\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}12$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro


\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire

\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
\textbf{Pr\'erequis :}
On rappelle que pour tout $a>0$ et pour tout $b>0$ on a :
$$ \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b).$$
Utiliser le r\'esultat pr\'ec\'edent pour d\'emontrer que
\[
\ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=-\ln(b) \qquad \textrm{ et que }\qquad\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)
\]
}



\Exoi{\hfill (6 points)\\
On considère la fonction $f$ définie par :
$$ f(x)=x\ln x-1$$
On note $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans le repère $(O;\vec u, \vec v)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble de définition de $f$, que l'on notera $D_f$
\item Déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition.
\item Peut-on déduire de la question précédente d'éventuelles asymptotes pour $\mathscr C_f$; si oui dire lesquelles.
\item Calculer $f'(x)$, puis dresser le tableau des variations de $f$ sur $D_f$.
\item Déterminer l'équation de la tangente $\Delta$ au point $A$ d'abscisse $2$.
\item Représenter graphiquement $\mathscr C_f$ et $\Delta$ dans le repère $(O;\vec u, \vec v)$.
\end{enumerate}
}

\vfill

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}12$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis


\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
\textbf{Prérequis} : on rappelle que : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty$.
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$.
\begin{center}
\begin{footnotesize}
On pourra effectuer un changement de variable en posant $X=e^x$
\end{footnotesize}
\end{center}
\item  En déduire que pour tout entier naturel $n$ non nul : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x^n} =0$.
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (6 points)\\
On considère la fonction $f$ définie par :
$$ f(x)=\dfrac{\ln x}{x}-1$$
On note $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans le repère $(O;\vec u, \vec v)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble de définition de $f$, que l'on notera $D_f$
\item Déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition.
\item Peut-on déduire de la question précédente d'éventuelles asymptotes pour $\mathscr C_f$; si oui dire lesquelles.
\item Calculer $f'(x)$, puis dresser le tableau des variations de $f$ sur $D_f$.
\item Déterminer l'équation de la tangente $\Delta$ au point $A$ d'abscisse $2$.
\item Représenter graphiquement $\mathscr C_f$ et $\Delta$ dans le repère $(O;\vec u, \vec v)$.
\end{enumerate}
}




\end{document}
