\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


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\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}20$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire


\Propc{\begin{enumerate}
\item Démontrer qu'un nombre complexe $z$ est imaginaire pur si et seulement si $\overline{z} =  -z$.
\item Démontrer qu'un nombre complexe $z$ est réel si et seulement si $\overline{z}= z$.
\item Démontrer que pour tout nombre complexe $z$, on a l'égalité : $z\overline{z} = |z|^2$.
\end{enumerate}}

\Dem{\begin{enumerate}
\item et 2. Notons $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ deux réels. Ainsi : 
$$z+\overline{z}=x+iy+x-iy=2x=2\Re e(z) \text{ et }z-\overline{z}=x+iy-(x-iy)=2iy=2i\Im m(z)$$
On en déduit immédiatement que :
$$ \text{$z$ est réel}\Longleftrightarrow \Im m(z)=0\Longleftrightarrow z-\overline{z}=0\Longleftrightarrow z=\overline{z}$$
$$ z \text{ est imaginaire pur} \Longleftrightarrow \Re e(z)=0\Longleftrightarrow z+\overline{z}=0\Longleftrightarrow z=-\overline{z}$$
\item $z\overline{z}=(x+iy)(x-iy)=x^2-ixy+ixy-i^2y=x^2+y^2=|z|^2$
\end{enumerate}
}


\Exoi{\textbf{Liban 3 juin 2010}}


\emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse choisie.}

\medskip
 
\emph{Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même nonfructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Une urne contient une boule blanche et deux boules noires. On effectue $10$~tirages successifs d'une boule avec remise (on tire une boule au hasard, on note sa couleur, on la remet dans l'urne 
et on recommence).

\medskip
 
\textbf{Proposition 1 :} \og La probabilité de tirer exactement 3 boules blanches est 

$3 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^3  \times  \left(\dfrac{2}{3}\right)^7$. \fg
\\
Notons $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de boules blanches tirées, comme on effectue $10$ tirages avec remise, on reproduit donc $10$ fois une même expérience, $X$ suit une loi binomiale de paramètre $10$ et $\dfrac{1}{3}$ i.e :
$$ X\hookrightarrow B\left(10, \dfrac{1}{3}\right)$$
On a donc :
$$ P(X=3)=\binom{10}{3}\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^3  \times  \left(\dfrac{2}{3}\right)^7=120 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^3  \times  \left(\dfrac{2}{3}\right)^7$$ 
La proposition est donc fausse.
\item Une variable aléatoire $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda  (\lambda > 0$).
 
%On rappelle que pour tout réel $a > 0 : p(X \leqslant a) = \displaystyle\int_{0}^a \lambda \text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t$.
 
\textbf{Proposition 2 :} \og Le réel $a$ tel que $p(X > a) = p(X \leqslant a)$ est égal à $\dfrac{\ln 2}{\lambda}$. \fg
\begin{eqnarray*}
& &p(X>a)=p(X\leq a)\\
&\Longleftrightarrow & 1-p(X\leq a)=p(X\leq a)\\
&\Longleftrightarrow & p(X\leq a)=\dfrac{1}{2}\\
&\Longleftrightarrow &\displaystyle\int_{0}^a \lambda \text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t=\dfrac{1}{2}\\
&\Longleftrightarrow & \left[-e^{-\lambda t}\right]_0^a=\dfrac{1}{2}\\
&\Longleftrightarrow &  -e^{-\lambda a}+1=\dfrac{1}{2}\\
&\Longleftrightarrow & e^{-\lambda a}=\dfrac{1}{2}\\
&\Longleftrightarrow & -\lambda a=\ln \dfrac{1}{2}=-\ln 2\\
&\Longleftrightarrow & a=\dfrac{\ln 2}{\lambda}
\end{eqnarray*}
 Ainsi la proposition $2$ est vraie.
\end{enumerate}

\newpage

\setcounter{Exi}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}20$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis
\Propc{Démontrer la formule d'intégration par parties en utilisant la formule de dérivation d'un produit de deux fonctions dérivables, à dérivées continues sur un intervalle $[a~;~b]$.}


\Dem{On sait que pour tout $t\in [a;b]$ on a :
$$ (uv)'(t)=u'(t)v(t)+u(t)v'(t)$$
En intégrant membre à membre, sur le segment $[a;b]$, on obtient :
$$ \int_a^b (uv)'(t)dt=\int_a^b u'(t)v(t)+u(t)v'(t)dt=\int_a^b u'(t)v(t)dt+\int_a^b u(t)v'(t)dt$$
Ainsi :
$$ [u(t)v(t)]_a^b=\int_a^b u'(t)v(t)dt+\int_a^b u(t)v'(t)dt$$
i.e :
$$\int_a^b u(t)v'(t)dt=[u(t)v(t)]_a^b-\int_a^b u'(t)v(t)dt $$}





\Exoi{}
On suppose que la dur\'ee de vie $T_{1}$ (en heures) de chaque composant d\'efectueux suit une loi exponentielle de param\`etre $\lambda_{1} = 5 \times  10^{-4}$ et que la dur\'ee de vie $T_{2}$ (en heures) de chaque composant non d\'efectueux suit une loi exponentielle de param\`etre $\lambda_{2} = 10^{-4}$ (on pourra se reporter au formulaire ci-dessous).
\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilit\'e que la dur\'ee de vie d'un composant soit sup\'erieure \`a \nombre{1000} heures :
\begin{enumerate}
\item $p(T_1>1000)=1-p(T_1\leq 1000)=1-\int_0^{1000} \lambda_{1} e^{-\lambda_1 t} dt=1-\left[-e^{-\lambda_1 t}\right]_0^{1000}=1+e^{-\lambda_1\times 1000}-1=e^{-\frac{1}{2}}\simeq 0,61$
\item En procédant de manière identique on trouve :
$$p(T_2>1000)=1-p(T_2\leq 1000)=1-\int_0^{1000} \lambda_{2} e^{-\lambda_2t} dt=1-\left[-e^{-\lambda_2 t}\right]_0^{1000}=1+e^{-\lambda_2\times 1000}-1=e^{-\frac{1}{10}}\simeq 0,90$$
\end{enumerate}
\item Soit $T$ la dur\'ee de vie (en heures) d'un composant achet\'e au hasard.\\
%D\'emontrer que la probabilit\'e que ce composant soit encore en \'etat de marche apr\`es $t$ heures de fonctionnement est :
%\[P(T \geqslant 	t) = 0,02\text{e}^{-5\times 10^{-4}t} + 0,98\text{e}^{-10^{-4}t}.\]
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$D$}\taput{\small $0.02$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$(T_1 >t)$}\taput{\small $e^{-\lambda_1 t}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$(T_1 \leq t)$}\tbput{\small $1-e^{-\lambda_1 t}$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{D}$}\tbput{\small $0.98$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$(T_2 >t)$}\taput{\small $e^{-\lambda_2 t}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$(T_2\leq t)$}\tbput{\small $1-e^{-\lambda_2 t}$}
}
}
On applique alors la formule des probabilités totale et on a : 
$$ p(T\leq t)=P(D\cap (T_1>t))+P(D\cap (T_2>t))= 0,02\text{e}^{-5\times 10^{-4}t} + 0,98\text{e}^{-10^{-4}t}$$
%(on rappelle que la probabilit\'e qu'un composant vendu dans le magasin soit d\'efectueux est \'egale \`a 0,02).
\item %Sachant que le composant achet\'e est encore en \'etat de fonctionner \nombre{1000} heures apr\`es son installation, quelle est la probabilit\'e que ce composant soit d\'efectueux ?\\ Donner une valeur approch\'ee de cette probabilit\'e  \`a $10^{-2}$ pr\`es.
On calcule :
$$ P_{T>1000}(D)=\dfrac{P((T>1000)\cap D)}{P(T>1000)}=\dfrac{P(T_1>1000)}{P(T>1000)}=\dfrac{0,02\times e^{-\frac{1}{2}} }{ 0,02e^{-\frac{1}{2}} + 0,98e^{-\frac{1}{10}} }$$
\end{enumerate}	
\end{document}
