\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}6$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}


\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire

\Exoi{\textit{\textbf{R.O.C, Polynésie-juin 2005}}\hfill (2 points)\\
\textsl{Pr\'erequis : d\'efinition d'une suite tendant vers} $+ \infty$. 
\og \textsl{Une suite tend vers} $+ \infty$ \textsl{si, pour tout r\'eel $A$, tous les termes de la suite sont,  \`a partir d'un certain rang, sup\'erieurs  \`a $A$} \fg{}. \\
D\'emontrer le th\'eorème suivant : \textsl{ une suite croissante non major\'ee tend vers}  $+\infty$.
}

\Exoi{\hfill (6 points)\\
Soit $f$ la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;2]$ par :
$$f(x)=\dfrac{2x+1}{x+1}$$
\begin{enumerate}
\item Etudier les variations de $f$ sur l'intervalle $[0;2]$.
\item Montrer que si $x\in[1;2]$ alors $f(x)\in[1;2]$.
\item Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=f(u_n)=\dfrac{2u_n+1}{u_n+1}$
\begin{enumerate}
\item Démontrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que :
\\ Pour tout entier naturel $n$, $1\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 2$ 
\item En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
\end{enumerate} 
\end{enumerate}}
\Exoi{\hfill (2 points)\\
Démontrer que la représentation graphique $\mathscr C_f$ admet une asymptote que l'on précisera : 
$$ f:x\longmapsto \dfrac{5x^5+3x-1}{-x^5+4x^4+2x-7}$$}



\vfill

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}6$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}


\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (2 points)\\
On considère la fonction partie entière $E$ qui a tout $x$ réel associe le plus grand entier inférieur ou égal à $x$. \\
Montrer que la fonction partie entière est discontinue pour tout $n\in\N$.
}

\Exoi{\hfill (6 points)\\
On considère les deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies, pour tout entier naturel $n$, par :
$$ u_0=3\qquad \text{et }\qquad v_0=4\qquad u_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}{2}\qquad ;\qquad v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}+v_n}{2}$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$, $v_1$, $u_2$ et $v_2$.
\item Soit la suite $(w_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $w_n=v_n-u_n$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $(w_n)$ est géométrique de raison $ \dfrac{1}{4}$
\item Exprimer $w_n$ en fonction de $n$ et préciser la limite de la suite $(w_n)$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (2 points)\\
Déterminer la limite en $+\infty$ de la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$f(x)= \dfrac{1+4\cos x}{1+x^2}$$
}

\end{document}
