\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


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\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}16$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro


\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire



\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
\textbf{Prérequis :} On rappelle que deux événements $A$ et $B$ sont indépendants pour la probabilité $p$ si et seulement si : $$p( A \cap  B) = p(A) \times p(B)$$
Soient $A$ et $B$ deux événements associés à une expérience aléatoire 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $p(B) = p(B \cap A)+ p\left(B \cap \overline{A}\right)$. 
	\item Démontrer que, si les événements $A$ et $B$ sont indépendants pour la probabilité $p$, alors les événements $\overline{A}$ et $B$ le sont également. 
	\end{enumerate}
}


\Exoi{\textit{Efficacité d'un vaccin}\hfill (6 points)\\
Dans un lycée de $1000$ élèves, $250$ se sont fait vacciner contre la grippe au début de l'année scolaire $2009-2010$. Une épidémie de grippe a affecté la population scolaire au cours de l'hivers, et $10\%$ des élèves ont contracté la maladie. Enfin, $4\%$ des élèves vaccinés ont eu la grippe.
\\
 On choisit au hasard l'un des élèves de ce lycée, tous les élèves ayant la même probabilité d'être choisis.\\
 On note $M$ : \og l'élève choisit a contracté la maladie \fg.\\
 $V$ : \og l'élève choisit a été vacciné \fg.
\begin{center}
\textit{Toutes les réponses seront données sous forme de fractions irréductibles. On pourra s'aider d'un arbre de probabilité.}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item A l'aide de l'énoncé, donner $P(V)$, $P(M)$ et $P_V(M)$.
\item Calculer $P(M\cap V)$, puis  $P(M\cap \overline{V})$.
\item En déduire $P_{\overline{V}}(M)$. Expliquer pourquoi ce vaccin a été efficace pour les élèves du lycée, bien qu'il ne les ait pas immunisés parfaitement.
\end{enumerate}
}



\vfill

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}16$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis


\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
\emph{On rappelle que si $n$ et $p$ sont deux nombres entiers naturels tels que $p \leqslant  n$ alors} $\displaystyle\binom{n}{p} = \dfrac{n!}{p!(n - p)!}$.
\\
Démontrer que pour tout nombre entier naturel $n$ et pour tout nombre entier naturel $p$ tels que $1 \leqslant p \leqslant n$ on a : $$\displaystyle\binom{n}{p} = \displaystyle\binom{n-1}{p-1} + \displaystyle\binom{n-1}{p}$$
}

\Exoi{\hfill (6 points)\\
\emph{Pour chacune des questions suivantes, \textbf{une ou deux des réponses} proposées sont correctes.
Deux points sont attribués à chacune des questions. Toute réponse inexacte est pénalisée de \np{0,5} point.
Il n'y a pas de pénalité en cas d'absence de réponse. Aucune justification n'est attendue.
Si le total des points obtenus est négatif, le note attribuée à l'exercice est 0.}
\\
\textbf{Recopier le numéro de la question et la ou les réponses correctes (deux au maximum).}
\begin{enumerate}
\item On tire au hasard une carte d'un jeu de 32 cartes.
La probabilité de n'obtenir ni un as, ni un pique, est égale à:
\begin{center}
\begin{tabular}{@{\textbf{A:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{B:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{C:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{D:}~~}p{2.5cm}}
$\dfrac58$ & $\dfrac{21}{32}$ & $\dfrac{11}{32}$ & $\dfrac{3}{8}$
\end{tabular}
\end{center}
\item On tire au hasard et simultanément deux cartes d'un jeu de 32 cartes.
La probabilité de n'obtenir ni un as, ni un pique, est égale à:
\begin{center}
\begin{tabular}{@{\textbf{A:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{B:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{C:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{D:}~~}p{2.5cm}}
$\dfrac{105}{248}$ & 
$\dfrac{\binom{21}{2}}{\binom{32}{2}}$ & 
$\dfrac{21^2}{32^2}$ & 
$\dfrac{5^2}{8^2}$
\end{tabular}
\end{center}
%\begin{enumerate}
\item On désigne par $A$ et $B$ deux événements indépendants d'un univers muni d'une loi de probabilité $p$.
On sait que $p(A \cup B) = \dfrac{4}{5}$ et $p\left(\overline{A}\right) =  \dfrac{3}{5}$. 
La probabilité de l'événement $B$ est égale à :
\begin{center}
\begin{tabular}{@{\textbf{A:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{B:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{C:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{D:}~~}p{2.5cm}}
$\quad \dfrac{2}{5}$&
$\quad \dfrac{2}{3}$&
 $\quad \dfrac{3}{5}$&
 $\quad \dfrac{1}{2}$
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}
}





\end{document}
