\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


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	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{25}%

	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{16}%
	


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\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}14$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro


\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire



\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (6 points)\\
\textbf{Partie A}\\
Démontrer la formule d'intégration par parties en utilisant la formule de dérivation d'un produit de deux fonctions dérivables, à dérivées continues sur un intervalle $[a~;~b]$.\\
\textbf{Partie B : Application}
\\
Soient les deux intégrales définies par
\[I= \displaystyle\int_{0}^{\pi}  e^x \sin x\:\text{d}x \qquad \text{ et  } \qquad J = \displaystyle\int_{0}^{\pi}  e^x \cos x\:\text{d}x.\]
	\begin{enumerate}
		\item  En utilisant l'intégration par parties de deux manières différentes, démontrer que  $I=-J$ puis que $I= J+ e^{\pi} +1$. 
		\item  En déduire les valeurs exactes de I et de J.
	\end{enumerate}
}


\Exoi{\hfill (4 points)\\
\begin{enumerate}
\item Déterminer une primitive $F$ pour chacune des fonctions $f$ définies sur $I$ par :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=e^x-x^2$ sur $I=\R$
\item $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ sur $I=\R^{+*}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item En déduire :
$$ \int_0^1 e^x-x^2 dx\qquad \text{et}\qquad \int_1^e \dfrac{\ln x}{x}dx$$
\end{enumerate}
}



\vfill

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}14$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis


\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (3 points)\\
On supposera connus les résultats suivants : 
\\
Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~ b]$ avec $a < b$.
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Si $u \geqslant  0$ sur $[a~;~ b]$ alors $\displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x \geqslant  0$.
\item[$\bullet~$] Pour tous réels $\alpha$ et $\beta,~ \displaystyle\int_{a}^b [\alpha u(x) + \beta v(x)]\:\text{d}x = \alpha \displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x+ \beta \displaystyle\int_{a}^b v(x)\:\text{d}x$.
\end{itemize}
Démontrer que si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~b]$ avec $a < b$ et si,\\
 pour tout $x$ de $[a~;~ b],~ f(x) \leqslant g(x)$ alors $\displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x \leqslant  \displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x$.
}

\Exoi{\hfill (7 points)\\
\begin{enumerate}
\item Déterminer une primitive $F$ pour chacune des fonctions $f$ définies sur $I$ par :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=e^x-x$ sur $I=\R$
\item $f(x)=(1+x)^2$ sur $I=\R$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item En déduire :
$$ \int_0^1e^x-xdx\qquad \text{et}\qquad \int_1^e (1+x)^2 dx$$
\item On note $g(x)=e^x$ et $h(x)=x$. Déduire de la précédente question l'aire du domaine délimité par les courbes des fonctions $g$ et $h$ et par les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.
\item Déterminer, en intégrant par parties, les deux intégrales suivantes :
$$ I=\int_1^e \ln x dx\qquad \text{et} \qquad J=\int_0^3 te^t dt$$ 
\end{enumerate}
}





\end{document}
