\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}5$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire

\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
\begin{enumerate}
\item Montrer, par récurrence, que pour tout réel $x$ positif et pour tout entier $n$, on a :
$$ (1+x)^n\geq 1+nx$$
\item Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_n=q^n$ (avec $q>0$).
\begin{enumerate}
\item En utilisant la première question (on posera $q=x+1$) montrer que $u_n$ a pour limite $+\infty$ lorsque $q>1$.
\item[(Hors Barème)] Si $q\in]0;1[$, en posant $q'=\dfrac{1}{q}>1$ démontrer que $u_n$ converge ves $0$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}




\Dem{\begin{enumerate}
\item Notons $\mathscr P(n)$ la propriété $(1+x)^n\geq 1+nx$ est vraie\newline
$\mathscr P(0)$ et $\mathscr P(1)$ sont évidentes\newline
Montrons que $\mathscr P(n)\Longrightarrow \mathscr P(n+1)$.\newline
On suppose donc que $(1+x)^n\geq 1+nx$ et on souhaite montrer que : $(1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x$\newline
On a alors, pour tout $x\geq0$ :
\begin{eqnarray*}
&& (1+x)^n\geq 1+nx \\
&\Longleftrightarrow & (1+x)^{n+1}\geq (1+nx)(1+x) \qquad \text{en multipliant membre à membre par }(1+x)>0\\
&\Longleftrightarrow & (1+x)^{n+1}\geq 1+nx+x+nx^2\\
& \Longleftrightarrow & (1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x+nx^2 \\
& \Longleftrightarrow & (1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x \qquad \text{puisque }nx^2\geq 0\\
\end{eqnarray*}
Résumons : On a donc $\mathscr P(0)$ mais aussi, $\forall n\in \N$, $\mathscr P(n)\Longrightarrow \mathscr P(n+1)$, par conséquent on a : pour tout réel $x$ positif et pour tout entier $n$, $$(1+x)^n\geq 1+nx$$
\item \begin{enumerate}
\item $q>1$\newline
Posons $x=q-1$, on a alors $x>0$, et d'après l'inégalité de Bernoulli :
$$ q^n=(1+x)^n \geq 1+nx$$
Or, $\lim\limits_{n\to +\infty} 1+nx=+\infty$, par comparaison on en déduit : $$ \lim\limits_{n \to +\infty} q^n=+\infty$$
La suite $(u_n)$ diverge donc vers $+\infty$
\item Posons $q'=\dfrac{1}{q}$, dans ce cas $q' \in ]1;+\infty[$\newline
D'après le résultat précédent : $$ \lim\limits_{n \to +\infty} q'^n=+\infty$$
Par passage à l'inverse nous obtenons donc : $$ \lim\limits_{n \to +\infty} q^n=0$$
La suite $(u_n)$ converge donc vers $0$
\end{enumerate}
\end{enumerate}}


\Exoi{\hfill (5 points)\\
On considère la suite $(u_n)$ définie par : $$ u_0=0\qquad \text{et}\qquad u_{n+1}=\dfrac{2u_n+3}{u_n+4}$$
\begin{enumerate}
\item On pose, pour tout entier $n$, $v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+3}$.
\begin{enumerate}
\item $v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+3}=\dfrac{ \dfrac{2u_n+3}{u_n+4}-1 }{\dfrac{2u_n+3}{u_n+4}+3}
=\dfrac{ \dfrac{2u_n+3-u_n-4}{u_n+4} }{ \dfrac{2u_n+3+3u_n+12}{u_n+4} } =\dfrac{u_n-1}{5u_n+15}$
\item  $$ v_{n+1}=\dfrac{1}{5}v_n$$ donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $ \dfrac{1}{5}$ et de premier terme $v_0=\dfrac{u_0-1}{u_0+3}=-\dfrac{1}{3 }$.
\end{enumerate}
\item  $v_n=-\dfrac{1}{3}\times \left(\dfrac{1}{5}\right)^n$, or comme $ \dfrac{1}{5}<1$ : $$\lim\limits_{n\to +\infty}\left(\dfrac{1}{5}\right)^n =0\Longrightarrow \lim\limits_{n\to +\infty} v_n=0$$
\item \begin{eqnarray*}
& v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+3}\\
\Longleftrightarrow & v_n(u_n+3)=u_n-1\\
\Longleftrightarrow & u_n(v_n-1)+3v_n=-1\\
\Longleftrightarrow & u_n=\dfrac{-1-3v_n}{v_n-1}
\end{eqnarray*}
Par conséquent : $$ \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=1$$
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (2 points (1 bonus))\\
\begin{enumerate}
\item La suite $(u_n)$ définie  par $$\left\{ \begin{array}{l} u_0=0 \\ u_{n+1}=u_n +2 \qquad \text{si } n \text{ est pair}  \\ u_{n+1}=u_n-1 \qquad \text{sinon} \end{array} \right.$$
est une suite qui diverge vers $+\infty$ sans être croissante. En effet :
$$ u_0=0\qquad u_1=-1\qquad u_2=1\qquad u_3=0\qquad u_4=3\qquad u_5=2\qquad u_6=4\dots\dots$$
\item La suite $(v_n)=(-1)^n$ diverge sans pour autant que sa limite soit $+\infty$ ou $-\infty$.
\end{enumerate}}
\newpage

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}5$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis


\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
\begin{enumerate}
\item Montrer, par récurrence, que pour tout réel $x$ positif et pour tout entier $n$, on a :
$$ (1+x)^n\geq 1+nx$$
\item Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_n=q^n$ (avec $q>0$).
\begin{enumerate}
\item En utilisant la première question (on posera $q=x+1$) montrer que $u_n$ a pour limite $+\infty$ lorsque $q>1$.
\item[(Hors Barème)] Si $q\in]0;1[$, en posant $q'=\dfrac{1}{q}>1$ démontrer que $u_n$ converge ves $0$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}




\Dem{\begin{enumerate}
\item Notons $\mathscr P(n)$ la propriété $(1+x)^n\geq 1+nx$ est vraie\newline
$\mathscr P(0)$ et $\mathscr P(1)$ sont évidentes\newline
Montrons que $\mathscr P(n)\Longrightarrow \mathscr P(n+1)$.\newline
On suppose donc que $(1+x)^n\geq 1+nx$ et on souhaite montrer que : $(1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x$\newline
On a alors, pour tout $x\geq0$ :
\begin{eqnarray*}
&& (1+x)^n\geq 1+nx \\
&\Longleftrightarrow & (1+x)^{n+1}\geq (1+nx)(1+x) \qquad \text{en multipliant membre à membre par }(1+x)>0\\
&\Longleftrightarrow & (1+x)^{n+1}\geq 1+nx+x+nx^2\\
& \Longleftrightarrow & (1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x+nx^2 \\
& \Longleftrightarrow & (1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x \qquad \text{puisque }nx^2\geq 0\\
\end{eqnarray*}
Résumons : On a donc $\mathscr P(0)$ mais aussi, $\forall n\in \N$, $\mathscr P(n)\Longrightarrow \mathscr P(n+1)$, par conséquent on a : pour tout réel $x$ positif et pour tout entier $n$, $$(1+x)^n\geq 1+nx$$
\item \begin{enumerate}
\item $q>1$\newline
Posons $x=q-1$, on a alors $x>0$, et d'après l'inégalité de Bernoulli :
$$ q^n=(1+x)^n \geq 1+nx$$
Or, $\lim\limits_{n\to +\infty} 1+nx=+\infty$, par comparaison on en déduit : $$ \lim\limits_{n \to +\infty} q^n=+\infty$$
La suite $(u_n)$ diverge donc vers $+\infty$
\item Posons $q'=\dfrac{1}{q}$, dans ce cas $q' \in ]1;+\infty[$\newline
D'après le résultat précédent : $$ \lim\limits_{n \to +\infty} q'^n=+\infty$$
Par passage à l'inverse nous obtenons donc : $$ \lim\limits_{n \to +\infty} q^n=0$$
La suite $(u_n)$ converge donc vers $0$
\end{enumerate}
\end{enumerate}}


\Exoi{\hfill (5 points)\\
On considère la suite $(u_n)$ définie par : $$ u_0=\dfrac{1}{2}\qquad \text{et}\qquad u_{n+1}=\dfrac{8u_n+3}{u_n+6}$$
\begin{enumerate}
\item On pose, pour tout entier $n$, $v_n=\dfrac{u_n-3}{u_n+1}$.
\begin{enumerate}
\item $v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}-3}{u_{n+1}+1}=\dfrac{ \dfrac{8u_n+3}{u_n+6}-3 }{\dfrac{8u_n+3}{u_n+6}+1}
=\dfrac{ \dfrac{8u_n+3-3u_n-18}{u_n+6} }{ \dfrac{8u_n+3+u_n+6}{u_n+6} } =\dfrac{5u_n-15}{9u_n+9}$
\item  $$ v_{n+1}=\dfrac{5}{9}v_n$$ donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $ \dfrac{5}{9}$ et de premier terme $v_0=\dfrac{u_0-3}{u_0+1}=\dfrac{- \dfrac{5}{2} }{\dfrac{3}{2} }=-\dfrac{5}{3}$.
\end{enumerate}
\item  $v_n=-\dfrac{5}{3}\times \left(\dfrac{5}{9}\right)^n$, or comme $ \dfrac{5}{9}<1$ : $$\lim\limits_{n\to +\infty}\left(\dfrac{5}{9}\right)^n =0\Longrightarrow \lim\limits_{n\to +\infty} v_n=0$$
\item \begin{eqnarray*}
& v_n=\dfrac{u_n-3}{u_n+1}\\
\Longleftrightarrow & v_n(u_n+1)=u_n-3\\
\Longleftrightarrow & u_n(v_n-1)+v_n=-3\\
\Longleftrightarrow & u_n=\dfrac{-3-v_n}{v_n-1}
\end{eqnarray*}
Par conséquent : $$ \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=3$$
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (2 points (1 bonus))\\
\begin{enumerate}
\item La suite $(u_n)$ définie  par $$\left\{ \begin{array}{l} u_0=0 \\ u_{n+1}=u_n -2 \qquad \text{si } n \text{ est pair}  \\ u_{n+1}=u_n+1 \qquad \text{sinon} \end{array} \right.$$
est une suite qui diverge vers $-\infty$ sans être décroissante. En effet :
$$ u_0=0\qquad u_1=1\qquad u_2=-1\qquad u_3=0\qquad u_4=-2\qquad u_5=-1\qquad u_6=-3\dots\dots$$
\item La suite $(v_n)=(-1)^n$ diverge sans pour autant que sa limite soit $+\infty$ ou $-\infty$.
\end{enumerate}}
\end{document}
