\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


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\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation finale }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro


\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire
\vspace{3mm}
\Propc{\begin{enumerate}
\item Démontrer qu'un nombre complexe $z$ est imaginaire pur si et seulement si $\overline{z} =  -z$.
\item Démontrer qu'un nombre complexe $z$ est réel si et seulement si $\overline{z}= z$.
\item Démontrer que pour tout nombre complexe $z$, on a l'égalité : $z\overline{z} = |z|^2$.
\end{enumerate}}

\Exoi{\textbf{Liban 3 juin 2010}}


\emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse choisie.}

\medskip
 
\emph{Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même nonfructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Une urne contient une boule blanche et deux boules noires. On effectue $10$~tirages successifs d'une boule avec remise (on tire une boule au hasard, on note sa couleur, on la remet dans l'urne 
et on recommence).

\medskip
 
\textbf{Proposition 1 :} \og La probabilité de tirer exactement 3 boules blanches est 

$3 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^3  \times  \left(\dfrac{2}{3}\right)^7$. \fg
 
\item Une variable aléatoire $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda  (\lambda > 0$).
 
On rappelle que pour tout réel $a > 0 : p(X \leqslant a) = \displaystyle\int_{0}^a \lambda \text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t$.
 
\textbf{Proposition 2 :} \og Le réel $a$ tel que $p(X > a) = p(X \leqslant a)$ est égal à $\dfrac{\ln 2}{\lambda}$. \fg
 
\end{enumerate}


\vfill

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation finale }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\vspace{3mm}
\setcounter{section}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis
\Propc{Démontrer la formule d'intégration par parties en utilisant la formule de dérivation d'un produit de deux fonctions dérivables, à dérivées continues sur un intervalle $[a~;~b]$.}




\Exoi{
On suppose que la dur\'ee de vie $T_{1}$ (en heures) de chaque composant d\'efectueux suit une loi exponentielle de param\`etre $\lambda_{1} = 5 \times  10^{-4}$ et que la dur\'ee de vie $T_{2}$ (en heures) de chaque composant non d\'efectueux suit une loi exponentielle de param\`etre $\lambda_{2} = 10^{-4}$ (on pourra se reporter au formulaire ci-dessous).
\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilit\'e que la dur\'ee de vie d'un composant soit sup\'erieure \`a \nombre{1000} heures :
\begin{enumerate}
\item si ce composant est d\'efectueux ;
\item si ce composant n'est pas d\'efectueux. Donner une valeur approch\'ee de ces probabilit\'es $10^{-2}$ pr\`es.
\end{enumerate}
\item Soit $T$ la dur\'ee de vie (en heures) d'un composant achet\'e au hasard.\\
D\'emontrer que la probabilit\'e que ce composant soit encore en \'etat de marche apr\`es $t$ heures de fonctionnement est :
\[P(T \geqslant 	t) = 0,02\text{e}^{-5\times 10^{-4}t} + 0,98\text{e}^{-10^{-4}t}.\]
(on rappelle que la probabilit\'e qu'un composant vendu dans le magasin soit d\'efectueux est \'egale \`a 0,02).
\item Sachant que le composant achet\'e est encore en \'etat de fonctionner \nombre{1000} heures apr\`es son installation, quelle est la probabilit\'e que ce composant soit d\'efectueux ?\\ Donner une valeur approch\'ee de cette probabilit\'e  \`a $10^{-2}$ pr\`es.
\end{enumerate}	}
\end{document}
