\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}4$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}


\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire

\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
 On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_n=f(n)$, avec $f$ définie sur l' intervalle $[a;+\infty[$, où $a\geq 0$
\begin{enumerate}
\item
Si la fonction $f$ est croissante (resp. strictement croissante) sur $[a;+\infty[$ montrer que la suite $(u_n)$ est croissante (resp. strictement croissante).
\item 
Si la fonction $f$ est décroissante (resp. strictement décroissante) sur $[a;+\infty[$ montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante (resp. strictement décroissante).
\end{enumerate}}



\Exoi{\hfill (4 points)\\
On considère la suite $(u_n)$ définie par :
$$\left\{ \begin{array}{l} u_0=2 \\ u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n +3  \end{array} \right.$$
\begin{enumerate}
\item Démontrer, par récurrence, que $$ u_n=-4\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n+6$$
\item Soit la suite $(v_n)$ définie par $v_n=u_n-6$ pour tout $n\in\N$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $(v_n)$ est géométrique.
\item En déduire $(v_n)$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (2 points) \\
Déterminer le sens de variation des suites suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $u_n=\dfrac{n^2}{n+1}$, $\forall n\in\N$
\item $\forall n\in\N$, $v_{n+1}=\sqrt{v_n+2}$ et $v_0=-1$ \footnote{On montrera par récurrence la propriété $\mathscr P(n):v_{n+1}\geq v_n\geq -2$.}
\end{enumerate}
\end{multicols}}
\pagebreak

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}4$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}


\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
On considère une suite arithmétique de raison $r$
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que pour tout $n\in\N$, on a $u_{n}=u_{0}+nr$
\item Démontrer que pour tout $n\in \N$ et pour tout $p\in\N$, on a $u_{n}=u_{p}+(n-p)r$
\end{enumerate}
}



\Exoi{\hfill (4 points)\\
On considère la suite $(u_n)$ définie par :
$$\left\{ \begin{array}{l} u_0=5 \\ u_{n+1}=\dfrac{3}{2}u_n -1  \end{array} \right.$$
\begin{enumerate}
\item Démontrer, par récurrence, que $$ u_n=3\times \left(\dfrac{3}{2}\right)^n+2$$
\item Soit la suite $(v_n)$ définie par $v_n=u_n-2$ pour tout $n\in\N$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $(v_n)$ est géométrique.
\item En déduire $(v_n)$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (2 points) \\
Déterminer le sens de variation des suites suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $u_n=\dfrac{3}{4n+2}$, $\forall n\in\N$
\item $\forall n\in\N$, $v_{n+1}=\sqrt{v_n+2}$ et $v_0=6$ \footnote{On montrera par récurrence la propriété $\mathscr P(n):-2\leq v_{n+1}\leq v_n$.}
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\end{document}
