\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


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\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}17$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire

\Propc{
\begin{enumerate}
\item Soit $\mathscr S$ la sphère de centre $\Omega(x_0;y_0;z_0)$ et de rayon $r$, démontrer que $\mathscr S$ admet une équation de la forme :
$$ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2$$
\item Déterminer l'équation de la sphère $\mathscr S$ de diamètre $[AB]$ avec $A(0;0;1)$ et $B(1;2;3)$. Préciser son centre $\Omega$ et son rayon $r$.
\end{enumerate}}

\Sol{\begin{enumerate}
\item $M(x;y;z)\in \mathscr S\Longleftrightarrow \Omega M^2=r^2\Longleftrightarrow  (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2$.
\item Le centre $\Omega $ de cette sphère a pour coordonnées $(0,5;1;2)$. De plus le rayon $$r=\Omega A=\sqrt{0,5^2+1^2+1^2}=\sqrt{2,25}=\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3}{2}$$
 D'où :
$$ \mathscr S : (x-0,5)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=\dfrac{9}{4}$$
\end{enumerate}}



\Exoi{\begin{enumerate}
\item %On note $\mathscr D$ la droite passant par les points $A(1;-2;-1)$ et $B(3;-5;-2)$. Démontrer qu'une représentation paramétrique de la droite $\mathscr D$ est  :
 %$$ \left\{ \begin{array}{l} x=1+2t\\ y=-2-3t \\ z=-1-t  \end{array} \right.\qquad \text{où } t\in\R$$
 Le vecteur $\overrightarrow{AB}(2;-3;-1)$ dirige $\mathscr D$, par conséquent :
 $$ M(x;y;z)\in\mathscr D\Longleftrightarrow \overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}\quad\text{avec} t\in\R\Longleftrightarrow  \left\{ \begin{array}{l} x-1=2t\\ y+2=-3t \\ z+1=-t  \end{array} \right.\qquad \text{où } t\in\R\Longleftrightarrow  \left\{ \begin{array}{l} x=1+2t\\ y=-2-3t \\ z=-1-t  \end{array} \right.\qquad \text{où } t\in\R$$
\item %Soit $\mathscr P$ le plan d'équation $2x-y+z=1$. Etudier $\mathscr P \cap \mathscr D$.
Si $M(x;y;z)\in \mathscr P\cap \mathscr D$ alors les coordonées de $M$ vérifient les équations de $\mathscr D$ et de $\mathscr P$, ainsi :
$$ 2(1+2t)-(-2-3t)-1-t=1\Longleftrightarrow 2+4t+2+3t-1-t=1\Longleftrightarrow 6t=-2\Longleftrightarrow t=-\dfrac{1}{3}$$
Par conséquent $A\left(1+\dfrac{2}{3};-2-1;-1-\dfrac{1}{3}\right)\Longleftrightarrow A\left(\dfrac{5}{3};-3; \dfrac{-4}{3}\right)$
\item $$d(A;\mathscr P)=\dfrac{\mid ax_A+by_A+cz_A+d\mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\dfrac{\mid \dfrac{10}{3}+3-\dfrac{4}{3} \mid}{\sqrt{4+1+1}}=\dfrac{\mid \dfrac{10}{3}+3-\dfrac{4}{3} \mid}{\sqrt{4+1+1}}=\dfrac{5}{\sqrt{6}}=\dfrac{5\sqrt{6}}{6}$$
\end{enumerate}}


\newpage

\setcounter{Exi}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}17$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis

\Propc{
Soit $A$ le point de coordonnées $(x_a;y_a;z_a)$ et $\mathscr P$ le plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels qui ne sont pas tous nuls.
\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées d'un vecteur normal $\vec{n}$ au plan $\mathscr P$.
\item On note $H(x_H;y_H;z_H)$ le projeté orthogonal de $A$ sur $\mathscr P$ déterminer de deux manières différentes $ \overrightarrow{AH}\cdot \vec{n}$. \footnote{On utilisera la définition dans un premier temps, puis la formule faisant intervenir le cosinus}
\item Montrer finalement que :
$$ d(A;\mathscr P)=\dfrac{\mid ax_A+by_A+cz_A+d\mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$
\end{enumerate}}

\Sol{\begin{enumerate}
\item $\vec{n}(a;b;c)$ est normal à $\mathscr P$.
\item \begin{multicols}{2}
Notons $H(x_H ; y_H ; z_H)$ le projeté orthogonal de $A$ sur $P$.
\\
Nous savons que le vecteur $\vec{n}(a;b;c)$ est normal à $P$.\\
Donc les vecteurs $\vec{n}$ et $\overrightarrow{AH}$ sont colinéaires.\\
Il existe un réel $t$ tel que : $$ \overrightarrow{AH}=t\vec{n}$$
Par conséquent $$ \overrightarrow{AH}\cdot \vec{n}=\pm AH\times \left|\left|\vec{n}\right|\right|$$
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.48,0.54)(5.6,4.12)
\psline[linewidth=2.4pt](1,1)(4,1)
\psline[linewidth=2.4pt](4,1)(5,2)
\psline(1,1)(2,2)
\psline(2,2)(5,2)
\psline{->}(3,3)(3,4)
\rput[tl](2.7,3.78){$\vec n$}
\rput[tl](1.35,1.32){P}
\rput[tl](3.69,1.71){H}
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](3.55,3.62)(3.55,1.62)
\rput[tl](3.74,3.05){$d(A,P)= ?$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3.55,3.62)
\rput[bl](3.62,3.66){$A$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
Mais encore, (notons que $H\in P\Longrightarrow ax_H+by_H+cz_H+d=0$)
$$ \overrightarrow{AH}\cdot \vec{n}=a(x_H-x_A)+b(y_H)-y_A)+c(z_H-z_A)=-(ax_A+by_A+cz_A+d)$$
\item Au final : $$ AH\times \left|\left|\vec{n}\right|\right|=\left|ax_A+by_A+cz_A+d\right|\Longleftrightarrow AH=\dfrac{\left|ax_A+by_A+cz_A+d\right|}{\left|\left|\vec{n}\right|\right|}=\dfrac{\left|ax_A+by_A+cz_A+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$
\end{enumerate}}


\Exoi{\begin{enumerate}
\item %Soient $A(1;2;0)$, $B(2;2;0)$, $C(1;3;0)$. On appelle $\mathscr P$ le plan orthogonal à $(BC)$ contenant $A$. Démontrer que $\mathscr P$ a pour équation cartésienne $x-y+1=0$.
Comme $\mathscr P$ est orthogonal à $(BC)$, $\overrightarrow{BC}(-1;1;0)$ est normal à $\mathscr P$, ainsi :
$$ M(x;y;z)\in \mathscr P\Longleftrightarrow \overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BC}=0\Longleftrightarrow -(x-1)+1\times (y-2)+0\times (z-0)=0\Longleftrightarrow -x+1+y-2=0\Longleftrightarrow -x+y-1=0\Longleftrightarrow x-y+1=0$$
\item %Déterminer l'équation de la sphère $\mathscr S$ de centre $B$ et de rayon $2$.
$M(x;y;z)\in\mathscr S\Longleftrightarrow BM^2=r^2 \Longleftrightarrow (x-2)^2+(y-2)^2+z^2=4$
\item %$\mathscr P$ et $\mathscr S$ sont-ils sécants ?
Calculons la distance du plan $P$ au point $B$, centre de la sphère $\mathscr S$ :
$$ d(B;\mathscr P)=\dfrac{\left|ax_B+by_B+cz_B+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\dfrac{\left|2-2+0+1\right|}{\sqrt{1+1+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}<2$$
Par conséquent $\mathscr P$ coupe $\mathscr S$.
\end{enumerate}}



\end{document}
