\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


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      \let\danger\undefined
	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{25}%

	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{16}%
	


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\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}13$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro


\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire

\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$ et $f$ et $g$ deux fonctions continues sur l'intervalle $[a~;~b]$. On suppose connus les résultats suivants : 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 	$\displaystyle\int_{a}^b \left[f(t) + g(t)  \right]\:\text{d}t =  \displaystyle\int_{a}^b f(t)\:\text{d}t + \displaystyle\int_{a}^b g(t)\:\text{d}t$. 
\item[$\bullet~$] Si pour tout $t \in [a~;~b],~ f(t) \geqslant 0$ alors $\displaystyle\int_{a}^b f(t)\:\text{d}t \geqslant  0$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
Montrer que : si pour tout $t \in [a~;~b],~ f(t) \leqslant g(t)$ alors $\displaystyle\int_{a}^b f(t)\:\text{d}t \leqslant \displaystyle\int_{a}^b g(t)\:\text{d}t$.
}



\Exoi{\textbf{R.O.C again}\hfill (6 points)\\
\emph{Dans cet exercice, on demande aux candidats d'établir, en suivant la démarche proposée, deux résultats de cours.}
\\
On rappelle que la fonction $\ln$ est définie et dérivable sur $]0~;~+\infty[$, positive sur  $[1~;~+\infty[$, et vérifie :  
\[\left\{ \begin{array}{l}
\ln 1 = 0\\
\text{Pour tous réels strictement positifs}~x~\text{et}~y,~~\ln (xy)  = \ln x + \ln y\\
\text{Pour tout réel strictement positif} x, ~\left[\ln (x)\right]' = \dfrac{1}{x}\\
\ln (2) \approx 0,69~\text{à}~10^{-2}~\text{près}
\end{array}\right.\]
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par 
\[f(x) = \sqrt{x} -  \ln x.\]
	\begin{enumerate}
		\item Etudier les variations de $f$ et en déduire que $f$ admet un minimum sur $]0~;~+\infty[$.
		\item En déduire le signe de $f$ puis que, pour tout $x > 1,~  0 < \dfrac{\ln x}{x} < \dfrac{\sqrt{x}}{x}$.
		\item En déduire que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$.
             \end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel non nul. 
On considère la fonction $f_{n}$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par :
\[ f_{n}(x) = \dfrac{\ln x}{x^{\frac{1}{n}}}.\]
En utilisant la question 1., déterminer, si elle existe, la limite en $+ \infty$ de la fonction $f_{n}$.
\begin{center}
\begin{small}
On posera $X=x^{\frac{1}{n}}$ et on en déduire que $\ln X=\dfrac{\ln x}{n}$
\end{small}
\end{center}
\end{enumerate}
}

\pagebreak

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}13$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis


\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
On supposera connus les résultats suivants : 
\\
Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~ b]$ avec $a < b$.
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Si $u \geqslant  0$ sur $[a~;~ b]$ alors $\displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x \geqslant  0$.
\item[$\bullet~$] Pour tous réels $\alpha$ et $\beta,~ \displaystyle\int_{a}^b [\alpha u(x) + \beta v(x)]\:\text{d}x = \alpha \displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x+ \beta \displaystyle\int_{a}^b v(x)\:\text{d}x$.
\end{itemize}
Démontrer que si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~b]$ avec $a < b$ et si,\\
 pour tout $x$ de $[a~;~ b],~ f(x) \leqslant g(x)$ alors $\displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x \leqslant  \displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x$. 
}

\Exoi{\hfill (6 points)\\
On considère l'équation notée (E) : $ \ln x = -x$.
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ défmie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par $f (x) = x + \ln x$. 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. 
\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution notée $\alpha$ appartenant à l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. 
\item Vérifier que : $\dfrac{1}{2} \leqslant  \alpha \leqslant  1$.
\end{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par $g(x) = \dfrac{4x - \ln x}{5}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Etudier le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. 
	\item En déduire que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $\left[\dfrac{1}{2}~;~ 1\right],~ g(x)$ appartient à cet intervalle. 
	\item Démontrer qu'un nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ est solution de l'équation  (E) si et seulement si $g(x) = x$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} }





\end{document}
