\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}12$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire


\Propc{\textbf{Pr\'erequis :}
On rappelle que pour tout $a>0$ et pour tout $b>0$ on a :
$$ \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b).$$
Utiliser le r\'esultat pr\'ec\'edent pour d\'emontrer que
\[
\ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=-\ln(b) \qquad \textrm{ et que }\qquad\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)
\]
}

\Dem{
On a donc :
$$ 0=\ln 1=\ln \left(\dfrac{b}{b}\right)=\ln \left(b\times \dfrac{1}{b}\right)=\ln b+\ln\left(\dfrac{1}{b}\right)\Longleftrightarrow \ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=-\ln(b)$$
Puis :
$$ \ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln\left(a\times \dfrac{1}{b}\right)=\ln a +\ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=\ln a-\ln b$$
}

\Exoi{\hfill (6 points)\\
On considère la fonction $f$ définie par :
$$ f(x)=x\ln x-1$$
On note $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans le repère $(O;\vec u, \vec v)$.
\begin{enumerate}
\item  $f$ est définie pour $x>0$  donc $D_f=]0;+\infty[$
\item On sait que $$ \Lim{0^+}x\ln x=0$$
Par conséquent $\Lim{0^+}f(x)=-1$.\\
De plus, lorsque $x$ tend vers $+\infty$ c'est encore le cas de $\ln x$ par conséquent :
$$ \Lim{+\infty}x\ln x=+\infty\Longrightarrow \Lim{+\infty}f(x)=+\infty$$
\item De la question précédente on ne peut en déduire l'existence d'aucune asymptote.
\item Pour tout $x>0$ on a :
$$f'(x)=\ln x+x\times \dfrac{1}{x}-0=\ln x+1$$
De plus $\ln x+1\geq 0\Longleftrightarrow \ln x\geq -1\Longleftrightarrow x\geq e^{-1}$, d'où :
 \begin{center}
\begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit[espcl=6]{$x$/1, Signe\\de $ \ln x+1$/2, Variation\\ de $f$ /2} {$0$  ,$\dfrac{1}{e}$,  $+\infty$}%
  \tkzTabLine {,-,z,+,}%
  \tkzTabVar {+/ $-1$ , - /$-e^{-1}-1 $, +/$+\infty $ }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item L'équation de la tangente $\Delta$ au point $A$ d'abscisse $2$ est  :
$$ y=f'(a)(x-a)+f(a)=f'(2)(x-2)+f(2)=(\ln2+1)(x-2)+2\ln2-1=(\ln 2+1)x-3$$
\item Représenter graphiquement $\mathscr C_f$ et $\Delta$ dans le repère $(O;\vec u, \vec v)$.
\end{enumerate}
}

\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-3.1)(7.1,10.1)
\def\xmin{-1} \def\xmax{7} \def\ymin{-3} \def\ymax{10}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x   x ln mul 1 sub}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0.001}{12}{\F}
\def\G{2 ln 1 add x mul 3 sub}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{7}{\G}

\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}

\newpage

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}12$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis


\Propc{\textbf{Prérequis} : on rappelle que : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty$.
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$.
\begin{center}
\begin{footnotesize}
On pourra effectuer un changement de variable en posant $X=e^x$
\end{footnotesize}
\end{center}
\item  En déduire que pour tout entier naturel $n$ non nul : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x^n} =0$.
\end{enumerate}}

\Dem{\begin{enumerate}
\item Commencons par démontrer que $ \Lim{+\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$ en utilisant le fait que $$ \Lim{+\infty} \dfrac{e^x}{x}=+\infty\Longleftrightarrow \Lim{+\infty}\dfrac{x}{e^x}=0$$
Posons $X=e^x\Longleftrightarrow \ln X=x$ on a alors 
$$ \displaystyle\lim\limits_{X\to+\infty}\dfrac{\ln X}{X}=0$$
\item On en déduit alors pour $n\geq 2$ que $$ \Lim{+\infty} \dfrac{\ln x}{x^n}=\Lim{+\infty} \dfrac{1}{x^{n-1}}\times \dfrac{\ln x}{x}=0$$
car $  \Lim{+\infty} \dfrac{1}{x^{n-1}}=0$ et $ \Lim{+\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$.
\end{enumerate}}

\Exoi{\hfill (6 points)\\
On considère la fonction $f$ définie par :
$$ f(x)=\dfrac{\ln x}{x}-1$$
On note $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans le repère $(O;\vec u, \vec v)$.
\begin{enumerate}
\item $f$ est définie pour $x>0$ et $x\neq 0$ i.e $D_f=]0;+\infty[$.
\item On sait que $$ \Lim{+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$$
Par conséquent $$ \Lim{+\infty}f(x)=-1$$
De plus lorsque $x$ tend vers $0^+$, $\ln x$ tend vers $-\infty$ et le quotient d'une quantité tendant vers $-\infty$ par une quantité tendant vers $0^+$ tend vers $-\infty$, ainsi :
$$ \Lim{0^+}f(x)=-\infty$$
\item Comme $ \Lim{+\infty}f(x)=-1$, $\mathscr C_f$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=-1$.
\item Pour tout $x>0$, $f$ est dérivable et 
$$f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x-\ln x}{x^2}=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$$
$f'(x)$ est du signe de $1-\ln x$ donc :
$$ 1-\ln x\geq 0\Longleftrightarrow 1\geq \ln x\Longleftrightarrow \ln x\leq 1\Longleftrightarrow x\leq e$$
d'où 
 \begin{center}
\begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit[espcl=6]{$x$/1, Signe\\de $ f'(x)$/2, Variation\\ de $f$ /2} {$0$  ,$e$,  $+\infty$}%
  \tkzTabLine {,+,z,-,}%
  \tkzTabVar {-/ $-\infty$ , + /$\dfrac{1}{e}-1 $, -/$-1 $ }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item L'équation de la tangente $\Delta$ au point $A$ d'abscisse $2$ est  :
$$ y=f'(a)(x-a)+f(a)=f'(2)(x-2)+f(2)=\left(\dfrac{1-\ln 2}{4}\right)(x-2)+\dfrac{\ln 2}{2}-1=\left(\dfrac{1-\ln 2}{4}\right)x+\ln 2 -\dfrac{3}{2}$$
\item Représenter graphiquement $\mathscr C_f$ et $\Delta$ dans le repère $(O;\vec u, \vec v)$.
\end{enumerate}
}

\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-10.1)(7.1,1.1)
\def\xmin{-1} \def\xmax{7} \def\ymin{-10} \def\ymax{1}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-1.1,-10.1)(7.1,1.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x ln x div 1 sub}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0.001}{12}{\F}
\def\G{0.076713 x mul 0 0.806852 sub add}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{7}{\G}

\endpsclip
\end{pspicture*}


\end{center}

\end{document}
