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\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}18$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro


\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire



\section*{\textbf{Métropole septembre 2005}}



L'espace est muni d'un repère orthonormal $(O;\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.
\begin{enumerate} 
\item On considère le plan $\mathcal{P}$ passant par le point B$(1~;~-2~;~1)$	 et de vecteur normal $\vect{n}(-2~;~1~;~5)$ et le plan  $\mathcal{R}$ d'équation cartésienne 

$x + 2y - 7 = 0$.
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{R}$ sont perpendiculaires.
		\item Démontrer que l'intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{R}$ est la droite $\Delta$ passant par le point C$(-1~;~4~;~-1)$ et de vecteur directeur $\vect{u}(2~;~-1~;~1)$.
		\item Soit le point A$(5~;~- 2~;~-1)$. Calculer la distance du  point A au plan $\mathcal{P}$,  puis la distance du  point A au plan $\mathcal{R}$.
		\item Déterminer la distance du point A à la droite $\Delta$.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate} 
	 	\item Soit, pour tout nombre réel $t$, le point $M_{t}$ de coordonnées $(1 + 2t~ ; ~3 -  t~;~ t)$.
Déterminer en fonction de $t$ la longueur A$M$. On note $\varphi(t)$ cette longueur. On définit ainsi une fonction $\varphi$ de $\R$ dans $\R$.
		\item Etudier le sens de variations de la fonction $\varphi$  sur $\R$ ; préciser son minimum.
		\item Interpréter géométriquement la valeur de ce minimum.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\vfill

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}18$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}

\setcounter{section}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis
\section*{\textbf{Antilles-Guyanne Septembre 2009}}

L'espace est muni d'un repère orthonormal $(O;\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.
 
On considère les points A$(1~;~-1~;~4)$, B$(7~;~-1~;~-2)$ et C$(1~;~5~;~-2)$. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AC}}$ et $\vect{\text{BC}}$. 
		\item  Montrer que le triangle ABC est équilatéral. 
		\item  Montrer que le vecteur $\vect{n}(1~;~1~;~1)$ est un vecteur normal au plan (ABC). 
		\item  En déduire que $x + y + z - 4 = 0$ est une équation cartésienne du plan (ABC).
	\end{enumerate} 
\item Soit $\mathcal{D}$ la droite de représentation paramétrique
\[\left\{\begin{array}{l c l} 
x&=&-2t\\ 
y&=&-2t-2\\
z&=&-2t-3
\end{array}\right. 
\text{où} \quad  t \in  \R.\] 

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ est perpendiculaire au plan (ABC). 
		\item Montrer que les coordonnées du point G, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan (ABC) sont (3~;~1~;~0). 
		\item Montrer que G est l'isobarycentre des points A, B et C.
	\end{enumerate}	 
\item Soit $\mathcal{S}$ la sphère de centre G passant par A.
 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation cartésienne de la sphère $\mathcal{S}$. 
		\item Déterminer les coordonnées des points d'intersection E et F, de la droite $\mathcal{D}$ et de la sphère $\mathcal{S}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


\end{document}
