\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}9$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}


\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire

\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
\begin{enumerate}
\item Compléter :\\
$f$ est dérivable en $a$ si et seulement si la limite de $ \dots\dots \dots\dots\dots \dots\dots\dots \dots\dots\dots $ lorsque $x$ tend vers $a$ existe et est finie.
\\
On note alors dans ce cas là :
$$ f'(a)=\dots\dots\dots \dots\dots \dots$$
\item En utilisant la question précédente démontrer que 
$$ \Lim{0}\dfrac{e^x-1}{x}=1$$
 \end{enumerate}
}



\Exoi{\hfill (6 points)\\
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $$ f(x)=e^x-x-4$$
et $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j)$.
\begin{enumerate}
\item Etudier les variations de la fonction $f$.
\item En remarquant que, pour tout réel non nul $x$ :
$$ f(x)=x\left(\dfrac{e^x}{x}-1-\dfrac{4}{x}\right)$$
déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
\item Démontrer que la droite $\mathscr D$ d'équation $x+y+4=0$ est asymptote à la courbe $\mathscr C_f$ en $-\infty$ et préciser la position de $\mathscr C_f$ par rapport à $\mathscr D$
\end{enumerate}}

\vfill

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}9$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}


\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
\begin{enumerate}
\item Montrer que $e^x>x$, pour cela étudier la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=e^x-x$.
\item En utilisant l'égalité précédent pour $X=\dfrac{x}{2}$ démontrer que pour tout $x\in\R^{+*}$ on a
$$ \dfrac{e^x}{x}\geq \dfrac{x}{4}$$ 
\item En déduire la limite de $ \dfrac{e^x}{x}$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
 \end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (6 points)\\
Soit $f$ la fonction définie sur $\R-\left\{-2\right\}$ par :
$$ f(x)=e^{\frac{x-1}{x+2} }$$
et $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer le tableau des variations de la fonction $f$.
\item Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$. En déduire les asymptotes éventuelles.
\item Déterminer les limites de $f$ en $2^+$ et en $2^-$. En déduire les asymptotes éventuelles.
\end{enumerate}}




\end{document}
