{e^x-e^0}{x-0}=f'(0)=1$$
avec $f(x)=e^x$ qui est bien dérivable, de plus $f'(x)=e^x$ et donc $f'(0)=e^0=1$
 \end{enumerate}
}



\Exoi{\hfill (6 points)\\
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $$ f(x)=e^x-x-4$$
et $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j)$.
\begin{enumerate}
\item On a pour tout $x\in\R$ :
$$ f'(x)=e^x-1$$
De plus $$ e^x-1\geq 0 \Longleftrightarrow e^x\geq 1\Longleftrightarrow e^x \geq e^0\Longleftrightarrow x\geq 0$$
D'où le tableau de variation suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit[espcl=6]{$x$/1, Signe\\de $e^x-1$/2, Variation\\ de $e^x-x-4$/2} {$-\infty$  ,$0$,  $+\infty$}%
  \tkzTabLine {,-,z,+,}%
  \tkzTabVar {+/ $ $ , - /$-3$, +/ $ $  }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item En remarquant que, pour tout réel non nul $x$ :
$$ f(x)=x\left(\dfrac{e^x}{x}-1-\dfrac{4}{x}\right)$$
et sachant que 
$$ \Lim{+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty\qquad \text{et}\qquad \Lim{+\infty}\dfrac{4}{x}=0\qquad \text{et}\qquad \Lim{+\infty}x=+\infty$$
on en déduit que 
$$ \Lim{+\infty} f(x)=+\infty$$
\item On a 
$$f(x)-y= f(x)-(-4-x)=e^x-x-4+4+x=e^x$$ ce qui tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$, ainsi
la droite $\mathscr D$ d'équation $x+y+4=0$ est asymptote à la courbe $\mathscr C_f$ en $-\infty$.
\\
De plus $$ f(x)-y=e^x>0\qquad \forall x\in\R$$
Par conséquent la courbe $\mathscr C_f$ est au dessus de $D$.
\end{enumerate}}


\newpage

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}8$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis

\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
\begin{enumerate}
\item Montrer que $e^x>x$, pour cela étudier la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=e^x-x$.
\item En utilisant l'égalité précédent pour $X=\dfrac{x}{2}$ démontrer que pour tout $x\in\R^{+*}$ on a
$$ \dfrac{e^x}{x}\geq \dfrac{x}{4}$$ 
\item En déduire la limite de $ \dfrac{e^x}{x}$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
 \end{enumerate}
}

\Dem{
\begin{enumerate}
\item Montrons pour cela que $\forall x\in\R$ on a :
$$ e^x\geq x$$
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=e^x-x$$
$f$ est une fonction dérivable sur $\R$ et $f'(x)=e^x-1$\\
$f'(x)=0\Longleftrightarrow e^x=1\Longleftrightarrow e^x=e^0\Longleftrightarrow x=0$
\begin{center}
\begin{tikzpicture} 
\tkzTabInit[espcl=2.5]{$x$ /1,$f’(x)$/1,$f$/2}{$ -\infty$,$0$,$+\infty $}% 
\tkzTabLine{ , - , z , + , }% 
\tkzTabVar{+/ $ $ , -/$1$ , +/$ $ } 
\end{tikzpicture} 
\end{center}
Par conséquent $f(x)\geq 1$ pour tout $x\in\R$ i.e :
$$ e^x-x\geq 1>0\Longrightarrow e^x>x$$
\item On a donc, pour tout $x\in\R^{+*}$ :
\begin{eqnarray*}
& e^{\frac{x}{2} }\geq \frac{x}{2} \\
\Longleftrightarrow & \left(e^{\frac{x}{2} }\right)^2\geq \frac{x^2}{4}\\
\Longleftrightarrow & e^{\frac{2x}{2} } \geq\frac{x^2}{4}\\
\Longleftrightarrow & e^{x } \geq\frac{x^2}{4}\\
\Longleftrightarrow & \dfrac{e^x}{x}\geq \dfrac{x}{4}\\
\end{eqnarray*}
\item Par comparaison, comme $\Lim{+\infty} \dfrac{x}{4}=+\infty$ on en déduit que 
:
$$ \Lim{+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty$$
\end{enumerate}}
\pagebreak
\Exoi{\hfill (6 points)\\
Soit $f$ la fonction définie sur $\R-\left\{-2\right\}$ par :
$$ f(x)=e^{\frac{x-1}{x+2} }$$
et $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j)$.
\begin{enumerate}
\item On a pour tout $\R-\left\{-2\right\}$ : $$f'(x)=((x+2)-(x-1))e^{\frac{x-1}{x+2} }=3e^{\frac{x-1}{x+2} }>0$$
Par conséquent la fonction $f$ est strictement croissante sur $]-\infty;-2[$ et sur $]-2;+\infty[$
\item On a :
$$ \Lim{\pm \infty}\frac{x-1}{x+2} =\Lim{\pm \infty}\frac{x}{x}=1\Longrightarrow \Lim{\pm \infty}e^{\frac{x-1}{x+2} }=e^1=e$$
Par conséquent la fonction $f$ admet en $\pm\infty$ une asymptote horizontale d'équation $y=e$.
\item On a :
$$ \Lim{ 2^-}\frac{x-1}{x+2} =\Lim{2^-}\frac{-3}{x-2}=+\infty\Longrightarrow \Lim{2^-}e^{\frac{x-1}{x+2} }=\Lim{+\infty}e^x=+\infty$$
De même 
$$ \Lim{ 2^+}\frac{x-1}{x+2} =\Lim{2^+}\frac{-3}{x-2}=-\infty\Longrightarrow \Lim{2^+}e^{\frac{x-1}{x+2} }=\Lim{-\infty}e^x=0$$
Par conséquent la fonction $f$ admet en $2^-$ une asymptote verticale d'équation $x=2$.
Déterminer les limites de $f$ en $2^+$ et en $2^-$. En déduire les asymptotes éventuelles.
\end{enumerate}}

\end{document}
