\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}7$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}


\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire

\Exoi{\textit{\textbf{R.O.C, Polynésie-juin 2005}}\hfill (4 points)\\
\textsl{Pr\'erequis : Théorème des valeurs intermédiaires}  
\og Soit $I$ un intervalle, $a$ et $b$ deux réels de $I$ tels que $a<b$.\\
Soit $f$ une fonction continue sur $I$, soit $k$ un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors :\\
il existe au moins un réel $c$ dans $[a;b]$ tel que $f(c)=k$ \fg{}. \\
D\'emontrer le th\'eorème suivant : \Thc[théorème de la bijection]{Soit $f$ une fonction continue et strictememnt monotone sur un intervalle $I$. Soit $a$ et $b$ deux réels de $I$ tels que $a<b$.\\
Soit $k$ un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$ alors :\\
il existe un unique $c$ dans $[a;b]$ tel que $f(c)=k$}
}

\Exoi{\hfill (6 points)\\
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $$f(x)=x^3-30x^2+112$$
On souhaite étudier le signe de la fonction $f$
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est-elle continue sur $\R$
\item Etudier la limite de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
\item Calculer $f'(x)$ et étudier son signe. Dresser le tableau de variation de $f$.
\item Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet trois solutions.
\item Avec la calculatrice, donner l'arrondi au dixième ou la valeur exacte de chaque solution.
\item En déduire le signe de $f$.
\end{enumerate}
}



\vfill

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}7$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}


\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
On considère la fonction partie entière $E$ qui a tout $x$ réel associe le plus grand entier inférieur ou égal à $x$. \\
Montrer que la fonction partie entière est discontinue pour tout $n\in\N$.
}

\Exoi{\hfill (6 points)\\
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'équation $ x^3+3x=5  $ admet une solution et une seule dans $\R$. 
\item Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de cette solution.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par  :
$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} x^2-1 \text{ si }x<0\\ x-1\text{ si }x\geq 0  \end{array} \right.$$
$f$ est-elle continue sur $\R$.
\item Quelle valeur de $a$ faut-il choisir pour que la fonction définie par :
$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{ \sqrt{x+1}-1 }{x} \text{ si }x\in[-1;0[\cup ]0;+\infty[ \\ a\text{ si }x= 0  \end{array} \right.$$
soit continue en $0$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}



\end{document}
