\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


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\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}15$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire


\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (6 points)\\
\textbf{Partie A}\\
Démontrer la formule d'intégration par parties en utilisant la formule de dérivation d'un produit de deux fonctions dérivables, à dérivées continues sur un intervalle $[a~;~b]$.\\
\textbf{Partie B : Application}
\\
Soient les deux intégrales définies par
\[I= \displaystyle\int_{0}^{\pi}  e^x \sin x\:\text{d}x \qquad \text{ et  } \qquad J = \displaystyle\int_{0}^{\pi}  e^x \cos x\:\text{d}x.\]
	\begin{enumerate}
		\item  En utilisant l'intégration par parties de deux manières différentes, démontrer que  $I=-J$ puis que $I= J+ e^{\pi} +1$. 
		\item  En déduire les valeurs exactes de I et de J.
	\end{enumerate}
}



\Dem{
\textbf{Partie A}\\
Soient $u$ et $v$ deux fonctions d\'erivables sur $[a~;~b]$ et dont les d\'eriv\'ees sont continues. Alors $uv$ est d\'erivable et $(uv)'=u'v+uv'$.\\
Par cons\'equent, $u'v=(uv)'- uv'$ et ce sont des fonctions continues d'o\`u $\int_{a}^bu'(x)v(x)\:\text{ d}x=\int_{a}^b[(uv)'(x)-u(x)v'(x)]\:\text{ d}x=\int_{a}^b(uv)'(x)\:\text{ d}x-\int_{a}^bu(x)v'(x)\:\text{ d}x\text{ (lin\'earit\'e de l'int\'egrale) }=[u(x)v(x)]_{a}^b-\int_{a}^bu(x)v'(x)\:\text{ d}x=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int_{a}^bu(x)v'(x)\:\text{ d}x$.\\
\textbf{Partie B}\\
Premi\`ere m\'ethode : on pose $u'(x)=\mathrm{e}^x$ d'o\`u $u(x)=\mathrm{e}^x$ et $v(x)=\sin x$ d'o\`u $v'(x)=\cos x$.\\
$u$ et $v$ sont d\'erivables et leurs d\'eriv\'ees sont continues. On effectue une int\'egration par parties : \\
$\text{I}=\left[\mathrm{e}^x\sin x\right]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}\mathrm{e}^x\cos x\text{ d}x=-\text{J}$ donc $\text{I}=-\text{J}$.\\\\
Deuxi\`eme m\'ethode : \\
on pose $u(x)=\mathrm{e}^x$ donc $u'(x)=\mathrm{e}^x$ et $w'(x)=\sin x$ d'o\`u $w(x)=-\cos x$.\\
$u'$ et $w'$ sont continues. On int\`egre par parties : \\
$\text{I}=\left[-\mathrm{e}^x\cos x\right]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}-\mathrm{e}^x\cos x\text{ d}x=1+\mathrm{e}^{\pi}+\text{J}$ donc $\text{I}=1+\mathrm{e}^{\pi}+\text{J}$.\\
On obtient le syst\`eme : \\
$\left\{\begin{array}{lcl}\text{I}=-\text{J}\\\text{I}=1+\mathrm{e}^{\pi}+\text{J}\end{array}\right.$.\\
On obtient : $\text{I}=\dfrac{1}{2}\left(1+\mathrm{e}^{\pi}\right)$ et $\text{J}=-\dfrac{1}{2}\left(1+\mathrm{e}^{\pi}\right)$
}

\Exoi{\hfill (4 points)\\
Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies, pour tout $x\in\R$ par  :
$$ f(x)=-x^2+2 \qquad \text{et} \qquad g(x)=x^2-2x-2$$
On note $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$ les courbes représentant respectivement $f$ et $g$ dans un repère $(O;\vec i, \vec j)$ orthonormé du plan d'unité $3$ cm.
\begin{enumerate}
\item %Montrer que $\mathscr C_f$ est au dessus de $\mathscr C_g$ sur $[-1;2]$.
On souhaite donc démontrer que $f(x)\geq g(x)$ pour tout $x\in [-1;2]$.
Or, 
$$ f(x)-g(x)=-x^2+2-x^2+2x+2=-2x^2+2x+4=2(-x^2+x+2)$$
On étudie alors le signe de $-x^2+x+2$ polynôme dont le discriminant vaut :
$$ \Delta=1+8=9$$ et dont les racines valent par conséquent $x_1=\dfrac{-1+3}{-2}=-1$ et $x_2=\dfrac{-1-3}{-2}=2$.\\
Ainsi l'expression $-x^2+x+2$ est positive pour tout $x$ compris entre $x_1$ et $x_2$, on en déduit :
$$ f(x)-g(x)\geq 0 \Longleftrightarrow f(x)\geq g(x) \quad \forall x\in [-1;2]$$
\item L'aire $\mathscr A$ (en u.a) vaut :
$$ \mathscr A=\int_{-1}^2 f(x)-g(x) dx= \left[-\dfrac{2}{3}x^3+x^2+4x\right]_{-1}^2=-\dfrac{16}{3}+4+8-\dfrac{2}{3}-1+4=-6+15=9\quad \text{u.a}$$
Et donc en cm$^2$ on obtient $$ \mathscr A=9\times 3=81\quad \text{cm}^2$$
\end{enumerate}}



\newpage

\setcounter{Exi}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}15$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis


\Propc{On supposera connus les résultats suivants : 
\\
Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~ b]$ avec $a < b$.
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Si $u \geqslant  0$ sur $[a~;~ b]$ alors $\displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x \geqslant  0$.
\item[$\bullet~$] Pour tous réels $\alpha$ et $\beta,~ \displaystyle\int_{a}^b [\alpha u(x) + \beta v(x)]\:\text{d}x = \alpha \displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x+ \beta \displaystyle\int_{a}^b v(x)\:\text{d}x$.
\end{itemize}
Démontrer que si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~b]$ avec $a < b$ et si,\\
 pour tout $x$ de $[a~;~ b],~ f(x) \leqslant g(x)$ alors $\displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x \leqslant  \displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x$. }

\Dem{$f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~b]$ donc $g - f$ est continue sur $[a~;~b]$
Pour tout $x$ de $[a~;~b],~f(x) \leqslant g(x)$ donc $g(x) - f(x) \geqslant 0$ donc $\displaystyle\int_{a}^b [g(x) -  f(x)]\:\text{d}x \geqslant 0$ \\
$\displaystyle\int_{a}^b [g(x) -  f(x)]\:\text{d}x = \displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x  - \displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x$ 
et $\displaystyle\int_{a}^b [g(x) -  f(x)]\:\text{d}x \geqslant 0$
donc  $\displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x  - \displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x \geqslant 0 $ soit $\displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x \geqslant \displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x$.}


\Exoi{\hfill (6 points)\\
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie pour tout $x\in\R$ par :
$$ f(x)=\dfrac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$$
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\dfrac{x}{1+x^2}$ est une primitive sur $\R$ de la fonction $f$.
$$F'(x)=\dfrac{1(1+x^2)-x\times 2x}{(1+x^2)^2}=\dfrac{1+x^2-2x^2}{(1+x^2)^2}=f(x)$$
Ainsi $F$ est une primitive de $f$.
\item En déduire :
$$ \int_0^1 \dfrac{1-x^2}{(1+x^2)^2}dx=F(1)-F(0)=\dfrac{1}{2}-0=\dfrac{1}{2}$$
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item %Calculer, à l'aide d'une intégration par parties, pour $x\in\R$ l'expression :
$$ F(x)=\int_{\frac{\pi}{2}}^x t\sin tdt=[-t\cos t ]_{\frac{\pi}{2}}^x+ \int_{\frac{\pi}{2}}^x \cos t dt=-x\cos x+[\sin t]_{\frac{\pi}{2}}^x=-x\cos x+x\sin x-1$$
Par conséquent, pour tout $x\in \R$ on a :
$$ F(x)=-x\cos x+x\sin x-1$$
\item D'après le cours (théorème fondamental du calcul intégral) la primitive de la fonction $x\longmapsto x\sin x$ s'annulant en $\dfrac{\pi}{2}$ est la fonction $F$ définie par :
$$ F(x)=\int_{\frac{\pi}{2}}^x t\sin tdt$$
donc ici :
$$ F(x)=-x\cos x+x\sin x-1$$
\end{enumerate}
\item %Calculer l'aire du domaine délimité par les courbes $\mathscr C_f$, $\mathscr C_g$ représentant $f$ et $g$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$ sachant que $$ f(x)=x\qquad \text{et}\qquad g(x)=x^2$$
Montrons que $f(x)\geq g(x)$, pour cela étudions le signe de la différence :
$$ f(x)-g(x)=x-x^2=x(1-x)$$
$x(1-x)\geq 0$ puisque $x\in [0;1]$, par conséquent $f(x)\geq g(x)$ et donc :
$$\mathscr A=\int_0^1 f(x)-g(x) dx= \int_0^1 x-x^2 dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}= \dfrac{3-2}{6}=\dfrac{1}{6} $$
\end{enumerate}
}





\end{document}
