\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}11$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire


\Propc{Le plan complexe est rapporté à un repre orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$.\\
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan d'affixes respectives $a,~b,~c$. \\
On suppose que $A$ et $B$ sont distincts, ainsi que $A$ et $C$.
\\
On rappelle que $\left(\overrightarrow{e_1},~\overrightarrow{\text{AB}}\right) = \text{arg}(b - a)\quad [2\pi]$.
\\Montrer que $\left(\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AC}}\right) = \text{arg}\left(\dfrac{c - a}{b - a} \right) \quad [2\pi]$. 
}

\Dem{
\begin{align*}
 \left(\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AC}\right) &= \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{e_1}\right)+\left(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{AC}\right) = -\left(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{AB}\right)+\left(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{AC}\right)\\
  &= -\text{arg}(b - a)+\text{arg}(c - a) = \text{arg}\left(\frac{c-a}{b-a}\right)\qquad [2\pi]
\end{align*}}

\Exoi{\hfill (6 points)\\
On munit le plan d'un repère orthonormal $(O;\vec i,\vec j)$. On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $$ z_A=2+2i\qquad z_B=5+2i\qquad z_C=5+6i$$
On prendra soin de faire et compléter la figure tout au long de l'exercice.
\begin{enumerate}
\item cf. ci-dessous.
\item On a :
\begin{eqnarray*}
\dfrac{z_A-z_B}{z_C-z_B}=&\dfrac{2+2i-5-2i}{5+6i-5-2i}\\
\dfrac{z_A-z_B}{z_C-z_B}=&\dfrac{-3}{4i}\\
\dfrac{z_A-z_B}{z_C-z_B}=&\dfrac{-3i}{-4}\\
\dfrac{z_A-z_B}{z_C-z_B}=&\dfrac{3}{4}i\\
\end{eqnarray*}
De plus, :
$$ ( \overrightarrow{BC}; \overrightarrow{BA})=arg\left(\dfrac{z_A-z_B}{z_C-z_B}\right)[2\pi]=arg\left(\dfrac{3}{4}i\right)[2\pi]=\dfrac{\pi}{2}[2\pi]$$
\item Comme $ ( \overrightarrow{BC}; \overrightarrow{BA})=\dfrac{\pi}{2}[2\pi]$ alors le triangle $ABC$ est rectangle en $B$
\item Soit $r$ la rotation d'angle $-\dfrac{2\pi}{3}$ et de centre $B$.
\begin{enumerate}
\item La forme complexe de $r$ est :
$$ z'-z_B=e^{-i \frac{2\pi}{3} }(z-z_B)\Longleftrightarrow z'-5-2i=e^{-i \frac{2\pi}{3} }(z-5-2i)$$
Ainsi,
$$ z_D-5-2i=e^{-i \frac{2\pi}{3} }(5+6i-5-2i)\Longleftrightarrow z_D=\left(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3} }{2}i\right)4i+5+2i\Longleftrightarrow z_D=-2i+2 \sqrt{3}+5+2i=2\sqrt{3}+5$$
\item Comme $D$ est l'image de $C$ par la rotation $r$ alors $BC=BD$, par conséquent le triangle $BCD$ est isocèle.
\item L'angle $( \overrightarrow{BA};\overrightarrow{BD})=2\pi-\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{2\pi}{3}[2\pi]=\dfrac{12\pi-3\pi-4\pi}{6}[2\pi]=\dfrac{7\pi}{6}[2\pi]$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\begin{center}

\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.1,-1.16)(7.32,4.6)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.1,-1.16)(7.32,4.6)
\psline(2,1)(5,1)
\psline(5,1)(5,3)
\psline(5,3)(2,1)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{-0.5235987755982985}{1.5707963267948968}{0.6*cos(t)+5|0.6*sin(t)+1}\lineto(5,1)\closepath}
\psline(5,1)(6.73,0)
\psline(5,3)(6.73,0)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2,1)
\rput[bl](1.66,0.82){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](5,1)
\rput[bl](5.08,1.04){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](5,3)
\rput[bl](5.08,3.04){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](6.73,0)
\rput[bl](6.82,0.04){$D$}
\rput[bl](5.24,1.08){\qqwuqq{$120\textrm{\degre}$}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\newpage

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}11$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis


\Propc{Le plan complexe est rapporté à un repre orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$.\\
Pour $M \neq \Omega$, on rappelle que le point $M'$ est l'image du point $M$ par la rotation $r$ de centre $\Omega$ et d'angle de mesure $\theta$ si et seulement si:
\[
\left\{
\begin{array}{rclc}
\Omega M'&=&\Omega M & (1)\\
\left(\overrightarrow{\Omega M}~;~\overrightarrow{\Omega M'}\right)&=&\theta \text{ à }2k\pi\text{ près }(k\in\Z) &(2)
\end{array}
\right.
\]
\begin{enumerate}
\item Soient $z$, $z'$ et $\omega$ les affixes respectives des points $M$, $M'$ et $\Omega$.
\\
Traduire les relations (1) et (2) en termes de modules et d'arguments.
\item En déduire l'expression de $z'$ en fonction de $z$, $\theta$ et $\omega$
\end{enumerate}}

\Dem{\begin{enumerate}
\item La relation (1) se traduit par 
$|z'-\omega|=|z-\omega|$ ou encore $ \dfrac{|z'-\omega|}{|z-\omega|}=1$
\\
La relation (2) se traduit par : $arg\left(\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}\right)=\theta[2\pi]$ 
\item Le nombre complexe $\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}$ a pour module $1$ et pour argument $\theta$, on 
peut donc écrire, en utilisant la forme exponentielle, que : $$ \dfrac{z'-\omega}{z-\omega}=e^{i\theta}$$
On en déduit alors que : $z'-\omega= e^{i\theta}(z-\omega)\Longleftrightarrow z'=e^{i\theta}(z-\omega)+\omega$
\end{enumerate}}

\Exoi{\hfill (6 points)\\
On munit le plan d'un repère orthonormal $(O;\vec i,\vec j)$. On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $$ z_A=2+2i\qquad z_B=5+2i\qquad z_C=5+6i$$
On prendra soin de faire et compléter la figure tout au long de l'exercice.
\begin{enumerate}
\item cf. ci-dessous.
\item On a :
\begin{eqnarray*}
\dfrac{z_A-z_B}{z_C-z_B}=&\dfrac{2+2i-5-2i}{5+6i-5-2i}\\
\dfrac{z_A-z_B}{z_C-z_B}=&\dfrac{-3}{4i}\\
\dfrac{z_A-z_B}{z_C-z_B}=&\dfrac{-3i}{-4}\\
\dfrac{z_A-z_B}{z_C-z_B}=&\dfrac{3}{4}i\\
\end{eqnarray*}
De plus, :
$$ ( \overrightarrow{BC}; \overrightarrow{BA})=arg\left(\dfrac{z_A-z_B}{z_C-z_B}\right)[2\pi]=arg\left(\dfrac{3}{4}i\right)[2\pi]=\dfrac{\pi}{2}[2\pi]$$
\item Comme $ ( \overrightarrow{BC}; \overrightarrow{BA})=\dfrac{\pi}{2}[2\pi]$ alors le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
\item Soit $h$ la transformation du plan qui a tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :
$$ z'=\dfrac{4}{3}z-\dfrac{5}{3}-\dfrac{2}{3}i$$
\begin{enumerate}
\item L'affixe de $E$, $z_E$ image de $A$ par $h$ est :
$$ z_E=\dfrac{4}{3}(2+2i)-\dfrac{5}{3}-\dfrac{2}{3}i=\dfrac{8}{3}+\dfrac{8}{3}i-\dfrac{5}{3}-\dfrac{2}{3}i=1+2i$$
\item On recherche le point fixe de $h$ :
$$ h(z)=z\Longleftrightarrow z=\dfrac{4}{3}z-\dfrac{5}{3}-\dfrac{2}{3}i\Longleftrightarrow -\dfrac{1}{3}z=-\dfrac{5}{3}-\dfrac{2}{3}i\Longleftrightarrow z=5+2i=z_B$$
L'unique point fixe de cette transformation est $B$, transformation de la forme $z'=az+b$ avec $a=\dfrac{4}{3}\in\R$, par conséquent $h$ est une homothétie de centre $B$ et de rapport $ \dfrac{4}{3}$. 
\item Comme $E$ est l'image de $A$ par l'homothétie $h$ les points $E$, $A$ et $B$ sont alignés, par conséquent le triangle $EBC$ est au moins rectangle en $B$. De plus $EB=\mid z_B-z_E\mid=4=CB$, ainsi le triangle $EBC$ est aussi isocèle.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.6,-0.62)(7.44,4.36)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.6,-0.62)(7.44,4.36)
\psline(2,1)(5,1)
\psline(5,1)(5,3)
\psline(5,3)(2,1)
\psline(1,1)(2,1)
\psline(1,1)(5,3)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2,1)
\rput[bl](1.66,0.82){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](5,1)
\rput[bl](5.08,1.04){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](5,3)
\rput[bl](5.08,3.04){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1,1)
\rput[bl](1.08,1.04){$E$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}
