\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}1$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire

\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
Soient $x$, $y$, $x'$ et $y'$ quatre nombre réels, alors :
\begin{enumerate}
\item Montrer que $x+iy=0\Longleftrightarrow x=0 \text{ et }y=0$
\item En déduire que $x+iy=x'+iy'\Longleftrightarrow x=x' \text{ et }y=y'$
\end{enumerate}}


\Dem{
\begin{enumerate}
\item Montrons dans un premier que $$ x+iy=0\Longleftrightarrow x=0 \text{ et }y=0$$
\begin{itemize}
\item[$\Leftarrow)$] Si $x=0$ et $y=0$ alors $x+iy=0$
\item[$\Rightarrow)$] Supposons que $y\neq 0$, dans ce cas on a : $i =-\dfrac{x}{y}$ et par conséquent $i\in\R$, or il n'existe pas de nombres réels tels que $i^2=-1$. Notre hypothèse est donc absurde, ce qui signifie que $y=0$ et donc $x+0=0\Longleftrightarrow x=0$
\end{itemize}
\item Considérons désormais deux nombres complexes $z$ et $z'$ tels que $$ z=x+iy\qquad \qquad z'=x'+iy'$$ et montrons que 
$$ z=z'\Longleftrightarrow x+iy=x'+iy'\Longleftrightarrow x=x' \text{ et }y=y'$$
\begin{itemize}
\item[$\Leftarrow)$] Si $x=x'$ et $y=y'$ alors de manière évidente $z=z'$
\item[$\Rightarrow)$] Si $z=z'$ montrons que $x=x'$ et $y=y'$\\
Comme $z=z'$, on a $z-z'=0\Longleftrightarrow x-x'+i(y-y')=0$, par conséquent d'après la première partie de la démonstration : 
$$ x-x'=0\Longleftrightarrow x=x' \qquad \text{ et }\qquad y-y'=0\Longleftrightarrow y=y'$$
\end{itemize}
\end{enumerate}
}
\Exoi{\hfill (6 poins)\\
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $ \left(\dfrac{3}{4}-2i\right)^2=\dfrac{9}{16}-\dfrac{12}{4}i+4i^2=\dfrac{9}{16}-3i-4=\dfrac{9-64}{16}-3i=-\dfrac{55}{16}-3i$
\item $ \dfrac{1}{2+2i}=\dfrac{2-2i}{(2+2i)(2-2i)}=\dfrac{2-2i}{4-4i^2}=\dfrac{2-2i}{4+4}=\dfrac{2-2i}{8}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}i$
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item 
\begin{eqnarray*}
& \dfrac{z-2+i}{iz+1}=2i\\
\Longleftrightarrow & z-2+i=2i(iz+1)\\
\Longleftrightarrow &  z-2+i=-2z+2i\\
\Longleftrightarrow &  z+2z=2+i\\
\Longleftrightarrow & 3z=2+i\\
\Longleftrightarrow & z=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}i\\
\end{eqnarray*}
\item \begin{eqnarray*}
& i(z+3i)=(-1-i)z+2\\
\Longleftrightarrow & iz-3=(-1-i)z+2\\
\Longleftrightarrow & iz-(-1-i)z=5\\
\Longleftrightarrow & z(i+1+i)=5\\
 \Longleftrightarrow & z(2i+1)=5\\
 \Longleftrightarrow & z=\dfrac{5}{2i+1}=\dfrac{5(1-2i)}{5}=\dfrac{5-10i}{5}=1-2i\\
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
\item 
O étant le milieu du segment $[AA']$, le vecteur $ \overrightarrow{AO}$ et le vecteur $ \overrightarrow{OA'}$ ont la même affixe i.e :
$$ z_{A'}-z_O=z_O-z_A\Longleftrightarrow z_{A'}=-z_A$$
Par conséquent $z_{A'}=-1+i$.\\
De la même manière on démontre que $z_{B'}=-z_B=3+2i$
\item L'affixe des vecteurs $ \overrightarrow{AA'}$ et $ \overrightarrow{BB'}$ est :
$$ z_{\overrightarrow{AA'} }=z_{A'}-z_A=-1+i-1+i=-2+2i$$
$$ z_{\overrightarrow{BB'} }=z_{B'}-z_B=3+2i+3+2i=6+4i$$
\end{enumerate}}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3.6,-2.6)(3.6,2.6)
\def\xmin{-3.5} \def\xmax{3.5} \def\ymin{-2.5} \def\ymax{2.5}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.6,-2.6)(3.6,2.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-3.5,-2.5)(3.5,2.5)
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psdot(1,-1) \uput[ur](1,-1){$A(1-i)$}
\psdot(-3,-2) \uput[ur](-3,-2){$B(-3-2i)$}
\psdot(-1,1) \uput[ur](-1,1){$A'(-1+i)$}
\psdot(3,2) \uput[ur](3,2){$B'(3+2i)$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(1,-1)(-1,1)
\pcline[linewidth=1pt]{->}(-3,-2)(3,2)
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\newpage

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}1$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis

\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
Soit $z$ un nombre complexe et $\bar{z}$ son conjugué.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $z+\bar{z}=2\re(z)$ et $z-\bar{z}=2i\im(z)$
\item En déduire que $$ z\text{ est réel}\Longleftrightarrow z=\overline{z}\qquad \text{ et }\qquad  z\text{ est imaginaire pur }\Longleftrightarrow z=-\overline{z}$$.
\end{enumerate}}

\Dem{Notons $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ deux réels. Ainsi : 
$$z+\overline{z}=x+iy+x-iy=2x=2\re(z) \text{ et }z-\overline{z}=x+iy-(x-iy)=2iy=2i\im(z)$$
On en déduit immédiatement que :
$$ \text{$z$ est réel}\Longleftrightarrow \im(z)=0\Longleftrightarrow z-\overline{z}=0\Longleftrightarrow z=\overline{z}$$
$$ z \text{ est imaginaire pur} \Longleftrightarrow \re(z)=0\Longleftrightarrow z+\overline{z}=0\Longleftrightarrow z=-\overline{z}$$}




\Exoi{\hfill (6 poins)\\
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $ (3-i)(7+2i)=21+6i-7i-2i^2=21-i+2=23-i$
\item $ 3-\dfrac{1}{i}=3-\dfrac{i}{i^2}=3+i$
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item 
\begin{eqnarray*}
& \dfrac{z-i}{z+i}=2i\\
\Longleftrightarrow & z-i=2i(z+i)\\
\Longleftrightarrow & z=2iz-2+i\\
\Longleftrightarrow & z-2iz=-2+i\\
\Longleftrightarrow & z(1-2i)=-2+i\\
\Longleftrightarrow & z=\dfrac{-2+i}{1-2i}\\
\Longleftrightarrow & z=\dfrac{(-2+i)(1+2i)}{5}=\dfrac{-2-4i+i-2}{5}=\dfrac{-4-4i}{5}=-\dfrac{4}{5}-\dfrac{4}{5}i\\
\end{eqnarray*}
\item 
\begin{eqnarray*}
& -7z+2i=(-1-i)z+2\\
\Longleftrightarrow & -7z-(-1-i)z=2-2i\\
\Longleftrightarrow & z(-7+1+i)=2-2i\\
\Longleftrightarrow & z(-6+i)=2-2i\\
\Longleftrightarrow & z=\dfrac{2-2i}{-6+i}\\
\Longleftrightarrow & z=\dfrac{(2-2i)(-6-i)}{37}\\
\Longleftrightarrow & z=\dfrac{-12-2i+12i-2}{37}
\\
\Longleftrightarrow & z=\dfrac{-14+10i}{37}\\
\Longleftrightarrow &z=\dfrac{-14}{37}+\dfrac{10}{37}i\\
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
\item Placer dans un repère orthnormé $(O;\vec{e_1}, \vec{e_2})$ les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $1+i$ et $-3+2i$. \\
O étant le milieu du segment $[AA']$, le vecteur $ \overrightarrow{AO}$ et le vecteur $ \overrightarrow{OA'}$ ont la même affixe i.e :
$$ z_{A'}-z_O=z_O-z_A\Longleftrightarrow z_{A'}=-z_A$$
Par conséquent $z_{A'}=-1-i$.\\
De la même manière on démontre que $z_{B'}=-z_B=3-2i$
\item L'affixe des vecteurs $ \overrightarrow{AA'}$ et $ \overrightarrow{BB'}$ est :
$$ z_{\overrightarrow{AA'} }=z_{A'}-z_A=-1-i-1-i=-2-2i$$
$$ z_{\overrightarrow{BB'} }=z_{B'}-z_B=3-2i+3-2i=6-4i$$
\end{enumerate}}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3.6,-2.6)(3.6,2.6)
\def\xmin{-3.5} \def\xmax{3.5} \def\ymin{-2.5} \def\ymax{2.5}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.6,-2.6)(3.6,2.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-3.5,-2.5)(3.5,2.5)
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psdot(1,1) \uput[ur](1,1){$A(1+i)$}
\psdot(-3,2) \uput[ur](-3,2){$B(-3+2i)$}
\psdot(-1,-1) \uput[ur](-1,-1){$A'(-1-i)$}
\psdot(3,-2) \uput[ur](3,-2){$B'(3-2i)$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(1,1)(-1,-1)
\pcline[linewidth=1pt]{->}(-3,2)(3,-2)
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}
