\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


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      \let\danger\undefined
	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{25}%

	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{16}%
	


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\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}15$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro


\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire



\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (6 points)\\
\textbf{Partie A}\\
Démontrer la formule d'intégration par parties en utilisant la formule de dérivation d'un produit de deux fonctions dérivables, à dérivées continues sur un intervalle $[a~;~b]$.\\
\textbf{Partie B : Application}
\\
Soient les deux intégrales définies par
\[I= \displaystyle\int_{0}^{\pi}  e^x \sin x\:\text{d}x \qquad \text{ et  } \qquad J = \displaystyle\int_{0}^{\pi}  e^x \cos x\:\text{d}x.\]
	\begin{enumerate}
		\item  En utilisant l'intégration par parties de deux manières différentes, démontrer que  $I=-J$ puis que $I= J+ e^{\pi} +1$. 
		\item  En déduire les valeurs exactes de I et de J.
	\end{enumerate}
}


\Exoi{\hfill (4 points)\\
Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies, pour tout $x\in\R$ par  :
$$ f(x)=-x^2+2 \qquad \text{et} \qquad g(x)=x^2-2x-2$$
On note $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$ les courbes représentant respectivement $f$ et $g$ dans un repère $(O;\vec i, \vec j)$ orthonormé du plan d'unité $3$ cm.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\mathscr C_f$ est au dessus de $\mathscr C_g$ sur $[-1;2]$.
\item Calculer l'aire $\mathscr A$ (en cm$^2$) du domaine délimité par les courbes $\mathscr C_f$, $\mathscr C_g$ et les droites d'équation $x=-1$ et $x=2$.
\end{enumerate}}



\vfill

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}15$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis


\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
On supposera connus les résultats suivants : 
\\
Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~ b]$ avec $a < b$.
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Si $u \geqslant  0$ sur $[a~;~ b]$ alors $\displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x \geqslant  0$.
\item[$\bullet~$] Pour tous réels $\alpha$ et $\beta,~ \displaystyle\int_{a}^b [\alpha u(x) + \beta v(x)]\:\text{d}x = \alpha \displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x+ \beta \displaystyle\int_{a}^b v(x)\:\text{d}x$.
\end{itemize}
Démontrer que si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~b]$ avec $a < b$ et si,\\
 pour tout $x$ de $[a~;~ b],~ f(x) \leqslant g(x)$ alors $\displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x \leqslant  \displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x$.
}

\Exoi{\hfill (6 points)\\
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie pour tout $x\in\R$ par :
$$ f(x)=\dfrac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\dfrac{x}{1+x^2}$ est une primitive sur $\R$ de la fonction $f$.
\item En déduire :
$$ \int_0^1 \dfrac{1-x^2}{(1+x^2)^2}dx$$
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Calculer, à l'aide d'une intégration par parties, pour $x\in\R$ l'expression :
$$ F(x)=\int_{\frac{\pi}{2}}^x t\sin tdt$$
\item En déduire la primitive de la fonction $x\longmapsto x\sin x$ s'annulant en $\dfrac{\pi}{2}$
\end{enumerate}
\item Calculer l'aire du domaine délimité par les courbes $\mathscr C_f$, $\mathscr C_g$ représentant $f$ et $g$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$ sachant que $$ f(x)=x\qquad \text{et}\qquad g(x)=x^2$$
\end{enumerate}
}





\end{document}
