\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}6$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire

\Exoi{\textit{\textbf{R.O.C, Polynésie-juin 2005}}\hfill (2 points)\\
\textsl{Pr\'erequis : d\'efinition d'une suite tendant vers} $+ \infty$. 
\og \textsl{Une suite tend vers} $+ \infty$ \textsl{si, pour tout r\'eel $A$, tous les termes de la suite sont,  \`a partir d'un certain rang, sup\'erieurs  \`a $A$} \fg{}. \\
D\'emontrer le th\'eorème suivant : \textsl{ une suite croissante non major\'ee tend vers}  $+\infty$.
}

\Dem{Soit $A$ un réel. Comme $u_n$ est non majorée alors il existe $n_0\in\N$ tel que $$ u_{n_0}>A$$
Comme $(u_n)$ est croissante on a :
$$ u_n\geq u_{n_0}>A\qquad \forall n\geq n_0$$
Ce raisonnement est valable quelque soit le réel $A$ choisi au départ, par conséquent la suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$.}

\Exoi{\hfill (6 points)\\
Soit $f$ la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;2]$ par :
$$f(x)=\dfrac{2x+1}{x+1}$$
\begin{enumerate}
\item Pour tout $x\in[0;2]$ on a :
$$ f'(x)=\dfrac{2(x+1)-2x-1}{(x+1)^2}=\dfrac{1}{(x+1)^2}>0$$
Par conséquent la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;2]$.
\item Si $x\in[1;2]$ alors $ 1\leq x\leq 2$, or comme la fonction $f$ est croissante sur $[0;2]$ on a :
$$ f(1)\leq f(x)\leq f(2)$$
Or, $f(1)=\dfrac{3}{2}$ et $ f(2)=\dfrac{5}{3}$, par conséquent 
$$ (1<)\dfrac{3}{2}\leq f(x)\leq \dfrac{5}{3}(<2)$$
donc on a bien $f(x)\in[1;2]$
\item Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=f(u_n)=\dfrac{2u_n+1}{u_n+1}$
\begin{enumerate}
\item Notons $\mathscr P(n)$ : $1\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 2$ 
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation} : $u_0=1$ et $u_1=\dfrac{3}{2}$, on a :
$$ 1\leq 1\leq \dfrac{3}{2}\leq 2\qquad i.e\qquad 1\leq u_0\leq u_1\leq 2$$
la propriété $\mathscr P$ est donc vraie au rang $0$.
\item \textit{ Hérédité } : Supposons que la propriété $\mathscr P$ soit vraie pour un certain $n$ et montrons qu'elle est vraie au rang $n+1$\\
D'après l'hypothèse de récurrence on a :
$$ 1\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 2$$
De plus comme la fonction $f$ est croissante sur $[0;2]$ on a :
$$ f(1)\leq f(u_n)\leq f(u_{n+1})\leq f(2)$$
ce qui équivaut ) dire que 
$$ (1<)\dfrac{3}{2}\leq u_{n+1}\leq u_{n+2}\leq \dfrac{5}{3}(<2)$$
Par conséquent la propriété $\mathscr P$ est vraie au rang $n+1$ et donc elle est héréditaire. \\
On peut en conclure que $$ \forall n\in\N\qquad 1\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 2$$
\end{itemize}
\item La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $2$ donc elle est convergente.
\end{enumerate} 
\end{enumerate}}


\Exoi{\hfill (2 points)\\
Démontrer que la représentation graphique $\mathscr C_f$ admet une asymptote que l'on précisera : 
$$ f:x\longmapsto \dfrac{5x^5+3x-1}{-x^5+4x^4+2x-7}$$
On a$$ \displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty} \dfrac{5x^5}{-x^5}=-5$$
Donc la fonction $f$ admet en $\pm$ une asymptote horizontale d'équation $y=-5$.}

\newpage

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}6$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis



\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (2 points)\\
On considère la fonction partie entière $E$ qui a tout $x$ réel associe le plus grand entier inférieur ou égal à $x$. \\
Montrer que la fonction partie entière est discontinue pour tout $n\in\N$.
}

\Dem{Cette fonction admet des discontinuités en tout entier, en effet on a :
$$ \lim\limits_{x \to n^+} E(x)=n\quad \text{et}\quad \lim\limits_{x \to n^-} E(x)=n-1$$
Les limites à droite et à gauche étant différente, la fonction partie entière n'admet pas de limite en $n$, elle est donc discontinue en $n$ pour tout entier $n$.}

\Exoi{\hfill (6 points)\\
On considère les deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies, pour tout entier naturel $n$, par :
$$ u_0=3\qquad \text{et }\qquad v_0=4\qquad u_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}{2}\qquad ;\qquad v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}+v_n}{2}$$
\begin{enumerate}
\item On a $u_1=\dfrac{3+4}{2}=\dfrac{7}{2}$, $v_1=\dfrac{3,5+4}{2}=\dfrac{15}{4}$ \\
Et  $u_2=\dfrac{29}{8}$ et $v_2=\dfrac{59}{16}$.
\item Soit la suite $(w_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $w_n=v_n-u_n$.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{eqnarray*}
w_{n+1}=&v_{n+1}-u_{n+1}\\
=& \dfrac{u_{n+1}+v_n}{2}-\dfrac{u_n+v_n}{2}\\
=& \dfrac{u_{n+1}+v_n-u_n-v_n}{2}\\
=&\dfrac{\dfrac{u_n+v_n}{2}-u_n}{2}\\
=&\dfrac{\dfrac{u_n+v_n-2u_n}{2} }{2}\\
=&\dfrac{v_n-u_n}{4}\\
=& \dfrac{1}{4}\left(v_n-u_n\right)\\
=& \dfrac{1}{4}w_n
\end{eqnarray*}
Par conséquent $(w_n)$ est une suite géométrique de raison $ \dfrac{1}{4}$
\item On a :
$$ w_n=w_0\times \left(\dfrac{1}{4}\right)^n=\dfrac{1}{4^n}$$
Comme $0<\dfrac{1}{4}<1$, la suite $(w_n)$ converge vers $0$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (2 points)\\
Déterminer la limite en $+\infty$ de la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$f(x)= \dfrac{1+4\cos x}{1+x^2}$$
\textbf{Correction succinte :}
On a :
$$ \dfrac{-3}{1+x^2}\leq f(x)\leq \dfrac{5}{1+x^2}$$
En utilisant le théorème des gendarmes on conclut que $f(x)$ tend vers $0$ en $+\infty$
}


\end{document}
