\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


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\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}16$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire

\Propc{
\textbf{Prérequis :} On rappelle que deux événements $A$ et $B$ sont indépendants pour la probabilité $p$ si et seulement si : $$p( A \cap  B) = p(A) \times p(B)$$
Soient $A$ et $B$ deux événements associés à une expérience aléatoire 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $p(B) = p(B \cap A)+ p\left(B \cap \overline{A}\right)$. 
	\item Démontrer que, si les événements $A$ et $B$ sont indépendants pour la probabilité $p$, alors les événements $\overline{A}$ et $B$ le sont également. 
	\end{enumerate}}
	
	\Dem{\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que $p(B) = p(B \cap A)+ p\left(B \cap \overline{A}\right)$. 
		On a $B = (B \cap A) \cup  (B \cap \overline{A})$, et il s'agit d'une réunion disjointe, par conséquent :
		$$ P(B)= P(B\cap A)+P(B\cap \overline{A})$$
	\item %Démontrer que, si les événements $A$ et $B$ sont indépendants pour la probabilité $p$, alors les événements $\overline{A}$ et $B$ le sont également. 
	Comme $A$ et $B$ sont indépendants alors $$ P(A\cap B)=P(A)P(B)$$
	Par conséquent, en utilisant $1.$ $$P(\overline{A}\cap B)=P(B)-P(A\cap B)=P(B)-P(A)P(B)=P(B)(1-P(A))=P(B)P(\overline{A})$$
	\end{enumerate}}



\Exoi{\textit{Efficacité d'un vaccin}\hfill (6 points)\\
Dans un lycée de $1000$ élèves, $250$ se sont fait vacciner contre la grippe au début de l'année scolaire $2009-2010$. Une épidémie de grippe a affecté la population scolaire au cours de l'hivers, et $10\%$ des élèves ont contracté la maladie. Enfin, $4\%$ des élèves vaccinés ont eu la grippe.
\\
 On choisit au hasard l'un des élèves de ce lycée, tous les élèves ayant la même probabilité d'être choisis.\\
 On note $M$ : \og l'élève choisit a contracté la maladie \fg.\\
 $V$ : \og l'élève choisit a été vacciné \fg.
\begin{center}
\textit{Toutes les réponses seront données sous forme de fractions irréductibles. On pourra s'aider d'un arbre de probabilité.}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item %A l'aide de l'énoncé, donner $P(V)$, $P(M)$ et $P_V(M)$.
$$P(V)=\dfrac{250}{1000}=\dfrac{1}{4}$$
$$ P(M)=\dfrac{10}{100}=\dfrac{1}{10}$$
$$ P_V(M)=\dfrac{4}{100}$$
\item %Calculer $P(M\cap V)$, puis  $P(M\cap \overline{V})$.
$$ P(M\cap V)=P(V)\times P_V(M)=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{4}{100}=\dfrac{1}{100}$$
De plus :
$$ P(M\cap V)+P(M\cap \overline{V})=P(M)\Longleftrightarrow P(M\cap \overline{V})=P(M)-P(M\cap V)=\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{100}=\dfrac{9}{100}$$
\item %En déduire $P_{\overline{V}}(M)$. Expliquer pourquoi ce vaccin a été efficace pour les élèves du lycée, bien qu'il ne les ait pas immunisés parfaitement.
$$ P_{\overline{V}}(M)=\dfrac{P(M\cap \overline{V})}{P(\overline{V})}=\dfrac{\dfrac{9}{100}}{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{3}{25}=\dfrac{9}{100}$$
Comme $P_{\overline{V}}(M)>P_V(M)$, le vaccin a été efficace pour les élèves du lycée.
\end{enumerate}
}


\newpage

\setcounter{Exi}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}16$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis


\Propc{\emph{On rappelle que si $n$ et $p$ sont deux nombres entiers naturels tels que $p \leqslant  n$ alors} $\displaystyle\binom{n}{p} = \dfrac{n!}{p!(n - p)!}$.
\\
Démontrer que pour tout nombre entier naturel $n$ et pour tout nombre entier naturel $p$ tels que $1 \leqslant p \leqslant n$ on a : $$\displaystyle\binom{n}{p} = \displaystyle\binom{n-1}{p-1} + \displaystyle\binom{n-1}{p}$$}

\Dem{$\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p}=\dfrac{(n-1)!}{(p-1)!(n-p)!}+\dfrac{(n-1)!}{p!(n-1-p)!}=\dfrac{(n-1)!p+(n-1)!(n-p)}{p!(n-p)!}=\dfrac{(n-1)![p+n-p]}{p!(n-p)!}=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}=\binom{n}{p} $}

\Exoi{\hfill (6 points)\\
\emph{Pour chacune des questions suivantes, \textbf{une ou deux des réponses} proposées sont correctes.
Deux points sont attribués à chacune des questions. Toute réponse inexacte est pénalisée de \np{0,5} point.
Il n'y a pas de pénalité en cas d'absence de réponse. Aucune justification n'est attendue.
Si le total des points obtenus est négatif, le note attribuée à l'exercice est 0.}
\\
\textbf{Recopier le numéro de la question et la ou les réponses correctes (deux au maximum).}
\begin{enumerate}
\item On tire au hasard une carte d'un jeu de 32 cartes.
%La probabilité de n'obtenir ni un as, ni un pique, est égale à:
Notons $p_1$ la probabilité cherchée.\\
Il y a $8$ piques plus trois as non pique donc $11$ cartes qui  sont soit des piques soit des as, d'où 
$$ p_1=1-\dfrac{11}{32}=\dfrac{21}{32}$$
La seule réponse correcte est donc la réponse $C.$
\item On tire au hasard et simultanément deux cartes d'un jeu de 32 cartes.
%La probabilité de n'obtenir ni un as, ni un pique, est égale à:
Notons $p_2$ cette probabilité, on a alors :
$p_2=\dfrac{21}{32}\times \dfrac{20}{31}=\dfrac{105}{248}$.
\\
De plus $\dfrac{\binom{21}{2}}{\binom{32}{2}}=\dfrac{105}{248}$, donc il y a deux réponses correctes, $A$ et $B$.
%\begin{enumerate}
\item On désigne par $A$ et $B$ deux événements indépendants d'un univers muni d'une loi de probabilité $p$.
On sait que $p(A \cup B) = \dfrac{4}{5}$ et $p\left(\overline{A}\right) =  \dfrac{3}{5}$. 
%La probabilité de l'événement $B$ est égale à :
$p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$, comme $A$ et $B$ sont indépendants on a : $p(A\cap B)=p(A)p(B)$ et $p(A)=1-p(\overline{A})=\dfrac{2}{5}$, d'où :
$$ \dfrac{4}{5}=\dfrac{2}{5}+p(B)-\dfrac{2}{5}p(B)\Longleftrightarrow \dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5}p(B)\Longleftrightarrow p(B)=\dfrac{2}{3}$$
réponse $B$ donc.
\end{enumerate}
}





\end{document}
