\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


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\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}19$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire


\Propc{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
On considère l'espace muni d'un repère orthonormal $(O;\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$
Montrer l'équation cartésienne d'un plan dont on connaît un vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$ et un point $A(x_0;y_0;z_0)$ est de la forme :
$$ ax+by+cz+d=0$$
}

\Dem{\begin{multicols}{2}
On a, pour tout point $M$ du plan $P$, $$ \overrightarrow{AM}\cdot \vec{n}=0$$
Réciproquement, si $M$ est un point de l'espace tel que $ \overrightarrow{AM}\cdot \vec{n}=0$, alors $M\in P$
On a donc le résultat suivant :
$$ M(x;y;z)\in P\Longleftrightarrow \overrightarrow{AM}\cdot \vec{n}=0$$
i.e 
$$ a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0\Longleftrightarrow ax+by+cz-ax_0-by_0-cz_0=0$$
En posant $d=-ax_0-by_0-cz_0$ on obtient le résultat désiré
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.92,-1.12)(4.58,3.82)
\psline(-0.12,1.88)(-1.18,0.28)
\psline[linewidth=2pt](-1.18,0.28)(3,0.24)
\psline(-0.12,1.88)(4.06,1.84)
\psline[linewidth=2pt](4.06,1.84)(3,0.24)
\psline{->}(0.68,1.3)(0.7,2.88)
\psline(0.7,2.88)(0.7,3.44)
\psline[linestyle=dotted](0.67,0.26)(0.68,1.3)
\psline(0.67,0.26)(0.66,-0.52)
\psline{->}(1.52,1.02)(3.02,1.42)
\rput[tl](-1.56,0.52){$P$}
\rput[tl](0.32,2.8){$\vec{n}$}
\rput[tl](3.12,1.7){$M$}
\rput[tl](1.24,1.26){$A$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}}


\Exoi{\hfill (6 points)\\
\begin{enumerate}
\item
L'espace $E$ est rapporté à un repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j, \vec k)$.
Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ont pour coordonnées respectives :
\[ (- 1~;~0~;~2),\quad (3~;~2~;~- 4), \quad (1~;~- 4~;~2), \quad (5~;~- 
2~;~4). \]
On considère les points $I$, $J$ et $K$ définis par : $I$ est le milieu 
du segment $[AB]$, $K$ est le milieu de $[CD]$ et 
$\vect{\text{BJ}} = \dfrac{1}{4}\vect{\text{BC}}$.
\begin{enumerate} 
\item %Déterminer les coordonnées des points $I$, $J$ et $K$.
$$ I\left(\dfrac{-1+3}{2};\dfrac{0+2}{2}; \dfrac{2-4}{2}\right)\Longrightarrow I(1;1;-1)$$
$$ K\left(\dfrac{1+5}{2};\dfrac{-4-2}{2};\dfrac{2+4}{2}\right)\Longrightarrow K(3;-3;3)$$
$$ \overrightarrow{BJ}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}=\vec{0}\Longleftrightarrow 4\overrightarrow{BJ}-\overrightarrow{BJ}-\overrightarrow{JC}=\vec{0}\Longleftrightarrow 3\overrightarrow{BJ}+\overrightarrow{CJ}=\vec{0}$$
$J$ est donc le barycentre des points $B$ et $C$ affecté des coefficients $3$ et $1$, d'où :
$$ J\left(\dfrac{3\times 3+1}{4};\dfrac{3\times 2-4}{4};\dfrac{3\times (-4)+2}{4}\right)\Longleftrightarrow J\left(\dfrac{5}{2};\dfrac{1}{2};-\dfrac{5}{2}\right)$$
\item %Montrer que les points $I$, $J$ et $K$ ne sont pas alignés.
$$ \overrightarrow{IJ}\left(\dfrac{3}{2}; -\dfrac{7}{2};-\dfrac{3}{2}\right)$$
et $$ \overrightarrow{JK}(2;-4;4)$$
Pour passer de $\dfrac{3}{2}$ à $2$ on multiplie par $\dfrac{4}{3}$ et pour passer de $-\dfrac{7}{2}$ à $-4$ on multiplie par $\dfrac{8}{7}$ par conséquent il n'existe pas de réel $t$ tel que $ \overrightarrow{IJ}=t \overrightarrow{JK}$, ce qui implique que les points $I$, $J$ et $K$ ne sont pas alignés.
\item %Justifier qu'une équation cartésienne du plan $(IJK)$ est : $ 8x + 9y + 5z - 12 = 0. $
D'après la question précédente les points $I$, $J$ et $K$ définissent un plan, il n'y a donc plus qu'à vérifié que leurs coordonnées vérifient l'équation proposée :
$$ 8\times 1+9-5-12=17-17=0$$
$$ 24-27+15-12=-3+3=0$$
$$ 20+4,5-12,5-12=24,5-24,5=0$$
Ainsi une équation cartésienne du plan $(IJK)$ est bien $ 8x + 9y + 5z - 12 = 0. $
\end{enumerate}
\item
Plus généralement, dans l'espace $E$, on considère un tétraèdre $ABCD$ ainsi que les points $I$, $J$, $K$ et $L$ définis par $I$ est le milieu du segment $[AB]$, $K$  est le milieu du segment $[CD]$.
\[ \vect{\text{AL}} = \dfrac{1}{4}\vect{\text{AD}} 
\qquad \text{et} \qquad \vect{\text{BJ}} = 
\dfrac{1}{4}\vect{\text{BC}} \]
Soit $G$ le barycentre de $\{(A, 3), (B, 3), (C, 1), D, 1)\}$.
\begin{enumerate} 
\item %Déterminer les barycentres de $\{(A, 3), (D, 1)\}$ et le 
%barycentre de $\{(B, 3), (C, 1)\}$.
On a :
$$ \vect{\text{AL}} = \dfrac{1}{4}\vect{\text{AD}}\Longleftrightarrow 4\overrightarrow{AL}-\overrightarrow{AD}=\vec{0}\Longleftrightarrow 4\overrightarrow{AL}-\overrightarrow{AL}-\overrightarrow{LD}=\vec{0}\Longleftrightarrow 3\overrightarrow{LA}+\overrightarrow{LD}=\vec{0}$$
$L$ est donc le barycentre de $\{(A, 3), (D, 1)\}$.
\\
De même, on a montré plus tôt que $J$ est le barycentre de $\{(B, 3), (C, 1)\}$
\item %En associant les points $A$, $B$, $C$ et $D$ de deux façons 
%différentes, montrer que $G$ appartient aux droites $(IK)$ et $(JL)$. En déduire 
%que les points $I$, $J$, $K$ et $L$ sont coplanaires.
$G$  est le barycentre de $\{(A, 3), (B, 3), (C, 1), D, 1)\}$ donc de $\{(A, 3), (J,4), (D, 1)\}$ donc de $\{(L,4), (J,4)\}$, i.e $G$ est le milieu du segment $[LJ]$.\\
De même $G$  est le barycentre de $\{(A, 3), (B, 3), (C, 1), D, 1)\}$ donc de $\{(I, 6), (C,1), (D, 1)\}$ donc de $\{(I, 6), (K,2)\}$, ainsi $G\in (IK)$. \\
Les droites $(LJ)$ et $(IK)$ sont sécantes en $G$ et définissent donc un plan (elles ne sont pas identiques puisque $I$, $J$ et $K$ ne sont pas alignés). 
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\newpage

\setcounter{Exi}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}19$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis
\Propc{Si $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$, on rappelle que pour tout $t \geqslant  0, ~P(X \leqslant  t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$.
 \\
La fonction $R$ définie sur l'intervalle $[0~ ;~+\infty[$ par $R(t)= P(X> t)$ est appelée fonction de fiabilité.
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que pour tout $t \geqslant 0$ on a $R(t) = \text{e}^{- \lambda t}$.
\item  Démontrer que la variable $X$ suit une loi de durée de vie sans vieillissement, c'est-à-dire que pour tout réel $s\geqslant 0$, la probabilité conditionnelle $P_{X > t}(X > t + s)$ ne dépend pas du nombre $t \geqslant 0$.
\end{enumerate}}

\Dem{
\begin{enumerate}
\item On a, $\forall t \in \R$:
$$ R(t)=P(X>t)=1-P(X\leq t)=1- \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x=1-\left[-e^{-\lambda x}\right]_0^t=1+e^{-\lambda t}-1= \text{e}^{- \lambda t}$$
\item Soit $s$ un réel strictement positif on a :
$$ P_{X>t}(X>t+s)=\dfrac{P\left((X>t)\cap (X>t+s)\right)}{P(X>t)}=\dfrac{P(X>t+s)}{P(X>t)}=\dfrac{e^{-\lambda (t+s)}}{e^{-\lambda t}}=e^{-\lambda s}=P(X>s)$$
Ainsi $X$ suit bien  une loi de durée sans vieillissement.
\end{enumerate}}


\Exoi{\hfill (6 points)\\
L'espace E est rapporté à un repère orthonormal $(O;\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$. On considère les points A, B et C de coordonnées respectives (1 ;  0 ;  2), (1 ; 1 ; 4) et $(-1~;~1~;~1)$.\\
Soit $t$ un réel positif quelconque. On considère le barycentre $G$ des points A, B et C affectés des coefficients respectifs 1, 2 et $t$.
	\begin{enumerate} 
		\item %Justifier l'existence du point $G$ pour tout réel positif $t$.
		$1+2+t\geq 3$ donc $G$ existe.
\item 
 Soit I le barycentre des points A et B affectés des coefficients respectifs 1 et 2. 
\\%Déterminer les coordonnées du point I.
$$ I\left(\dfrac{1+2}{3};\dfrac{0+2}{3};\dfrac{2+8}{3}\right)\Longrightarrow I\left(1;\dfrac{2}{3};\dfrac{10}{3}\right)$$
\item %Démontrer que $G$ est un point de la droite $(IC)$.
$G$ est le barycentre des points A, B et C affectés des coefficients respectifs 1, 2 et $t$, donc d'après l'associativité du barycentre $G$ est le barycentre des points $I$ et $C$ affectés respectivement des coefficients $3$ et $t$, par conséquent $G\in (IC)$.
\item %Exprimer le vecteur $\vect{\text{I}G}$ en fonction du vecteur $\vect{\text{IC}}$.
D'après la question précédente on a :
$$ 3\overrightarrow{GI}+t\overrightarrow{GC}=\vec{0}\Longleftrightarrow 3\overrightarrow{GI}+t\overrightarrow{GI}+t\overrightarrow{IC}=\vec{0}\Longleftrightarrow \overrightarrow{IG}=\dfrac{t}{t+3}\overrightarrow{IC}$$
		\item %Montrer que l'ensemble des points $G$ lorsque $t$ décrit l'ensemble des nombres réels positifs ou nuls est le segment [IC] privé du point C.
		Lorsque $t$ décrit l'ensemble des réels positifs alors $\dfrac{t}{t+3}$ décrit l'intervalle $[0;1[$, on a en effet :
		$$ 0\leq \dfrac{t}{t+3}<1$$
		ce qui, à l'aide de l'égalité $\overrightarrow{IG}=\dfrac{t}{t+3}\overrightarrow{IC}$, montre que lorsque $t$ parcourt les réels positifs  $G$ parcourt le segment $[AC]$ sans jamais parvenir à atteindre le point $C$. Espérons que ce n'était pas son but...
\item
%Pour quelle valeur de $t$, le milieu J du segment [IC] coïncide-t-il avec $G$ ?
Pour $t=3$, $G$ est l'isobarycentre des points $I$ et $C$ i.e le milieu du segment $[IC]$.
	\end{enumerate}
}

\end{document}
