\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}3$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire

\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, $\forall \theta\in\R$ et $\forall n\in\Z$ on a :
$$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i \sin n\theta $$
\item Démontrer que, $\forall \theta\in\R$ et $\forall n\in\Z$ on a :
$$ \sin \theta=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$$
\end{enumerate}}


\Dem{
\begin{enumerate}
\item Utilisons les formes exponentielles : 
$$ (\cos\theta+i\sin\theta)^n=\left(e^{i\theta}\right)^n=e^{in\theta}=\cos n\theta+i \sin n\theta$$
ce qui prouve la première formule de Moivre.
\item $$e^{i\theta}-e^{-i\theta}=\cos \theta+i\sin\theta -\cos (-\theta)-i\sin(-\theta)=\cos \theta+i\sin\theta-\cos\theta+i\sin\theta=2i\sin \theta$$
d'où la deuxième formule d'Euler.
\end{enumerate}
}
\Exoi{\hfill (6 poins)\\
\begin{enumerate}
\item Notons $z_A=-4i$ l'affixe du point $A$ et $z_B=1$ l'affixe du point $B$, on a alors :
\begin{eqnarray*}
 M\in \mathscr C\Longleftrightarrow & \mid z+4i\mid =\mid z-1\mid\\
 \Longleftrightarrow & \mid z-z_A\mid =\mid z-z_B\mid\\
 \Longleftrightarrow & \mid z_{\overrightarrow{AM} }\mid = \mid z_{ \overrightarrow{BM} }\mid\\
 \Longleftrightarrow & AM=BM\\
 \Longleftrightarrow & M\in \Delta \qquad \text{ où $\Delta$ est la médiatrice du segment }[AB] 
\end{eqnarray*}
\item Déterminons une forme exponentielle de $ (1+i)^2=1+2i-1=2i$. Dans un premier temps on a :
$$ \mid 2i\mid=2$$
Puis $$ arg(2i)=\dfrac{\pi}{2}[2\pi]$$
Par conséquent :
$$e^{-i \dfrac{\pi}{12} }\times (1+i)^2=e^{-i \frac{\pi}{12} }\times 2e^{i \frac{\pi}{2} }= 2 e^{i \frac{7pi}{12} }$$
\item 
$$ (z^2+8)(3z^2-4z+3)=0\Longleftrightarrow z^2+8=0 \text{ ou }3z^2-4z+3=0$$
Or $$ z^2+8=0\Longleftrightarrow z^2=-8\Longleftrightarrow z=i \sqrt{8}\qquad \text{ou}\qquad z=-i \sqrt{8} $$
De plus, comme $\Delta=16-4\times 3\times 3=-20$ : 
$$ 3z^2-4z+3=0\Longleftrightarrow z=\dfrac{4+i \sqrt{20} }{6}=\dfrac{2+ i\sqrt{5} }{3}\qquad \text{ ou }z=\dfrac{2- i\sqrt{5} }{3}$$
Au final l'équation admet $4$ solutions :
$$ \mathscr S=\{2i \sqrt{2}; -2i \sqrt{2} ;  \dfrac{2+ i\sqrt{5} }{3} ; \dfrac{2- i\sqrt{5} }{3}\}$$
\end{enumerate}
}

\newpage

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}3$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis


\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, $\forall \theta\in\R$ et $\forall n\in\Z$ on a :
$$ (\cos\theta-i\sin\theta)^n=\cos n\theta-i \sin n\theta $$
\item Démontrer que, $\forall \theta\in\R$ et $\forall n\in\Z$ on a :
$$ \cos \theta = \dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$$
\end{enumerate}}

\Dem{
\begin{enumerate}
\item Utilisons les formes exponentielles : 
$$ (\cos\theta-i\sin\theta)^n= (\cos(-\theta)+i\sin(-\theta))^n=\left(e^{-i\theta}\right)^n=e^{-in\theta}=\cos n\theta-i \sin n\theta $$
ce qui prouve la deuxième formule de Moivre.
\item $$e^{i\theta}+e^{-i\theta}=\cos \theta+i\sin\theta +\cos (-\theta)+i\sin(-\theta)=\cos \theta+i\sin\theta+\cos\theta-i\sin\theta=2\cos \theta$$
d'où la première formule d'Euler.
\end{enumerate}
}



\Exoi{\hfill (6 poins)\\
\begin{enumerate}
\item Notons $z_A=4i$ l'affixe du point $A$ et $z_B=-1$ l'affixe du point $B$, on a alors :
\begin{eqnarray*}
 M\in \mathscr C\Longleftrightarrow & \mid z-4i\mid =\mid z+1\mid\\
 \Longleftrightarrow & \mid z-z_A\mid =\mid z-z_B\mid\\
 \Longleftrightarrow & \mid z_{\overrightarrow{AM} }\mid = \mid z_{ \overrightarrow{BM} }\mid\\
 \Longleftrightarrow & AM=BM\\
 \Longleftrightarrow & M\in \Delta \qquad \text{ où $\Delta$ est la médiatrice du segment }[AB] 
\end{eqnarray*}
\item Déterminons une forme exponentielle de $ \sqrt{2}+i \sqrt{2}$. Dans un premier temps on a :
$$ \mid \sqrt{2}+i \sqrt{2}\mid=\sqrt{2+2}=2$$
Puis comme $2 \cos \theta= \sqrt{2}$ et $2\sin \theta = \sqrt{2}$ alors on a :
$$ \theta=\dfrac{\pi}{4}[2\pi]$$
Déterminons une forme exponentielle de $ 1+i \sqrt{3}$. Dans un premier temps on a :
$$ \mid 1+i \sqrt{3}\mid=\sqrt{1+3}=2$$
Puis comme $2 \cos \theta= 1$ et $2\sin \theta = \sqrt{3}$ alors on a :
$$ \theta=\dfrac{\pi}{3}[2\pi]$$
Par conséquent :
$$\dfrac{\sqrt{2}+i \sqrt{2} }{1+i \sqrt{3} }= \dfrac{2e^{i \frac{\pi}{4} }}{2 e^{i \frac{\pi}{3} }}=e^{i \left(\frac{pi}{4}-\frac{\pi}{3} \right)}=e^{-i \frac{\pi}{12} }$$
\item 
$$ (z^2+4)(2z^2-4z+4)=0\Longleftrightarrow z^2+4=0 \text{ ou }2z^2-4z+4=0$$
Or $$ z^2+4=0\Longleftrightarrow z^2=-4\Longleftrightarrow z=i \sqrt{4}=2i\qquad \text{ou}\qquad z=-2i$$
De plus, comme $\Delta=16-4\times 2\times 4=-16$ : 
$$ 2z^2-4z+4=0\Longleftrightarrow z=\dfrac{4+i \sqrt{16} }{4}=1+i\qquad \text{ ou }z=1-i$$
Au final l'équation admet $4$ solutions :
$$ \mathscr S=\{2i ; -2i  ;  1+i ; 1-i\}$$
\end{enumerate}
}

\end{document}
