\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


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\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}13$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire


\Propc{Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$ et $f$ et $g$ deux fonctions continues sur l'intervalle $[a~;~b]$. On suppose connus les résultats suivants : 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 	$\displaystyle\int_{a}^b \left[f(t) + g(t)  \right]\:\text{d}t =  \displaystyle\int_{a}^b f(t)\:\text{d}t + \displaystyle\int_{a}^b g(t)\:\text{d}t$. 
\item[$\bullet~$] Si pour tout $t \in [a~;~b],~ f(t) \geqslant 0$ alors $\displaystyle\int_{a}^b f(t)\:\text{d}t \geqslant  0$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
Montrer que : si pour tout $t \in [a~;~b],~ f(t) \leqslant g(t)$ alors $\displaystyle\int_{a}^b f(t)\:\text{d}t \leqslant \displaystyle\int_{a}^b g(t)\:\text{d}t$.}

\Dem{$f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~b]$ donc $g - f$ est continue sur $[a~;~b]$
Pour tout $x$ de $[a~;~b],~f(x) \leqslant g(x)$ donc $g(x) - f(x) \geqslant 0$ donc $\displaystyle\int_{a}^b [g(x) -  f(x)]\:\text{d}x \geqslant 0$ \\
$\displaystyle\int_{a}^b [g(x) -  f(x)]\:\text{d}x = \displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x  - \displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x$ 
et $\displaystyle\int_{a}^b [g(x) -  f(x)]\:\text{d}x \geqslant 0$
donc  $\displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x  - \displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x \geqslant 0 $ soit $\displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x \geqslant \displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x$.}

\Exoi{\hfill (6 points)\\
\begin{enumerate}
\item %On consid�re la fonction $f$ d�finie sur $]0�~;~ +\infty[$ par 
\[f(x) = \sqrt{x} -  \ln x.\]
	\begin{enumerate}
		\item %�tudier les variations de $f$ et en d�duire que $f$ admet un minimum sur $]0~;~+\infty[$.
La fonction est une différence de fonctions dérivables sur $]0~;~ +\infty[$, elle est donc dérivable et 
\\
$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{\sqrt{x} - 2}{2x}$ qui est du signe du numérateur puisque $x > 0$.
\\
$f'(x) = 0 \iff \sqrt{x} = 2 \iff x = 4$ ;
\\
$f'(x) < 0 \iff 0 < x < 4$ ; $f$ est décroissante sur cet intervalle
\\
$f'(x) > 0 \iff x > 4$ ; $f$ est croissante sur cet intervalle.
\\
Il en résulte que $f$ a un minimum pour $x = 4$ et $f(4) = \sqrt{4} - \ln 4 2 - 2\ln 2 \approx 0,62$.
		\item %En d�duire le signe de $f$ puis que, pour tout $x > 1,~  0 < \dfrac{\ln x}{x} < \dfrac{\sqrt{x}}{x}$.
Le minimum de $f$ étant supérieur à zéro, $f(x) > 0$ quel que soit 
\\
$x \in ]0~;~+ \infty[$.
\\
Donc $f(x) > 0 \iff \sqrt{x} -  \ln x \iff \sqrt{x} >  \ln x \iff \dfrac{\sqrt{x}}{x} > \dfrac{\ln x}{x} \iff$
\\
$\dfrac{\ln x}{x} < \dfrac{\sqrt{x}}{x}$, car $x > 0$.
		\item %En d�duire que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$.
Comme $\dfrac{\sqrt{x}}{x} = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{\sqrt{x}} = 0$, on obtient par application du théorème des \og gendarmes \fg{} que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$.
             \end{enumerate}
\item %Soit $n$ un entier naturel non nul. 
%On consid�re la fonction $f_{n}$ d�finie sur $]0~;~+\infty[$ par�:
\[ f_{n}(x) = \dfrac{\ln x}{x^{\frac{1}{n}}}.\]
%En utilisant la question 1., d�terminer, si elle existe, la limite en $+ \infty$ de la fonction $f_{n}$.
On peut \'ecrire $f_{n}(x) = \dfrac{\ln x}{x^{\frac{1}{n}}} = \dfrac{\ln  x^{n \times \frac{1}{n}}}{x^{\frac{1}{n}}} = \dfrac{\ln \left(x^{\frac{1}{n}}\right)^n}{x^{\frac{1}{n}}} = n \dfrac{\ln \left(x^{\frac{1}{n}}\right)}{x^{\frac{1}{n}}}$.
\\
En posant $X = x^{\frac{1}{n}}$, $f_{n}(x) = n\dfrac{\ln X}{X}$.
\\
Or $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} X = + \infty$ et par composition, $\displaystyle\lim_{X \to + \infty} \dfrac{\ln X}{X} = 0$ 
\\
(\text{d'apr\`es la question pr\'ec\'edente)} $\Rightarrow \displaystyle\lim_{x \to + \infty} f_{n}(x) = 0.$  
%On a $n > 0 \Rightarrow \dfrac{1}{n} > 0 \Rightarrow \dfrac{1}{n} \geqslant 1 \iff $ d'o� pour tout $x$ sup�rieur � z�ro, $\dfrac{1}{x^{\frac{1}{n}}} \leqslant \dfrac{1}{x} \iff \dfrac{\ln x }{x^{\frac{1}{n}}} \leqslant \dfrac{\ln x}{x}$.
%
%D'apr�s la question pr�c�dente et par application du th�or�me des \og gendarmes \fg, on obtient $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f_{n}(x) = 0$.
\end{enumerate}}




\newpage

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}13$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis


\Propc{On supposera connus les résultats suivants : 
\\
Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~ b]$ avec $a < b$.
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Si $u \geqslant  0$ sur $[a~;~ b]$ alors $\displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x \geqslant  0$.
\item[$\bullet~$] Pour tous réels $\alpha$ et $\beta,~ \displaystyle\int_{a}^b [\alpha u(x) + \beta v(x)]\:\text{d}x = \alpha \displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x+ \beta \displaystyle\int_{a}^b v(x)\:\text{d}x$.
\end{itemize}
Démontrer que si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~b]$ avec $a < b$ et si,\\
 pour tout $x$ de $[a~;~ b],~ f(x) \leqslant g(x)$ alors $\displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x \leqslant  \displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x$. }

\Dem{$f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~b]$ donc $g - f$ est continue sur $[a~;~b]$
Pour tout $x$ de $[a~;~b],~f(x) \leqslant g(x)$ donc $g(x) - f(x) \geqslant 0$ donc $\displaystyle\int_{a}^b [g(x) -  f(x)]\:\text{d}x \geqslant 0$ \\
$\displaystyle\int_{a}^b [g(x) -  f(x)]\:\text{d}x = \displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x  - \displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x$ 
et $\displaystyle\int_{a}^b [g(x) -  f(x)]\:\text{d}x \geqslant 0$
donc  $\displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x  - \displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x \geqslant 0 $ soit $\displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x \geqslant \displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x$.}

\Exoi{\hfill (6 points)\\
On considère l'équation notée (E) : $ \ln x = -x$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item %D�terminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.
$f$ est une somme de fonctions dérivables sur $]0~;~ +\infty[$ : elle est donc dérivable sur $]0~;~ +\infty[$ et $f'(x) = 1 + \dfrac{1}{x} \geqslant 1 > 0$.
\\
La fonction $f$ est donc croissante sur $]0~;~ +\infty[$. 
\item %D�montrer que l'�quation $f(x) = 0$ admet une unique solution not�e $\alpha$ appartenant � l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.
On a : \\
- $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$ ;
\\
- $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
\\
Comme la fonction $f$ est croissante sur $]0~;~ +\infty[$ il existe un réel unique $\alpha > 0$ tel que $f(\alpha) = 0$. 
\item %V�rifier que : $\dfrac{1}{2} \leqslant  \alpha \leqslant  1$.
$f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{2} + \ln \left(\dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{1}{2} - \ln 2 < 0$.
\\
$f(1) = 1 + \ln 1 = 1 + 0 = 1 >0$.
\\
On a : $f\left(\dfrac{1}{2}\right) < 0,~f(1) > 0$ et $f$ croissante sur $\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$, donc 
\\
$\dfrac{1}{2} \leqslant  \alpha \leqslant  1$.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %�tudier le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.
		$g$ est une différence de fonctions dérivables sur  $]0~;~ +\infty[$ ; elle est donc dérivable et $f'(x) = \dfrac{1}{5}\left(4 - \dfrac{1}{x}\right) = \dfrac{1}{5}\dfrac{4x - 1}{x}$ qui est du signe de $4x - 1$, donc négative sur $\left]0~;~\dfrac{1}{4}\right]$ et positive sur $\left[\dfrac{1}{4}~;~+ \infty\right[.$
		\\
	$g$ est donc décroissante sur $\left]0~;~\dfrac{1}{4}\right]$, puis croissante.
	\item %En d�duire que pour tout nombre r�el $x$ appartenant � l'intervalle $\left[\dfrac{1}{2}~;~ 1\right],~ g(x)$ appartient � cet intervalle.
	Sur l'intervalle  $\left[\dfrac{1}{2}~;~ 1\right]$, on vient de voir que $g$ est croissante. Donc :
	\\
	$\dfrac{1}{2} \leqslant x \leqslant 1 \Rightarrow g\left(\dfrac{1}{2}\right) \leqslant g(x) \leqslant g(1).$
	\\
Or $g\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{2 - \ln \frac{1}{2}}{5} = \dfrac{2 + \ln 2}{5} \approx 0,53 > 0,5$ et $g(1) = \dfrac{4 - \ln 1}{5} = \dfrac{4}{5} < 1$.
\\
Conclusion : $\dfrac{1}{2} \leqslant x \leqslant 1 \Rightarrow \dfrac{1}{2} \leqslant g(x) \leqslant 1.$ 
	\item %D�montrer qu'un nombre r�el $x$ appartenant � l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ est solution de l'�quation  (E) si et seulement si $g(x) = x$.
	On a (E) $\quad : g(x) = x \iff \dfrac{4x - \ln x}{5} = x \iff 4x - \ln x = 5x \iff  x + \ln x = 0 \iff f(x) = 0$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
}



\end{document}
