\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


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\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}11$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro


\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire

\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
Le plan complexe est rapporté à un repre orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$.\\
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan d'affixes respectives $a,~b,~c$. \\
On suppose que $A$ et $B$ sont distincts, ainsi que $A$ et $C$.
\\
On rappelle que $\left(\overrightarrow{e_1},~\overrightarrow{\text{AB}}\right) = \text{arg}(b - a)\quad [2\pi]$.
\\Montrer que $\left(\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AC}}\right) = \text{arg}\left(\dfrac{c - a}{b - a} \right) \quad [2\pi]$. 
}



\Exoi{\hfill (6 points)\\
On munit le plan d'un repère orthonormal $(O;\vec i,\vec j)$. On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $$ z_A=2+2i\qquad z_B=5+2i\qquad z_C=5+6i$$
On prendra soin de faire et compléter la figure tout au long de l'exercice.
\begin{enumerate}
\item On prendra soin de faire et compléter une figure tout au long de l'exercice.
\item Démontrer que $ \dfrac{z_A-z_B}{z_C-z_B}=\dfrac{3}{4}i$. En déduire une valeur de $( \overrightarrow{BC}; \overrightarrow{BA})$.
\item Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?
\item Soit $r$ la rotation d'angle $-\dfrac{2\pi}{3}$ et de centre $B$.
\begin{enumerate}
\item Rappeler la forme complexe de $r$, puis calculer l'affixe de $D$ image de $C$ par la rotation $r$.
\item quelle est la nature du triangle $BCD$.
\item Déterminer une mesure de l'angle $( \overrightarrow{BA};\overrightarrow{BD})$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\vfill

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}11$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis


\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
Le plan complexe est rapporté à un repre orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$.\\
Pour $M \neq \Omega$, on rappelle que le point $M'$ est l'image du point $M$ par la rotation $r$ de centre $\Omega$ et d'angle de mesure $\theta$ si et seulement si:
\[
\left\{
\begin{array}{rclc}
\Omega M'&=&\Omega M & (1)\\
\left(\overrightarrow{\Omega M}~;~\overrightarrow{\Omega M'}\right)&=&\theta \text{ à }2k\pi\text{ près }(k\in\Z) &(2)
\end{array}
\right.
\]
\begin{enumerate}
\item Soient $z$, $z'$ et $\omega$ les affixes respectives des points $M$, $M'$ et $\Omega$.
\\
Traduire les relations (1) et (2) en termes de modules et d'arguments.
\item En déduire l'expression de $z'$ en fonction de $z$, $\theta$ et $\omega$
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (6 points)\\
On munit le plan d'un repère orthonormal $(O;\vec i,\vec j)$. On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $$ z_A=2+2i\qquad z_B=5+2i\qquad z_C=5+6i$$
\begin{enumerate}
\item On prendra soin de faire et compléter une figure tout au long de l'exercice.
\item Démontrer que $ \dfrac{z_A-z_B}{z_C-z_B}=\dfrac{3}{4}i$. En déduire une valeur de $( \overrightarrow{BC}; \overrightarrow{BA})$.
\item Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?
\item Soit $h$ la transformation du plan qui a tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :
$$ z'=\dfrac{4}{3}z-\dfrac{5}{3}-\dfrac{2}{3}i$$
\begin{enumerate}
\item Calculer l'affixe de $E$ image de $A$ par $h$.
\item Quelle est la nature de la transformation $h$. Préciser ses éléments caractérisques.
\item Déterminer la nature du triangle $EBC$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}




\end{document}
