\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


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      \let\danger\undefined
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\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}14$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire


\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (6 points)\\
\textbf{Partie A}\\
Démontrer la formule d'intégration par parties en utilisant la formule de dérivation d'un produit de deux fonctions dérivables, à dérivées continues sur un intervalle $[a~;~b]$.\\
\textbf{Partie B : Application}
\\
Soient les deux intégrales définies par
\[I= \displaystyle\int_{0}^{\pi}  e^x \sin x\:\text{d}x \qquad \text{ et  } \qquad J = \displaystyle\int_{0}^{\pi}  e^x \cos x\:\text{d}x.\]
	\begin{enumerate}
		\item  En utilisant l'intégration par parties de deux manières différentes, démontrer que  $I=-J$ puis que $I= J+ e^{\pi} +1$. 
		\item  En déduire les valeurs exactes de I et de J.
	\end{enumerate}
}



\Dem{
\textbf{Partie A}\\
Soient $u$ et $v$ deux fonctions d\'erivables sur $[a~;~b]$ et dont les d\'eriv\'ees sont continues. Alors $uv$ est d\'erivable et $(uv)'=u'v+uv'$.\\
Par cons\'equent, $u'v=(uv)'- uv'$ et ce sont des fonctions continues d'o\`u $\int_{a}^bu'(x)v(x)\:\text{ d}x=\int_{a}^b[(uv)'(x)-u(x)v'(x)]\:\text{ d}x=\int_{a}^b(uv)'(x)\:\text{ d}x-\int_{a}^bu(x)v'(x)\:\text{ d}x\text{ (lin\'earit\'e de l'int\'egrale) }=[u(x)v(x)]_{a}^b-\int_{a}^bu(x)v'(x)\:\text{ d}x=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int_{a}^bu(x)v'(x)\:\text{ d}x$.\\
\textbf{Partie B}\\
Premi\`ere m\'ethode : on pose $u'(x)=\mathrm{e}^x$ d'o\`u $u(x)=\mathrm{e}^x$ et $v(x)=\sin x$ d'o\`u $v'(x)=\cos x$.\\
$u$ et $v$ sont d\'erivables et leurs d\'eriv\'ees sont continues. On effectue une int\'egration par parties : \\
$\text{I}=\left[\mathrm{e}^x\sin x\right]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}\mathrm{e}^x\cos x\text{ d}x=-\text{J}$ donc $\text{I}=-\text{J}$.\\\\
Deuxi\`eme m\'ethode : \\
on pose $u(x)=\mathrm{e}^x$ donc $u'(x)=\mathrm{e}^x$ et $w'(x)=\sin x$ d'o\`u $w(x)=-\cos x$.\\
$u'$ et $w'$ sont continues. On int\`egre par parties : \\
$\text{I}=\left[-\mathrm{e}^x\cos x\right]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}-\mathrm{e}^x\cos x\text{ d}x=1+\mathrm{e}^{\pi}+\text{J}$ donc $\text{I}=1+\mathrm{e}^{\pi}+\text{J}$.\\
On obtient le syst\`eme : \\
$\left\{\begin{array}{lcl}\text{I}=-\text{J}\\\text{I}=1+\mathrm{e}^{\pi}+\text{J}\end{array}\right.$.\\
On obtient : $\text{I}=\dfrac{1}{2}\left(1+\mathrm{e}^{\pi}\right)$ et $\text{J}=-\dfrac{1}{2}\left(1+\mathrm{e}^{\pi}\right)$
}

\Exoi{
\begin{enumerate}
\item Déterminer une primitive $F$ pour chacune des fonctions $f$ définies sur $I$ par :
\begin{enumerate}
\item $f(x)=e^x-x^2$ sur $I=\R$ alors $F(x)=e^x-\dfrac{x^3}{3}$
\item $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ sur $I=\R^{+*}$ alors $f$ est de la forme $u'u$, par conséquent $F$ est de la forme $\dfrac{u^2}{2}$ et donc :
$$ F(x)=\dfrac{\ln^2 x}{2}$$
\end{enumerate}
\item Par conséquent :
$$ \int_0^1 e^x-x^2 dx=\left[e^x-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=e-\dfrac{1}{3}-e^0=e-\dfrac{4}{3}\qquad \text{et}\qquad \int_1^e \dfrac{\ln x}{x}dx=\left[\dfrac{\ln^2 x}{2}\right]_1^e=\dfrac{\ln^2 e}{2}-0=\dfrac{1}{2}$$
\end{enumerate}
}



\newpage

\setcounter{Exi}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}14$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis


\Propc{On supposera connus les résultats suivants : 
\\
Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~ b]$ avec $a < b$.
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Si $u \geqslant  0$ sur $[a~;~ b]$ alors $\displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x \geqslant  0$.
\item[$\bullet~$] Pour tous réels $\alpha$ et $\beta,~ \displaystyle\int_{a}^b [\alpha u(x) + \beta v(x)]\:\text{d}x = \alpha \displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x+ \beta \displaystyle\int_{a}^b v(x)\:\text{d}x$.
\end{itemize}
Démontrer que si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~b]$ avec $a < b$ et si,\\
 pour tout $x$ de $[a~;~ b],~ f(x) \leqslant g(x)$ alors $\displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x \leqslant  \displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x$. }

\Dem{$f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~b]$ donc $g - f$ est continue sur $[a~;~b]$
Pour tout $x$ de $[a~;~b],~f(x) \leqslant g(x)$ donc $g(x) - f(x) \geqslant 0$ donc $\displaystyle\int_{a}^b [g(x) -  f(x)]\:\text{d}x \geqslant 0$ \\
$\displaystyle\int_{a}^b [g(x) -  f(x)]\:\text{d}x = \displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x  - \displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x$ 
et $\displaystyle\int_{a}^b [g(x) -  f(x)]\:\text{d}x \geqslant 0$
donc  $\displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x  - \displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x \geqslant 0 $ soit $\displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x \geqslant \displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x$.}

\Exoi{\hfill (7 points)\\
\begin{enumerate}
\item Déterminer une primitive $F$ pour chacune des fonctions $f$ définies sur $I$ par :
\begin{enumerate}
\item $f(x)=e^x-x$ sur $I=\R$ alors $F(x)=e^x-\dfrac{x^2}{2}$
\item $f(x)=(1+x)^2$ sur $I=\R$ alors $f$ est de la forme $u'u^2$, par conséquent $F$ est de la forme $\dfrac{u^3}{3}$ et donc :
$$ F(x)=\dfrac{(1+x)^3}{3}$$
\end{enumerate}
\item En déduire :
$$ \int_0^1e^x-xdx=\left[e^x-\dfrac{x^2}{2}\right]_0^1=e-\dfrac{1}{2}-e^0=e-\dfrac{3}{2}\qquad \text{et}\qquad \int_1^e (1+x)^2 dx=\left[\dfrac{(1+x)^3}{3}\right]_1^e=\dfrac{(1+e)^3}{3}-\dfrac{8}{3}$$
\item On note $g(x)=e^x$ et $h(x)=x$. Déduire de la précédente question l'aire du domaine délimité par les courbes des fonctions $g$ et $h$ et par les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.\\
Sur $[0;1]$ les fonctions $g$ et $h$ sont strictement croissantes, par conséquent pour tout $x\in[0;1]$ on a :
$$ g(x)\geq e^0=1 \quad \text{et}\quad h(x)\leq 1\Longrightarrow g(x)\geq h(x)$$
Ainsi l'aire cherché vaut $$ \int_0^1e^x-xdx=e-\dfrac{3}{2} \quad \text{u.a}$$
\item On a :
$$ J=[te^t]_0^3-\int_0^3 e^tdt=3e^3-[e^t]_0^3=3e^3-e^3+1=2e^3+1$$
$$ I=\int_1^e \ln x dx=[t\ln t]_1^e-\int_1^e t\times \dfrac{1}{t}dt=e\ln e-\ln 1-\int_1^e 1dt=e-(e-1)=1$$ 
\end{enumerate}
}



\end{document}
