\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}2$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire

\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
Soit $z$ un nombre complexe et $\bar{z}$ son conjugué.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $z\bar{z}=| z |^2$
\item En déduire que $$ |zz'|=|z||z'|\qquad \text{ et }\qquad  \left|\dfrac{z}{z'}\right|= \dfrac{|z|}{|z'|}$$.
\end{enumerate}}


\Dem{
\begin{enumerate}
\item $z\overline{z}=(x+iy)(x-iy)=x^2-ixy+ixy-i^2y=x^2+y^2=| z|^2$
\item $$|zz'|^2=zz'\overline{zz'}=zz'\overline{z}\overline{z'}=z \overline{z} z' \overline{z'}= |z|^2|z'|^2$$
Comme un module est positif on obtient : $|zz'|=|z||z'|$
 $$ \left|\dfrac{z}{z'}\right|^2=\dfrac{z}{z'}\overline{\dfrac{z}{z'} }=\dfrac{z \overline{z} }{z' \overline{z'} }=\dfrac{|z|^2}{|z'|^2}$$
Comme un module est positif on obtient : $ \left|\dfrac{z}{z'}\right|= \dfrac{|z|}{|z'|}$
\end{enumerate}
}
\Exoi{\hfill (6 poins)\\
\begin{enumerate}
\item 
 \begin{eqnarray*}
& z'\text{ est réel}\\
\Longleftrightarrow & z'=\bar{z'}\\
\Longleftrightarrow & \dfrac{iz}{2-z} =\dfrac{-i \bar{z} }{2- \bar{z} }\\
\Longleftrightarrow & iz(2-\bar{z})=-i \bar{z}(2-z) \\
\Longleftrightarrow & 2iz-iz \bar{z}=-2i \bar{z}+iz \bar{z} \\
\Longleftrightarrow & 2iz+2i \bar{z} -2iz \bar{z} =0\\
\Longleftrightarrow & z+ \bar{z} -z \bar{z} =0\\
\Longleftrightarrow &x+iy+x-iy-x^2-y^2=0\\
\Longleftrightarrow & x^2+y^2-2x=0\\
\Longleftrightarrow & (x-1)^2-1+y^2=0\\
\Longleftrightarrow & (x-1)^2+y^2=1\\
\end{eqnarray*} 
\item 
$|z|= \sqrt{1+3}=2$\\
Donc, $z=2\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{ \sqrt{3} }{2}i\right)=2\left( \cos \dfrac{\pi}{3}+i\sin \dfrac{\pi}{3}\right)$
\\ Par conséquent $ \dfrac{\pi}{3}$ est un argument de $z$
\item $z=2\left( \cos \dfrac{\pi}{3}+i\sin \dfrac{\pi}{3}\right)$
\end{enumerate}
}

\newpage

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}2$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis

\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes, montrer que :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $ \overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$
\item $ \overline{-z}=-\overline{z}$
\item $ \overline{zz'}=\overline{z}\overline{z'}$
\item $ \overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\dfrac{\overline{z} }{ \overline{z'} }$ (avec $z'\neq 0$) 
\end{enumerate}
\end{multicols}
}


\Dem{Soit $z=x+iy$ et $z'=x-iy$ (avec $x$, $y$, $x'$ et $y'$ réels), alors :
$$ \overline{z+z'}=\overline{x+iy+x'+iy'}=\overline{x+x'+i(y+y')}=x+x'-i(y+y')$$
$$ \overline{z}+\overline{z'}=\overline{x+iy}+\overline{x'+iy'}=x-iy+x'-iy'=x+x'-i(y+y')$$
Par conséquent $ \overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$.
\\
On démontre de manière similaire les autres égalités.}


\Exoi{\hfill (6 poins)\\
\begin{enumerate}
\item  \begin{eqnarray*}
& z'\text{ est un imaginaire pur}\\
\Longleftrightarrow & z'=-\bar{z'}\\
\Longleftrightarrow & \dfrac{iz}{2-z} =-\dfrac{-i \bar{z} }{2- \bar{z} }\\
 \Longleftrightarrow &  \dfrac{iz}{2-z} =\dfrac{i \bar{z} }{2- \bar{z} }\\
\Longleftrightarrow & iz(2-\bar{z})=i \bar{z}(2-z) \\
\Longleftrightarrow & 2iz-iz \bar{z}=2i \bar{z}-iz \bar{z} \\
\Longleftrightarrow & 2iz-2i \bar{z} =0\\
\Longleftrightarrow & z- \bar{z} =0\\
\Longleftrightarrow &z=\bar{z}\\
\Longleftrightarrow & z \in \R\\
\end{eqnarray*} 
\item 
$|z|= \sqrt{2+2}=2$\\
Donc, $z=2\left(\dfrac{\sqrt{2} }{2}+\dfrac{ \sqrt{2} }{2}i\right)=2\left( \cos \dfrac{\pi}{4}+i\sin \dfrac{\pi}{4}\right)$
\\ Par conséquent $ \dfrac{\pi}{4}$ est un argument de $z$
\item $z=2\left( \cos \dfrac{\pi}{4}+i\sin \dfrac{\pi}{4}\right)$
\end{enumerate}
}
\end{document}
