\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}
\usepackage{picins,fancyvrb,amsmath,amssymb,amsbsy,amsfonts,amstext,amscd,amsopn,amsxtra}

\usepackage[xcas]{pro-statdiv,pro-2varstat,pro-1varstat,pro-courbes}
\usepackage[upright]{fourier}
      \let\danger\undefined
	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{25}%

	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{16}%
	


\usepackage[frenchb]{babel}

\usepackage{fancyhdr}

\usepackage[french]{varioref}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}19$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro


\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire
\vspace{3mm}
\Propc{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
On considère l'espace muni d'un repère orthonormal $(O;\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$
Montrer l'équation cartésienne d'un plan dont on connaît un vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$ et un point $A(x_0;y_0;z_0)$ est de la forme :
$$ ax+by+cz+d=0$$
}

\Exoi{\hfill (6 points)\\
\begin{enumerate}
\item
L'espace $E$ est rapporté à un repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j, \vec k)$.
Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ont pour coordonnées respectives :
\[ (- 1~;~0~;~2),\quad (3~;~2~;~- 4), \quad (1~;~- 4~;~2), \quad (5~;~- 
2~;~4). \]
On considère les points $I$, $J$ et $K$ définis par : $I$ est le milieu 
du segment $[AB]$, $K$ est le milieu de $[CD]$ et 
$\vect{\text{BJ}} = \dfrac{1}{4}\vect{\text{BC}}$.
\begin{enumerate} 
\item Déterminer les coordonnées des points $I$, $J$ et $K$.
\item Montrer que les points $I$, $J$ et $K$ ne sont pas alignés.
\item Justifier qu'une équation cartésienne du plan $(IJK)$ est : $ 8x + 9y + 5z - 12 = 0. $
\end{enumerate}
\item
Plus généralement, dans l'espace $E$, on considère un tétraèdre $ABCD$ ainsi que les points $I$, $J$, $K$ et $L$ définis par $I$ est le milieu du segment $[AB]$, $K$  est le milieu du segment $[CD]$.
\[ \vect{\text{AL}} = \dfrac{1}{4}\vect{\text{AD}} 
\qquad \text{et} \qquad \vect{\text{BJ}} = 
\dfrac{1}{4}\vect{\text{BC}} \]
Soit $G$ le barycentre de $\{(A, 3), (B, 3), (C, 1), D, 1)\}$.
\begin{enumerate} 
\item Déterminer les barycentres de $\{(A, 3), (D, 1)\}$ et le 
barycentre de $\{(B, 3), (C, 1)\}$.
\item En associant les points $A$, $B$, $C$ et $D$ de deux façons 
différentes, montrer que $G$ appartient aux droites $(IK)$ et $(JL)$. En déduire 
que les points $I$, $J$, $K$ et $L$ sont coplanaires.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}


\vfill

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}19$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\vspace{3mm}
\setcounter{section}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis
\Propc{Si $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$, on rappelle que pour tout $t \geqslant  0, ~P(X \leqslant  t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$.
 \\
La fonction $R$ définie sur l'intervalle $[0~ ;~+\infty[$ par $R(t)= P(X> t)$ est appelée fonction de fiabilité.
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que pour tout $t \geqslant 0$ on a $R(t) = \text{e}^{- \lambda t}$.
\item  Démontrer que la variable $X$ suit une loi de durée de vie sans vieillissement, c'est-à-dire que pour tout réel $s\geqslant 0$, la probabilité conditionnelle $P_{X > t}(X > t + s)$ ne dépend pas du nombre $t \geqslant 0$.
\end{enumerate}}

\Exoi{\hfill (6 points)\\
L'espace E est rapporté à un repère orthonormal $(O;\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$. On considère les points A, B et C de coordonnées respectives (1 ;  0 ;  2), (1 ; 1 ; 4) et $(-1~;~1~;~1)$.\\
Soit $t$ un réel positif quelconque. On considère le barycentre $G$ des points A, B et C affectés des coefficients respectifs 1, 2 et $t$.
	\begin{enumerate} 
		\item Justifier l'existence du point $G$ pour tout réel positif $t$.
\item 
 Soit I le barycentre des points A et B affectés des coefficients respectifs 1 et 2. 
\\Déterminer les coordonnées du point I.
\item Démontrer que $G$ est un point de la droite $(IC)$.
\item Exprimer le vecteur $\vect{\text{I}G}$ en fonction du vecteur $\vect{\text{IC}}$.
		\item Montrer que l'ensemble des points $G$ lorsque $t$ décrit l'ensemble des nombres réels positifs ou nuls est le segment [IC] privé du point C.
\item
Pour quelle valeur de $t$, le milieu J du segment [IC] coïncide-t-il avec $G$ ?
	\end{enumerate}
}

\end{document}
