\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}10$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire


\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
On suppose connu le résultat suivant :\\
La fonction $x \mapsto  \text{e}^x$ est l'unique fonction $\varphi$ dérivable sur $\R$ telle que $\varphi' = \varphi$, et $\varphi(0) = 1$.
\\
Soit $a$ un réel donné.
	\begin{enumerate}
		\item Montrons que la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{ax}$ est solution de l'équation $y' = ay$.\\
		On a $$ f'(x)=ae^{ax}=af(x)$$
		Par conséquent $f$ est solution de l'équation $y'=ay$.
		\item Soit $g$ une solution de l'équation $y'= ay$. Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x)  = g(x)\text{e}^{-ax}$. \\
		On a pour tout $x\in\R$, $$ h'(x)=g'(x)e^{-ax}-ag(x)e^{-ax}=e^{-ax}(g'(x)-ag(x))=e^{-ax}\times 0=0$$
	Par conséquent, pour tout $x\in\R$, $h(x)=K$ avec $K\in\R$.
		\item  	D'après la question précédente si $g$ est une solution de $y'=ay$ alors, pour tout $x\in\R$ $$g(x)e^{-ax}=K\Longleftrightarrow g(x)=Ke^{ax}$$
	\end{enumerate}
}



\Exoi{\hfill (6 points)\\
On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
$$g(x)=e^{-x^2}$$
\begin{enumerate}
\item Pour tout $x\in\R$ on a $$g(-x)=e^{-(-x)^2}=e^{-x^2}=g(x)$$
ce qui prouve que $g$ est paire.
\item On a $$ g'(x)=-2xe^{-x^2}$$
qui est du signe de $-2x$ puisque $e^{-x^2}>0$ pour tout $x\in\R$.
Ainsi :$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{0}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{g'(x)}&&\tx{+}&\txt{0}&\tx{-}&\cr
\tx{g}&&\fm&\txh{1}&\fd&\cr
}$$
\item On vient de le faire.
\item On a $ \Lim{+\infty}-x^2=-\infty$ et $\Lim{-\infty} e^x=0$, par conséquent :
$$ \Lim{+\infty}e^{-x^2}=0$$
De même  $ \Lim{-\infty}-x^2=-\infty$ et $\Lim{-\infty} e^x=0$, par conséquent :
$$ \Lim{-\infty}e^{-x^2}=0$$
\item Comme la dérivée s'annule en changeant de signe $0$, la fonction $g$ admet un extremum, un maximum en l'occurence qui est $1$.
\item Pour tout $x\in\R$ on a $g''(x)=-2e^{-x^2}+4x^2e^{-x^2}$, puis 
 $$g''(x)=0\Longleftrightarrow -2e^{-x^2}+4x^2e^{-x^2}=0\Longleftrightarrow -2+4x^2=0\Longleftrightarrow x^2=\dfrac{1}{2}\Longleftrightarrow x=\pm \sqrt{ \dfrac{1}{2} }=\pm \dfrac{ \sqrt{2} }{2}$$
\end{enumerate}
}

\newpage

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}10$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis


\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
L'objet de cette question est de d\'emontrer que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 
+\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty$.\\
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ d\'efinie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(x) =\mathrm{e}^x-\dfrac{x^2}{2}$.\\
Pour tout $x$ de $]0~;~+\infty[$ on a :
$$ g'(x)=e^x-\dfrac{2x}{2}=e^x-x\geq 0$$
Ainsi la fonction $g$ est strictement croissante et donc pour tout $x$ de $]0~;~+\infty[$ :
$$ g(x)\geq g(0)=1\geq 0\Longrightarrow e^x\geq \dfrac{x^2}{2}\Longrightarrow \dfrac{e^x}{x}\geq \dfrac{x}{2}$$
\item Comme $ \dfrac{x}{2}$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$ on en déduit immédiatement par comparaison que : $$\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty$$
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (6 points)\\
\begin{enumerate}
\item 
On note $$(E_1)\left\{ \begin{array}{l} z(0)=100 \\ z'=-0,5z +0,05 \end{array} \right.$$
\begin{enumerate}
\item $ z'=-0,5z +0,05$ admet une infinité de solutions de la forme $$z(x)=Ke^{-0,5x}- \dfrac{0,05}{-0,5}=Ke^{-0,5x}+\dfrac{1}{10}$$
\item Comme de plus $z(0)=100=K+\dfrac{1}{10}\Longleftrightarrow K=100-\dfrac{1}{10}=\dfrac{999}{10}=99,9$
\end{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $$f(x)=99,9e^{-0,5x}+\dfrac{1}{10}$$
\begin{enumerate}
\item Pour tout $x\in\R$ on a $f'(x)=-99,9\times 0,5 e^{-0,5x}=-49,95 e^{-0,5x}<0$, par conséquent la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\R$
\item On a $ \Lim{+\infty}-0,5x=-\infty$ et $\Lim{-\infty} e^x=0$, par conséquent :
$$ \Lim{+\infty}e^{-0,5x}+\dfrac{1}{10}
=\dfrac{1}{10}$$
De même  $ \Lim{-\infty}-0,5x=+\infty$ et $\Lim{+\infty} e^x=+\infty$, par conséquent :
$$ \Lim{-\infty}e^{-0,05x}+\dfrac{1}{10} =+\infty$$
\item Ainsi la droite d'équation $y=\dfrac{1}{10}$ est asymptote horizontale à la courbe en $+\infty$. 
\item L'équation de la tangente au point d'abscisse $0$ est $$ y=f'(a)(x-a)+f(a)=f'(0)x+f(0)=-49,95x+99,9+ \dfrac{1}{10}=-49,95x+100$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\end{document}
