\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}5$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}


\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire

\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
\begin{enumerate}
\item Montrer, par récurrence, que pour tout réel $x$ positif et pour tout entier $n$, on a :
$$ (1+x)^n\geq 1+nx$$
\item Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_n=q^n$ (avec $q>0$).
\begin{enumerate}
\item En utilisant la première question (on posera $q=x+1$) montrer que $u_n$ a pour limite $+\infty$ lorsque $q>1$.
\item[(Hors Barème)] Si $q\in]0;1[$, en posant $q'=\dfrac{1}{q}>1$ démontrer que $u_n$ converge ves $0$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}



\Exoi{\hfill (5 points)\\
On considère la suite $(u_n)$ définie par : $$ u_0=0\qquad \text{et}\qquad u_{n+1}=\dfrac{2u_n+3}{u_n+4}$$
\begin{enumerate}
\item On pose, pour tout entier $n$, $v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+3}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $v_{n+1}=\dfrac{u_n-1}{5u_n+15}$
\item En déduire que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 
\end{enumerate}
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis en déduire la limite de $(v_n)$.
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $v_n$, puis en déduire la limite de $(u_n)$.
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (2 points (1 bonus))\\
Donner l'exemple d'une suite :
\begin{enumerate}
\item qui diverge vers $+\infty$ sans être croissante.
\item qui diverge sans pour autant que sa limite soit $+\infty$ ou $-\infty$.
\end{enumerate}}
\pagebreak

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}5$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}


\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
\begin{enumerate}
\item Montrer, par récurrence, que pour tout réel $x$ positif et pour tout entier $n$, on a :
$$ (1+x)^n\geq 1+nx$$
\item Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_n=q^n$ (avec $q>0$).
\begin{enumerate}
\item En utilisant la première question (on posera $q=x+1$) montrer que $u_n$ a pour limite $+\infty$ lorsque $q>1$.
\item[(Hors Barème)] Si $q\in]0;1[$, en posant $q'=\dfrac{1}{q}>1$ démontrer que $u_n$ converge ves $0$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}



\Exoi{\hfill (5 points)\\
On considère la suite $(u_n)$ définie par : $$ u_0=\dfrac{1}{2}\qquad \text{et}\qquad u_{n+1}=\dfrac{8u_n+3}{u_n+6}$$
\begin{enumerate}
\item On pose, pour tout entier $n$, $v_n=\dfrac{u_n-3}{u_n+1}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $v_{n+1}=\dfrac{5u_n-15}{9u_n+9}$
\item En déduire que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 
\end{enumerate}
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis en déduire la limite de $(v_n)$.
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $v_n$, puis en déduire la limite de $(u_n)$.
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (2 points (1 bonus))\\
Donner l'exemple d'une suite :
\begin{enumerate}
\item qui diverge vers $-\infty$ sans être décroissante.
\item qui diverge sans pour autant que sa limite soit $+\infty$ ou $-\infty$.
\end{enumerate}}

\end{document}
