\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}7$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire


\Exoi{\textit{\textbf{R.O.C, Polynésie-juin 2005}}\hfill (4 points)\\
\textsl{Pr\'erequis : Théorème des valeurs intermédiaires}  
\og Soit $I$ un intervalle, $a$ et $b$ deux réels de $I$ tels que $a<b$.\\
Soit $f$ une fonction continue sur $I$, soit $k$ un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors :\\
il existe au moins un réel $c$ dans $[a;b]$ tel que $f(c)=k$ \fg{}. \\
D\'emontrer le th\'eorème suivant : \Thc[théorème de la bijection]{Soit $f$ une fonction continue et strictememnt monotone sur un intervalle $I$. Soit $a$ et $b$ deux réels de $I$ tels que $a<b$.\\
Soit $k$ un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$ alors :\\
il existe un unique $c$ dans $[a;b]$ tel que $f(c)=k$}
}


\Dem{\begin{itemize}
\item L'existence est assuré par le théorème des valeurs intermédiaires.
\item L'unicité découle donc de la stricte monotonie de la fonction $f$. On sait qu'il un réel $c$ dans $[a;b]$ tel que $f(c)=k$.\\
Considérons le cas où $f$ est une fonction strictement croissante sur $[a;b]$, alors pour tout $x<c$ on a $f(x)<f(c)$ et pour tout $x>c$ on a $f(x)>f(c)=k$, autrement dit pour tout $x\neq c$ de l'intervalle $[a;b]$ on a $f(x)\neq f(c)$, par conséquent $c$ est unique.
\end{itemize}}

\Exoi{\hfill (6 points)\\
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $$f(x)=x^3-30x^2+112$$
On souhaite étudier le signe de la fonction $f$
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est continue sur $\R$ puisque c'est une fonction polynôme.
\item La limite de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$ est la limite de son monôme de plus haut degré :
$$ \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^3=+\infty$$
$$ \displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty$$
\item On a, pour tout $x\in\R$ : $$f'(x)=3x^2-60x=3x(x-20)$$ 
 \begin{center}
 \begin{tikzpicture} 
\tkzTabInit[espcl=2.5]{$x$ /1,$f’(x)$/1,$f$/2}{$-\infty $,$0$,$20$, $+\infty $}% 
\tkzTabLine{ , + , z , - ,z,+, }% 
\tkzTabVar{-/ $ -\infty$ , +/ $ 112$, -/$-3888 $, +/$+\infty$ } 
%\tkzTabTan[]{1}{2}{2}{$ 8$} 
\end{tikzpicture} 
 \end{center}
\item Sur l'intervalle $]-\infty;0]$ la fonction $f$ est strictement croissante (donc monotone) et continue sur $\R$, de plus $f(0)=112>0$ et la limite de $f$ en $-\infty$ vaut $-\infty$, par conséquent d'après le théorème de la bijection $f$ possède une unique racine dans $]-\infty;0]$.\\
Sur l'intervalle $[20;+\infty$ la fonction $f$ est strictement croissante (donc monotone) et continue sur $\R$, de plus $f(20)=-3888<0$ et la limite de $f$ en $+\infty$ vaut $+\infty$, par conséquent d'après le théorème de la bijection $f$ possède une unique racine dans $[20;+\infty$.\\
Sur l'intervalle $[0;20]$ la fonction $f$ est strictement décroissante (donc monotone) et continue sur $\R$, de plus $f(20)=-3888<0$ et $f(0)=112>0$, par conséquent d'après le théorème de la bijection $f$ possède une unique racine dans $[0;20]$.\\
L'équation $f(x)=0$ admet donc trois solutions dans $\R$.
\item \boite{\mathscr S=\left\{ 2; 14-6 \sqrt{7} ; 14+6 \sqrt{7} \right\}}
\item  \begin{center}
 \begin{tikzpicture} 
\tkzTabInit[espcl=2.5]{$x$ /1, $f(x)$/2}{$-\infty $,$14-6 \sqrt{7}$,$2$, $14+6 \sqrt{7}$, $+\infty $}% 
\tkzTabLine{ ,-, z,  + , z , - ,z,+, }% 
%\tkzTabVar{-/ $ -\infty$ , +/ $ 112$, -/$-3888 $, +/$+\infty$ } 
%\tkzTabTan[]{1}{2}{2}{$ 8$} 
\end{tikzpicture} 
 \end{center}
\end{enumerate}
}

\newpage

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}7$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis



\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
On considère la fonction partie entière $E$ qui a tout $x$ réel associe le plus grand entier inférieur ou égal à $x$. \\
Montrer que la fonction partie entière est discontinue pour tout $n\in\N$.
}

\Dem{Cette fonction admet des discontinuités en tout entier, en effet on a :
$$ \lim\limits_{x \to n^+} E(x)=n\quad \text{et}\quad \lim\limits_{x \to n^-} E(x)=n-1$$
Les limites à droite et à gauche étant différente, la fonction partie entière n'admet pas de limite en $n$, elle est donc discontinue en $n$ pour tout entier $n$.}

\Exoi{\hfill (6 points)\\
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'équation $ x^3+3x=5  $ admet une solution et une seule dans $\R$. \\
Noton $P$ la fonction définie sur $\R$ par $$P(x)=x^3+3x-5$$.\\
Pour tout $x\in\R$ on a :
$$ P'(x)=3x^2+3=3(x^2+1)>0$$
Par conséquent la fonction $P$ est strictement croissante sur $\R$, de plus   la limite de $P$ en $+\infty$ et en $-\infty$ est la limite de son monôme de plus haut degré :
$$ \displaystyle\lim_{x\to+\infty}P(x)=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^3=+\infty$$
$$ \displaystyle\lim_{x\to-\infty}P(x)=\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty$$
Comme la fonction $P$ est un polynôme de degré $3$, $P$ est continue, donc d'après le théorème de la bijection l'équation $P(x)=0$ admet une unique solution que nous noterons $\alpha$ dans $\R$.
\item En utilisant la calculatrice, on peut dresser un tableau de valeurs de $f(x)$ qui nous permet d’affirmer que $$1,15<\alpha<1,16$$\\
Une valeur approchée de $\alpha$ à 0,01 près est donc 1,15
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par  :
$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} x^2-1 \text{ si }x<0\\ x-1\text{ si }x\geq 0  \end{array} \right.$$
$f$ est continue sur $\R^*$ car $f$ est une fonction polynôme. De plus $f$ est continue en $0$ car :
$$ \displaystyle\lim_{x\to 0^-}f(x)=-1=f(0)$$ 
\item Quelle valeur de $a$ faut-il choisir pour que la fonction définie par :
$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{ \sqrt{x+1}-1 }{x} \text{ si }x\in[-1;0[\cup ]0;+\infty[ \\ a\text{ si }x= 0  \end{array} \right.$$
La fonction $f$ est continue en $0$ si et seulement si :
$$ \displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=f(0)=a$$
 Il faut donc calculer la limite suivante (qui est une forme indéterminée du type $ \dfrac{0}{0}$ :
 $$ \displaystyle\lim_{x\to 0}  \dfrac{ \sqrt{x+1}-1 }{x}$$
 Procédons comme habituellement avec les racines carrées, en multipliant numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée :
 $$  \dfrac{ \sqrt{x+1}-1 }{x}\times \dfrac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1}=\dfrac{x+1-1}{x(\sqrt{x+1}+1)}=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1}$$
 On peut désormais conclure car on vient de lever l'indétermination :
 $$  \displaystyle\lim_{x\to 0} \sqrt{x+1}+1=2\Longrightarrow  \displaystyle\lim_{x\to 0}  f(x)=\dfrac{1}{2}$$
 En choisissant $a=\dfrac{1}{2}$ $f$ est alors une fonction continue sur $\R$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\end{document}
