  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 2 : Suites et récurrences }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}
\usepackage{pifont}


\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Complexes et exponentielles}	
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$ S}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
\newcommand{\Profs}{D.Zancanaro}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	PRemière Page
\pagestyle{empty}
\begin{framed}
\begin{center}
\begin{LARGE}
 BACCALAUREAT GENERAL GRIS CLAIR-Corrigé
\end{LARGE}
\end{center}
\end{framed}


\vfill

\begin{Large}
\begin{center}
\underline{SESSION 2011}
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
\textbf{MATHEMATIQUES-NON SPECIALISTE}
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
Série : \textbf{S}
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
DUREE DE L'EPREUVE : \textbf{4 Heures}. COEFFICIENT : \textbf{7}.
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
\textbf{Ce sujet comporte 5 pages numérotées de 1 à 5.}
\end{center}
\end{Large}




\begin{Large}
\begin{center}
L’utilisation de la calculatrice est autorisée.
\end{center}
\end{Large}

\vfill
\begin{framed}
\begin{large}
\begin{center}
Le candidat doit traiter tous les exercices. 
\end{center}
Il est invité à faire sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il 
aura développé. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des 
raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. 
\end{large}
\end{framed}

\pagebreak
\clearpage
\pagenumbering{arabic}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\fancypagestyle{styleLyc}{%
\fancyhf{} 
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
	\fancyfoot[LE,LO]{{\scriptsize\textsl{ \Profs \\ Lycée \LyDav }}}
	\fancyfoot[C]{\scriptsize\textsl{\Cl \\ \Annee}}
\fancyfoot[LE,RO]{\bfseries\thepage / \pageref{LastPage}}
}
\pagestyle{styleLyc}
%\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Bac Gris Clair}
\rhead{Mars 2011}


\Cr{BAC GRIS CLAIR}


\Exoi{\hfill (5 points)\\
\emph{Cet exercice contient une restitution organisée de connaissances.}
 \\
\textbf{Partie A}
\\
On suppose connus les résultats suivants :
\begin{enumerate}
\item Dans le plan complexe, on donne par leurs affixes $z_{A},~z_{B}$  et $z_{C}$ trois points $A,~ B$ et $C$.
\\
Alors $\left|\dfrac{z_{B} - z_{C}}{z_{A} - z_{C}}  \right|= \dfrac{CB}{CA}$ et arg$\left(\dfrac{z_{B} - z_{C}}{z_{A} - z_{C}}  \right) = \left(\vect{CA},~\vect{CB} \right) \quad (2\pi)$.
\item 	Soit $z$ un nombre complexe et soit $\theta$ un réel :
\\
$z = \text{e}^{\text{i}\theta}$  si et seulement si  $|z| =1$ et arg$(z) = \theta + 2k\pi$, où $k$ est un entier relatif.
\end{enumerate}
%\emph{Démonstration de cours} :  démontrer que la rotation $r$ d'angle $\alpha$ et de centre $\Omega$ d'affixe $\omega$ est la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que
%\[z' - \omega = \text{e}^{\text{i}\alpha}(z - \omega).\]
On a : $\Omega M=\Omega M'\Longleftrightarrow \dfrac{\Omega M}{\Omega M'}=1\Longleftrightarrow \dfrac{|z'-\omega|}{|z-\omega|}=1$\\
De plus arg$\left(\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}  \right) = \left(\overrightarrow{\Omega M'},~\overrightarrow{\Omega M} \right) \quad (2\pi)$, par conséquent le nombre complexe $\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}$ a pour module $1$ et pour argument $\theta$, on 
peut donc écrire, en utilisant la forme exponentielle, que : $$ \dfrac{z'-\omega}{z-\omega}=e^{i\theta}$$
On en déduit alors que : $z'-\omega= e^{i\theta}(z-\omega)$
\\
\textbf{Partie B}
\\
Dans un repère orthonormal direct du plan complexe $(O;\vec u, \vec v)$ d'unité graphique $2$~cm, on considère les points $A,~ B,~ C$ et $D$ d'affixes respectives 
 \[z_{A} = -\sqrt{3} - \text{i},~ z_{B} = 1 - \text{i}\sqrt{3},~ z_{C} = \sqrt{3} + \text{i}~\text{et}~z_{D} = - 1 +\text{i}\sqrt{3}.\]
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Donner le module et un argument pour, chacun des quatre nombres complexes $z_{A},~z_{B},~z_{C}$ et $z_{D}$.
		$$\left| z_A\right|=\sqrt{3+1}=2$$
		$$\left| z_B\right|=\sqrt{1+3}=2 $$
		$$ \left| z_C\right|=\sqrt{3+1}=2$$
		$$ \left| z_D\right|=\sqrt{1+3}=2$$
		Ainsi :
		$$ z_A=r(\cos \theta+i\sin \theta)=2\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{i}{2}\right)=2e^{-i\frac{5\pi}{6}}$$
		Le module de $z_A$ est donc $2$ et un argument de $z_A$ est $ -\dfrac{5\pi}{6}$.
		$$z_B=r(\cos \theta+i\sin \theta)=2\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}i}{2}\right)=2e^{-i\frac{\pi}{3}} $$ 
		Le module de $z_B$ est donc $2$ et un argument de $z_B$ est $ -\dfrac{\pi}{3}$.
			$$z_C=r(\cos \theta+i\sin \theta)=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{i}{2}\right)=2e^{i\frac{\pi}{6}} $$ 
		Le module de $z_C$ est donc $2$ et un argument de $z_C$ est $ \dfrac{\pi}{6}$.
			$$z_D=r(\cos \theta+i\sin \theta)=2\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{i\sqrt{3}}{2}\right)=2e^{i\frac{2\pi}{3}} $$ 
		Le module de $z_D$ est donc $2$ et un argument de $z_D$ est $ \dfrac{2\pi}{3}$.
		\item %Comment construire à la règle et au compas les points $A,~ B,~ C$ et $D$ dans le repère $(O;\vec u, \vec v)$ ?
		On trace le cercle, disons $\mathscr C$ de centre $O$ et de rayon $2$. $A$ est alors le point d'intersection de $\mathscr C$ avec la droite d'équation $y=-1$ situé dans le quart de plan d'abscisse et d'ordonnée négatives.\\
		$ B$ est le point d'intersection de $\mathscr C$ avec la droite d'équation $x=1$ situé dans le quart de plan d'abscisse positive et d'ordonnée négative.\\
		$C$ est le point d'intersection de $\mathscr C$ avec la droite d'équation $y=1$ situé dans le quart de plan d'abscisse  et d'ordonnée positives.\\
		 $D$ enfin est le point d'intersection de $\mathscr C$ avec la droite d'équation $x=-1$ situé dans le quart de plan d'abscisse négative et d'ordonnée positive.\\
		 \begin{center}
		 \newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.32,-3.27)(4.24,3.12)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.32,-3.27)(4.24,3.12)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](-1.73,-1)(1,-1.73)(1.73,1.01)(-1,1.73)
\pscircle(0,0){2}
\psplot[plotpoints=200]{-3.319616548873963}{4.244740177634255}{-1}
\psplot[plotpoints=200]{-3.319616548873963}{4.244740177634255}{1}
\psline(-1,-3.27)(-1,3.12)
\psline(1,-3.27)(1,3.12)
\psline[linecolor=zzttqq](-1.73,-1)(1,-1.73)
\psline[linecolor=zzttqq](1,-1.73)(1.73,1.01)
\psline[linecolor=zzttqq](1.73,1.01)(-1,1.73)
\psline[linecolor=zzttqq](-1,1.73)(-1.73,-1)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1,-1.73)
\rput[bl](1.14,-1.9){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.73,1.01)
\rput[bl](1.77,1.03){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-1,1.73)
\rput[bl](-0.96,1.87){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-1.73,-1)
\rput[bl](-2.08,-1.26){$A$}
\end{pspicture*}
		 \end{center}
		\item %Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ?
		Considérons la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$, alors l'image du point $A$ noté $A'$ est :
		$$ z_{A'}=iz_A=-\sqrt{3}i+1=z_B$$
		De même 
		$$ z_{B'}=iz_B=i+\sqrt{3}=z_C$$
		et $$ z_{C'}=iz_C=z_D$$
		ainsi que $$ z_{D'}=iz_D=z_A$$
		Par conséquent les diagonales de ce quadrilatère sont perpendiculaires et se coupent en leurs milieux et ont aussi la même longueur, $ABCD$ est donc un carré.
	\end{enumerate}
\item On considère la rotation $r$ de centre B et d'angle $- \dfrac{\pi}{3}$. Soient $E$ et $F$ les points du plan définis par :
$E = r(A)$ et $F = r(C)$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Comment construire à la règle et au compas les points $F$ et $E$ dans le repère précédent ?
		On construit les cercles de centre $A$ et de rayon $AB$ et de centre $B$ et de rayon $AB$, le point d'intersection de ces deux cercles à l'intérieur du carré $ABCD$ est le point $E$.\\
		On construit les cercles de centre $B$ et de rayon $BC$ et de centre $C$ et de rayon $BC$, le point d'intersection de ces deux cercles à l'extérieur du carré $ABCD$ est le point $F$.\\
		\begin{center}
		\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5.28,-4.26)(6.24,3.87)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-5.28,-4.26)(6.24,3.87)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](-1.73,-1)(1,-1.73)(1.73,1.01)(-1,1.73)
\pscircle(0,0){2}
\psplot[plotpoints=200]{-5.2757119211194485}{6.236293472035247}{-1}
\psplot[plotpoints=200]{-5.2757119211194485}{6.236293472035247}{1}
\psline(-1,-4.26)(-1,3.87)
\psline(1,-4.26)(1,3.87)
\psline[linecolor=zzttqq](-1.73,-1)(1,-1.73)
\psline[linecolor=zzttqq](1,-1.73)(1.73,1.01)
\psline[linecolor=zzttqq](1.73,1.01)(-1,1.73)
\psline[linecolor=zzttqq](-1,1.73)(-1.73,-1)
\pscircle(1,-1.73){2.83}
\psline(0.27,1)(1,-1.73)
\psline(1,-1.73)(3.74,-0.99)
\pscircle(-1.73,-1){2.83}
\pscircle(1.73,1.01){2.84}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1,-1.73)
\rput[bl](1.14,-1.91){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.73,1.01)
\rput[bl](1.77,1.03){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-1,1.73)
\rput[bl](-0.95,1.86){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-1.73,-1)
\rput[bl](-2,-1.22){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0.27,1)
\rput[bl](0.29,1.12){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3.74,-0.99)
\rput[bl](3.79,-0.96){$F$}
\end{pspicture*}
\end{center}
		\item  Donner l'écriture complexe de $r$ est donné par :
		$$ z'-z_B=e^{-i\frac{\pi}{2}}(z-z_B)$$
		\item  %Déterminer l'affixe du point $E$.
		$$z_E-z_B=e^{-i\frac{\pi}{3}}(z_A-z_B)\Longleftrightarrow z_E=e^{-i\frac{\pi}{3}}(z_A-z_B)+z_B=\left(\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(-\sqrt{3}-i-1+i\sqrt{3}\right)+1-i\sqrt{3}$$
		Après calcul on trouve $$ z_E=-\sqrt{3}+2+i$$
	 \end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{\hfill (5 points)\\
Soit $\varphi$ la fonction définie sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ par 
\[\varphi(x) = 1 + x^2 -  2x^2 \ln x. \]
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Etudier le sens de variation de la fonction $\varphi$
 %sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$. 
 $$ \varphi'(x)=2x-4x\ln x-2x^2\times \dfrac{1}{x}=2x-4x\ln x-2x=-4x\ln x$$
 Comme $x\geq 1$, $\ln x\geq 0 $ et donc $$ \varphi'(x)\leq 0$$
 On en déduit que $\varphi$ est strictement décroissante sur $[1;+\infty[$.
		\item %Calculer $\varphi(\text{e})$. Démontrer que l'équation $\varphi(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [1~;~e]. Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$. 
		$$ \varphi(e)=1+e^2-2e^2\ln e=1+e^2-2e^2=1-e^2<0$$
		On a $\varphi(1)=1+1=2>0$, la fonction $\varphi$ est continue sur $[1;e]$ (puisque dérivable) et strictement décroissante, par conséquent d'après un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l'équation $\varphi(x)=0$ admet une unique solution dans $[1;e]$.\\
		On trouve (à l'aide de la calculatrice) que $ 1,8<\alpha <1,9$
		\item% Déterminer le signe de $\varphi(x)$ suivant les valeurs de $x$.
		La fonction $\varphi$ est strictement décroissante, par conséquent :$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{1}&&\tx{\alpha}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{\varphi(x)}&&\tx{+}&\txt{0}&\tx{-}&\cr
}$$
	\end{enumerate} 
\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ par 
\[f(x) = \dfrac{\ln x}{1 + x^2}.\]
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f'(x)$ et montrer que pour tout $x \geqslant 1$ on a : $f'(x) = \dfrac{\varphi(x)}{x\left(1 + x^2 \right)^2}$. 
		Pour tout $x\geq 1$ on a :
		$$ f'(x)=\dfrac{\frac{1}{x}(1+x^2)-2x\ln x}{(1+x^2)^2}=\dfrac{\frac{1}{x}(1+x^2-2x^2\ln x}{(1+x^2)^2}=\dfrac{1+x^2-2x^2\ln x}{x(1+x^2)^2}=\dfrac{\varphi(x)}{x(1+x^2)^2}$$
		\item  %Déduire de la question 1. le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$. 
		Compte tenu de l'expression de $f'(x)$ et de la positivité de son dénominateur, $f'(x)$ et $\varphi(x)$ ont le même signe, par conséquent :
		$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{1}&&\tx{\alpha}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{\varphi(x)}&&\tx{+}&\txt{0}&\tx{-}&\cr
\tx{f(x)}&&\fm&&\fd&\cr
}$$
		\item  %Démontrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ on a : 
		On a pour tout $x\geq 1$ :
		$$ 1+x^2\geq x^2\Longleftrightarrow 0\leq \dfrac{1}{1+x^2}\leq \dfrac{1}{x^2}\Longleftrightarrow 0\leq f(x)\leq \dfrac{\ln x}{x^2}$$
\[0  \leqslant  f(x) \leqslant  \dfrac{\ln x}{x^2}.\] 
		\item  %En déduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. 
		On sait que $$ \Lim{+\infty}\dfrac{\ln x}{x^2}=0$$
		D'après le théorème des gendarmes et d'après la question précédente on a :
		$$ \Lim{+\infty} f(x)=0$$
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %A l'aide d'une intégration par parties, montrer que $\displaystyle\int_{1}^{\text{e}}  \dfrac{\ln x}{x^2}\:\text{d}x = 1 - \dfrac{2}{\text{e}}$. 
		$$ \int_{1}^{\text{e}}  \dfrac{\ln x}{x^2}\:\text{d}x=\left[-\dfrac{1}{x}\times \ln x\right]_1^e-\int_1^e -\dfrac{1}{x}\times \dfrac{1}{x} dx=-\dfrac{1}{e}+\int_1^e \dfrac{1}{x^2}dx=-\dfrac{1}{e}+\left[-\dfrac{1}{x}\right]_1^e=-\dfrac{1}{e}-\dfrac{1}{e}+1=-\dfrac{2}{e}+1$$
		\item On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$, dans un repère orthonormé $(0;\vec i, \vec j)$ d'unité graphique 1~cm.
Soit $\mathscr{A}$ l'aire exprimée en cm$^2$ du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = \text{e}$.
 \\
%Déterminer un encadrement de $\mathscr{A}$. 
D'après une question passée on a, pour tout $x\in [1;e]$ :
$$0\leq f(x)\leq \dfrac{\ln x}{x^2} $$
Par conséquent :
$$ 0\leq \int_1^e f(x) dx\leq \int_1^e \dfrac{\ln x}{x^2}dx=1-\dfrac{2}{e}$$
Ainsi :
$$ 0\quad \text{cm}^2 \leq \mathscr A\leq 1-\dfrac{2}{e} \quad \text{cm}^2$$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{\hfill (5 points)\\
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
\[f(x) = \dfrac{9}{2}\text{e}^{-2x} - 3\text{e}^{-3x}.\]
\textbf{Partie A :}
\\
Soit l'équation différentielle (E) : $y' +2y = 3\text{e}^{-3x}$.
\begin{enumerate}
\item  %Résoudre l'équation différentielle (E$'$) : $y' +2y = 0$.
L'équation différentielle $(E')$ admet une infinité de solutions $z$ de la forme 
$$\forall t\in\R \qquad  z(t)=Ke^{-2t}\qquad \text{avec }K\in \R$$
\item %En déduire que la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x) =
%\dfrac{9}{2}\text{e}^{-2x}$ est solution de (E$'$).
Effectivement on en déduit que $h$ est solution de $(E')$ avec $k=\dfrac{9}{2}$.
\item  %Vérifier que la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = - 3\text{e}^{-3x}$ est solution de l'équation (E).
$$ g'(x)=9e^{-3x}$$
D'où 
$$ g'(x)+2g(x)=9e^{-3x}-6e^{-3x}=3e^{-3x}$$
Donc $g$ est bien solution de $(E)$.
\item  %En remarquant que $f = g +h$, montrer que $f$ est une solution de (E).
On a bien $f=g+h$, par conséquent on a :
$$ f'+2f=g'+h'+2g+2h=g'+2g+h'+2h$$
Or, $g'+2g=0$ et $h'(x)+2h(x)=3e^{-3x}$, d'où :
$$ f'(x)+2f(x)=0+3e^{-3x}$$
Et donc $f$ est bien solution de $(E)$.
\end{enumerate}
\textbf{ Partie B :}
\\
On nomme $\mathscr{C}_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j)$ d'unité 1~cm.
\begin{enumerate}
\item  %Montrer que pour tout $x$ de $\R$ on a : $f(x) = 3\text{e}^{-2x}\left(\dfrac{3}{2} - \text{e}^{-x}\right)$.
On a, $\forall x\in\R$ :
$$ 3\text{e}^{-2x}\left(\dfrac{3}{2} - \text{e}^{-x}\right)=\dfrac{9}{2}e^{-2x}-3e^{-2x-x}=f(x)$$
\item  %Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ puis la limite de $f$ en $- \infty$.
$$\Lim{+\infty} e^{-2x}=\Lim{+\infty}e^{-x}=0$$
Donc $$ \Lim{+\infty} f(x)=0$$
De même on a :
$$\Lim{-\infty} e^{-2x}=\Lim{-\infty}e^{-x}=+\infty$$
Donc $$ \Lim{-\infty} f(x)=+\infty\times -\infty=-\infty$$
\item  %Etudier les variations de la fonction $f$ et dresser le tableau de variations de $f$.
Pour tout $x\in\R$ on a :
$$ f'(x)=-9e^{-2x}+9e^{-3x}=9e^{-2x}(e^{-x}-1)$$
Ce qui est du signe de $e^{-x}-1$ étant donné que $9e^{-2x}>0$ pour tout $x\in\R$.\\
Or, $$ e^{-x}-1\geq 0\Longleftrightarrow e^{-x}\geq 1\Longleftrightarrow -x\geq \ln 1=0\Longleftrightarrow x\leq 0$$
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{0}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f'(x)}&&\tx{+}&\txt{0}&\tx{-}&\cr
\tx{f(x)}&\txb{-\infty}&\fm&&\fd&\txb{0}\cr
}$$
\item  %Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $\mathscr{C}_{f}$ avec les axes du repère.
$$ f(0)=4,5-3=1,5=\dfrac{3}{2}$$
Ainsi le point $A(0;1,5)$ est le point d'intersection entre $\mathscr C_f$ et l'axe des ordonnées.
\\
Résolvons $f(x)=0\Longleftrightarrow 4,5e^{-2x}=3e^{-3x}$ :
\begin{eqnarray*}
& & f(x)=0\\
&\Longleftrightarrow & 3\text{e}^{-2x}\left(\dfrac{3}{2} - \text{e}^{-x}\right)=0\\
& \Longleftrightarrow & 3e^{-2x}=0\qquad \text{ou}\qquad \dfrac{3}{2} -e^{-x}=0\\
&\Longleftrightarrow & e^{-x}=\dfrac{3}{2}\\
&\Longleftrightarrow & -x=\ln 3-\ln 2\\
&\Longleftrightarrow& x=\ln 2-\ln 3=\ln \dfrac{2}{3}\\
\end{eqnarray*}
Par conséquent le point d'intersection de $\mathscr C_f$ avec l'axe des abscisses a pour coordonnée $\left(\ln \dfrac{2}{3};0\right)$.
\item  %Calculer $f(1)$ et tracer l'allure de la courbe $\mathscr{C}_{f}$.
$f(1)=4,5e^{-2}-3e^{-3}$.
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.1,-5.1)(5.1,2.1)
\def\xmin{-2} \def\xmax{5} \def\ymin{-5} \def\ymax{2}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2.1,-5.1)(5.1,2.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{4.5 0 2 x mul sub EXP mul 3 0 3 x mul sub EXP mul sub}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-5}{5}{\F}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\item  %Déterminer l'aire $\mathscr{A}$ de la partie du plan délimitée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathscr{C}_{f}$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$. On exprimera cette aire en
%cm$^2$.
La fonction $f$ est strictement positive sur $\R^+$ puisque $f(0)=1,5$ et que $\Lim{+\infty} f(x)=0$ et car elle est strictement décroissante sur $\R^+$, donc :
$$\mathscr A=\int_0^1 f(x) dx= \int_0^1  \dfrac{9}{2}\text{e}^{-2x} - 3\text{e}^{-3x} dx= \left[-\dfrac{9}{4}e^{-2x}+e^{-3x}\right]_0^1=-\dfrac{9}{4e^2}+\dfrac{1}{e^3}+\dfrac{9}{4}-1\quad \text{cm}^2$$
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (6 points)\\
\begin{center} L'objectif de l'exercice est l'étude d'une fonction et d'une suite liée à cette fonction \end{center}
\textbf{PARTIE A}
\\
On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par :
\[ f(x) = \dfrac{1}{x^2}\text{e}^{\frac{1}{x}}.\] 
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j)$. L'unité graphique est 1~cm.
\begin{enumerate}
\item  Etude des limites 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $0$. 
$$ f(x)=\dfrac{1}{x}\times \dfrac{1}{x}e^{\frac{1}{x}}$$
Or on sait que $\Lim{+\infty} xe^x=+\infty$, par conséquent :
$$ \Lim{0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty\Longrightarrow \Lim{0^+}\dfrac{1}{x}e^{\frac{1}{x}}=\Lim{+\infty}xe^x=+\infty$$
et donc $$ \Lim{0^+}f(x)=+\infty$$
\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $+\infty$. 
$$ \Lim{+\infty}f(x)=0\times e^0=0\times 1=0$$
\item %Quelles conséquences peut-on déduire de ces deux résultats, pour la courbe $\mathcal{C}$  ?
$\mathscr C$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=0$ et une asymptote verticale d'équation $x=0$.
\end{enumerate} 
\item Etude des variations de la fonction $f$ 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que, la fonction dérivée de la fonction $f$ s'exprime, pour tout réel $x$ strictement positif, par : 
%\[f'(x) = - \dfrac{1}{x^4}\text{e}^{\frac{1}{x}}(2x + 1).\] 
$$f'(x)=\dfrac{-2x}{x^4}e^{\frac{1}{x}}-\dfrac{1}{x^2}\times \dfrac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}}=-\dfrac{1}{x^4}e^{\frac{1}{x}}(2x+1)$$
		\item %Déterminer le signe de $f'$ et en déduire le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle  $]0~;~+\infty[$. 
		Pour tout $x>0$, on a $f'(x)<0$ et donc :
		$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{0}&&&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f'(x)}&&&\tx{-}&&\cr
\tx{f(x)}&\txh{+\infty}&&\fd&&\txb{0}\cr
}$$
		\item %Démontrer que l'équation $f(x) = 2$ a une unique solution notée $\alpha$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$ et donner la valeur approchée de $\alpha$ arrondie au centième.
		$f$ est une fonction continue strictement décroissante sur $]0;+\infty[$ avec $+\infty$ pour limite eb $0$ et $0$ pour limite en $+\infty$, donc d'après un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l'équation $f(x)=2$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0;+\infty[$.
	\end{enumerate} 
\item %Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j)$.
\quad\\
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-1.1)(10.1,10.1)
\def\xmin{-1} \def\xmax{10} \def\ymin{-1} \def\ymax{10}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-1.1,-1.1)(10.1,10.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1 x 2  exp div 1 x div EXP mul}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0.0001}{10}{\F}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}
\textbf{PARTIE B  : Etude d'une suite d'intégrales}
\\
Pour tout entier naturel $n \geqslant 2$ on considère l'intégrale $I_{n}$ définie par :
\[I_{n} = \int_{1}^2 \dfrac{1}{x^n}\text{e}^{\frac{1}{x}}\:\text{d}x.\] 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $I_{2}$. 
$\dfrac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}}$ est de la forme $-u'e^u$ donc une primitive de cette fonction aura la forme $-e^u$ d'où :\\
$I_2=\int_1^2 \dfrac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}}=\left[-e^{\frac{1}{x}}\right]_1^2=-e^{\frac{1}{2}}+e^1$
\item Une relation de récurrence 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer, à l'aide d'une intégration par parties, que pour tout entier naturel $n \geqslant 2$ :
%\[I_{n+1} = \text{e} - \dfrac{\sqrt{\text{e}}}{2^{n-1}} + (1 - n)I_{n}.\]
$$ I_{n+1}=\int_{1}^2 \dfrac{1}{x^{n+1}}\text{e}^{\frac{1}{x}}\:\text{d}x=\int_1^2 \dfrac{1}{x^{n-1}}\times \dfrac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}} dx$$
Posons $u'(x)=\dfrac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}}$ et donc $u(x)=-e^{\frac{1}{x}}$, puis $v(x)=\dfrac{1}{x^{n-1}}=x^{-(n-1}$ et donc $v'(x)=\dfrac{-n+1}{x^n}$.
\\
On en déduit alors, par IPP, que :
$$ I_{n+1}=\left[-\dfrac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{n-1}}\right]_1^2-(n-1)\int_1^2 \dfrac{e^{\frac{1}{x}}}{x^n}dx=-\dfrac{e^{0,5}}{2^{n-1}}+e-(n-1)I_n= \text{e} - \dfrac{\sqrt{\text{e}}}{2^{n-1}} + (1 - n)I_{n}$$
		\item %Calculer $I_{3}$.
		$I_3= \text{e} - \dfrac{\sqrt{\text{e}}}{2^{3-1}} + (1 - 3)I_{3}=e- \dfrac{\sqrt{\text{e}}}{4}-2(-\sqrt{e}+e)=e-\dfrac{\sqrt{\text{e}}}{4}+2\sqrt{e}+2e=3e+\dfrac{7}{4}\sqrt{e}$
	\end{enumerate} 
\item Etude de la limite de la suite de terme général $I_{n}$ 
	\begin{enumerate}
		\item  %Etablir que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle [1~;~2], on a : 
		%$$0 \leqslant  \dfrac{1}{x^n}\text{e}^{\frac{1}{x}} \leqslant \dfrac{\text{e}}{x^n}$$
		Pour tout $x\in[1;2]$ on a :
		$$ 1\leq x\leq 2\Longleftrightarrow \dfrac{1}{2}\leq \dfrac{1}{x}\leq 1\Longleftrightarrow \sqrt{e}\leq e^{\frac{1}{x}}\leq e\Longleftrightarrow \dfrac{\sqrt{e}}{x^n}\leq \dfrac{1}{x^n}e^{\frac{1}{x}}\leq e\Longrightarrow 0 \leqslant  \dfrac{1}{x^n}\text{e}^{\frac{1}{x}} \leqslant \dfrac{\text{e}}{x^n}$$
		\item %En déduire un encadrement de $I_{n}$ puis étudier la limite éventuelle de la suite $\left(I_{n}\right)$. 
		D'après la question précédente  on a pour tout $x\in[1;2]$ :
		$$0 \leqslant  \dfrac{1}{x^n}\text{e}^{\frac{1}{x}} \leqslant \dfrac{\text{e}}{x^n}\Longleftrightarrow 0\leq \int_1^2   \dfrac{1}{x^n}\text{e}^{\frac{1}{x}}dx\leq \int_1^2 \dfrac{e}{x^n}dx\Longleftrightarrow 0\leq I_n\leq \left[e \dfrac{x^{-n+1}}{-n+1}\right]_1^2=e \dfrac{2^{-n+1}}{-n+1}-\dfrac{e}{-n+1}$$
		Au final :
		$$ 0\leq I_n\leq \dfrac{e}{-n+1}\left(\dfrac{1}{2^{n-1}}-1\right)$$
Enfin la limite de $\dfrac{1}{2^{n-1}}$ est $0$ en $+\infty$, tout comme celle de $\dfrac{e}{-n+1}$, donc d'après le théorème des gendarmes la suite $(I_n)$ converge vers $0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\end{document}