\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}10$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}


\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire

\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
On suppose connu le résultat suivant :\\
La fonction $x \mapsto  \text{e}^x$ est l'unique fonction $\varphi$ dérivable sur $\R$ telle que $\varphi' = \varphi$, et $\varphi(0) = 1$.
\\
Soit $a$ un réel donné.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{ax}$ est solution de l'équation $y' = ay$.
		\item Soit $g$ une solution de l'équation $y'= ay$. Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x)  = g(x)\text{e}^{-ax}$. Montrer que $h$ est une fonction constante. (On montrera $h'=0$)
		\item  	En déduire l'ensemble des solutions de l'équation $y' =  ay$.
	\end{enumerate}
}



\Exoi{\hfill (6 points)\\
On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
$$g(x)=e^{-x^2}$$
\begin{enumerate}
\item Etudier la parité de $g$.
\item Calculer $g'(x)$, puis étudier le signe de $g'$.
\item En déduire le tableau de variation de $g$.
\item Calculer les limites de $g$ en $+\infty$ puis en $-\infty$.
\item Déterminer les éventuels extremum de $g$.
\item Calculer $g''(x)$, puis résoudre $g''(x)=0$
\end{enumerate}
}

\vfill

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}10$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}


\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
L'objet de cette question est de d\'emontrer que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 
+\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty$.\\
On suppose connu le résultat suivant :
$$ \forall x\in\R^{+*}\qquad e^x\geq x$$
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ d\'efinie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(x) =\mathrm{e}^x-\dfrac{x^2}{2}$.\\
Montrer que pour tout $x$ de $]0~;~+\infty[$, $g(x)\geqslant 0$. (On étudiera la fonction $g$ pour cela).
\item En d\'eduire que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty$
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (6 points)\\
\begin{enumerate}
\item 
On note $$(E_1)\left\{ \begin{array}{l} z(0)=100 \\ z'=-0,5z +0,05 \end{array} \right.$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentiel $ z'=-0,5z +0,05$.
\item En déduire l'unique solution de l'équation différentielle $(E_1)$. 
\end{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $$f(x)=99,9e^{-0,5x}+\dfrac{1}{10}$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$, puis en déduire les variations de la fonction $f$.
\item Calculer les limites de $f$ en $+\infty$, puis en $-\infty$. 
\item En déduire d'éventuelles asymptotes.
\item Donner l'équation de la tangente de $f$ au point d'abscisse $0$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}




\end{document}
