  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 2 : Suites et récurrences }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}
\usepackage{pifont}


\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Complexes et exponentielles}	
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$ S}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
\newcommand{\Profs}{D.Zancanaro}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	PRemière Page
\pagestyle{empty}
\begin{framed}
\begin{center}
\begin{LARGE}
 CORRECTION BACCALAUREAT GENERAL BLEU
\end{LARGE}
\end{center}
\end{framed}


\vfill

\begin{Large}
\begin{center}
\underline{SESSION 2011}
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
\textbf{MATHEMATIQUES-SPECIALISTE et NON SPECIALISTE}
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
Série : \textbf{S}
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
DUREE DE L'EPREUVE : \textbf{4 Heures}. COEFFICIENT : \textbf{7} ou \textbf{9}.
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
\textbf{Ce sujet comporte 5 pages numérotées de 1 à 5.}
\end{center}
\end{Large}




\begin{Large}
\begin{center}
L’utilisation de la calculatrice est autorisée.
\end{center}
\end{Large}

\vfill
\begin{framed}
\begin{large}
\begin{center}
Le candidat doit traiter tous les exercices. 
\end{center}
Il est invité à faire sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il 
aura développé. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des 
raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. 
\end{large}
\end{framed}

\pagebreak
\clearpage
\pagenumbering{arabic}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\fancypagestyle{styleLyc}{%
\fancyhf{} 
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
	\fancyfoot[LE,LO]{{\scriptsize\textsl{ \Profs \\ Lycée \LyDav }}}
	\fancyfoot[C]{\scriptsize\textsl{\Cl \\ \Annee}}
\fancyfoot[LE,RO]{\bfseries\thepage / \pageref{LastPage}}
}
\pagestyle{styleLyc}
%\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Correction Bac Bleu}
\rhead{Avril 2011}


\Cr{CORRECTION DU BAC BLEU}


\Exoi{\hfill (3 points)\\
%\emph{P%our chacune des trois questions, une seule des quatre propositions est exacte.\\ 
%Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie, sans justification. \\
%Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.}
\begin{enumerate}
\item On désigne par $A$ et $B$ deux événements indépendants d'un univers muni d'une loi de probabilité $p$.
\\ 
On sait que $p(A \cup B) = \dfrac{4}{5}$ et $p\left(\overline{A}\right) =  \dfrac{3}{5}$. 
Puisque $A$ et $B$ sont indépendants on a :
$$ P(A\cap B)=P(A)P(B)\Longrightarrow P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)$$
Or, $P(A)=1-P(\overline{A})=1-\dfrac{3}{5}=\dfrac{2}{5}$, par conséquent :
$$\dfrac{4}{5}=\dfrac{2}{5}+P(B)-\dfrac{2}{5}P(B)\Longleftrightarrow \dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5}P(B)\Longleftrightarrow P(B)=\dfrac{2}{3}$$
réponse $b$.
\item On note $X$ une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,04$. 
\\
On rappelle que pour tout réel $t$ positif, la probabilité de l'événement $(X \leqslant t)$, notée $p(X \leqslant t)$, est donnée par $p(X \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$. 
$$ P(X>5)=1-P(X\leq 5)=1-\int_0^5 \lambda e^{-\lambda x} dx=1-\left[-e^{-\lambda x}\right]_0^5=1+e^{-5\lambda}-1=e^{-5\lambda}=e^{-5\times 0,04}$$
\item Dans ma rue, il pleut un soir sur quatre. 
\\
S'il pleut, je sors mon chien avec une probabilité égale à $\dfrac{1}{10}$ ; s'il ne pleut pas, je sors mon chien  avec une probabilité égale à $\dfrac{9}{10}$.
 Notons $P$ l'événement il pleut et $S$ l'événement je sors mon chien, on a alors l'arbre suivant :
 \begin{center}
 %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$P$}\taput{\small $0.25$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{\small $0.1$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{\small $0.9$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{P}$}\tbput{\small $0.75$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{\small $0.9$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{\small $0.1$}
}
}
 \end{center}
\end{enumerate}
On cherche $P_S(P)$ (et non on cherche le contraire...) i.e on cherche $\dfrac{P(S\cap P)}{P(S)}$. Par conséquent :
$$ P_S(P)=\dfrac{0,25\times 0,1}{0,25\times 0,1+0,75\times 0,9}=\dfrac{1/40}{1/40+27/40}=\dfrac{1}{28}$$
En fait on cherche plutôt $P_S(\overline{P})=\dfrac{27}{28}$ \\
Réponse $d$.}

\pagebreak

\Exoi{\hfill (5 points)\\
\textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité.}\\
$(O;\vec u, \vec{v} )$ est un  repère orthonormal direct du plan complexe.
\\
Soit $A$ le point d'affixe $1+ \text{i}$.
\\
Au point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que 
\[z'=\dfrac12\left(z+\text{i}\overline{z}\right).\]
\begin{enumerate}
\item On pose $z=x+\text{i}y$ et $z'=x'+\text{i}y'$ avec $x$, $y$, $x'$ et $y'$ réels.
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer les égalités suivantes: 
		%$x'=\dfrac{1}{2}(x+y)$ et $y'=\dfrac{1}{2}(x+y)$.\/
		$$z'=x'+iy'=\dfrac{1}{2}(x+iy+i(x-iy))=\dfrac{1}{2}(x+y+i(x+y))=\dfrac{1}{2}(x+y)+\dfrac{1}{2}i(x+y)$$
		Ainsi on a $x'=\dfrac{1}{2}(x+y)$ et $y'=\dfrac{1}{2}(x+y)$.
		%En déduire que le point $M'$ appartient à la droite $(\text{O}A)$.
		Le point $M'$ a son ordonnée égale à son abscisse, par conséquent il est sur la droite d'équation $y=x$, droite qui passe trivialement par $O$ et $A(1;1)$, ainsi $M'\in (OA)$.
		\item %Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que $M=M'$.
		\begin{eqnarray*}
		& & z'=z\\
		& \Longleftrightarrow & \dfrac{1}{2}(z+i\overline{z})=z\\
		& \Longleftrightarrow & \dfrac{1}{2}(z+i\overline{z}-2z)=0\\
		& \Longleftrightarrow & -z+i\overline{z}=0 \\
		&\Longleftrightarrow & z=i\overline{z} \\
		& \Longleftrightarrow & x+iy=ix+y \\
		& \Longleftrightarrow & x=y \\
		\end{eqnarray*}
		Au final $M=M'$ si et seulement si $M\in (OA)$.
		\item %Démontrer que pour tout point $M$ du plan les vecteurs $\vect{MM'}$ et $\vect{\text{O}A}$ sont orthogonaux.
		$\overrightarrow{MM'}\left(\dfrac{1}{2}(x+y)-x;\dfrac{1}{2}(x+y)-y\right)\Longleftrightarrow \overrightarrow{MM'}\left(\dfrac{1}{2}(y-x);\dfrac{1}{2}(x-y)\right)$ et $\overrightarrow{OA}(1;1)$, ainsi :
		$$ \overrightarrow{MM'}\cdot \overrightarrow{OA}=\dfrac{1}{2}(y-x)+\dfrac{1}{2}(x-y)=0\Longleftrightarrow \overrightarrow{MM'}\perp \overrightarrow{OA}$$
	\end{enumerate}	
\item Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac\pi2$. $M_{1}$ est le point d'affixe $z_{1}$ image de $M$ par $r$, $M_{2}$ le point d'affixe $z_{2}=\overline{z}$, $M_{3}$ le point d'affixe $z_{3}$ tel que le quadrilatère $\text{O}M_{1}M_{3}M_{2}$ soit un parallélogramme.
	\begin{enumerate}
		\item %Dans cette question uniquement $M$ a pour affixe $4+\text{i}$, placer les points $M$, $M_{1}$, $M_{2}$, $M_{3}$.
		$z_{M_1}=i z=i(4+i)=4i-1$, puis $z_{M_2}=\overline{z}=4-i$ et enfin $M_3$ est l'image de $M_2$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{O M_1 }$
		ainsi :
		$$ z_{M_3}=z_{M_2}+z_{\overrightarrow{OM_1}}=z_{M_2}+z_{M_1}=4-i+4i-1=3-3i$$
		\item %Exprimer $z_{1}$ en fonction de $z$, puis $z_{3}$ en fonction de $z$.
		On a donc  :
		$$ z_1=i z\qquad \text{et}\qquad z_2=\overline{z} \qquad \text{et donc} \qquad z_3=z_2+z_1=\overline{z}+iz$$
		\item %$OM_{1}M_{3}M_{2}$ est-il un losange~? Justifier.
		$OM_{1}M_{3}M_{2}$ est un losange si et seulement si $OM_1=OM_2$.
		\\
		Or $OM_1= \mid iz\mid =\mid z\mid$ et $OM_2=\mid \overline{z}\mid=\mid z\mid=OM_1$, par conséquent le parallélogramme $OM_1M_3M_2$ a deux côtés consécutifs de même longueur, c'est donc un losange.
		\item %Vérifier que $z'-z=\dfrac12iz_{3}$.
		$$ z'-z=\dfrac{1}{2}(z+i\overline{z})-z=\dfrac{1}{2}(-z+i\overline{z})=\dfrac{1}{2}i(iz+\overline{z})=\dfrac{1}{2}iz_3$$
		On a donc $\mid z'-z\mid = \mid \dfrac{1}{2}iz_3 \mid\Longleftrightarrow MM'=\dfrac{1}{2}\mid z_3\mid \Longleftrightarrow MM'=\dfrac12\text{O}M_{3}$.
(Notons que $\mid i\mid =1$).	
	\end{enumerate}
\item %Démontrer que les points $M$, $M_{1}$, $M_{2}$ e t$M_{3}$ appartiennent à un même cercle de centre O si et seulement si $MM'=\dfrac12\text{O}M$.
Les points $M$, $M_{1}$, $M_{2}$ e t$M_{3}$ appartiennent à un même cercle de centre O si et seulement si $OM=OM_1=OM_2=OM_3$. Or :
$$ OM=\mid z\mid \qquad \text{et}\qquad OM_1=\mid iz\mid =\mid z\mid=OM \qquad \text{et} \qquad OM_2=\mid \overline{z}\mid =\mid z\mid=OM$$
Ainsi les points $M$, $M_{1}$, $M_{2}$ e t$M_{3}$ appartiennent à un même cercle de centre O si et seulement si $OM=OM_3\Longleftrightarrow OM=2MM'\Longleftrightarrow \dfrac{1}{2}OM=MM'$.\\
%Donner alors la mesure en radians de l'angle géométrique $\widehat{M'\text{O}M}$.
$M'\in(OA)$ et $(MM')\perp (OA)$ donc le triangle $OMM'$ est rectangle en $M'$, avec $MM'=\dfrac{1}{2}OM$, par conséquent :
$$ \sin\widehat{M'OM}=\dfrac{MM'}{OM}=\dfrac{\frac{1}{2}OM}{OM}=\dfrac{1}{2}\Longleftrightarrow \widehat{M'OM}=\dfrac{\pi}{6}$$
\end{enumerate}
}
\pagebreak

\setcounter{Exi}{1}
\Exoi{\hfill (5 points)\\
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}\\
\begin{enumerate}
\item  %\emph{Cette question constitue une restitution organisée de connaissances}
	\begin{enumerate}
		\item % Soient $a,~ b,~ c$ et $d$ des entiers relatifs.\\
%Démontrer que : si $a \equiv b \mod 7$ et $c  \equiv d \mod 7$ alors $ac \equiv  bd \mod 7$.
Si $a \equiv b \mod 7$ alors il existe un réel $k$ tel que $a-b=7k\Longleftrightarrow a=7k+b$ et si $c  \equiv d \mod 7$ alors il existe un réel $k'$ tel que $c=7k'+d$. On cherche à démontrer qu'il existe un réel $k''$ tel que $ac-bd=7k''$. Or,
$$ac-bd=(7k+b)(7k'+d)-bd=49kk'+7kd+7k'b+bd-bd=7(7kk'+k+k')$$
Le réel $k''$ existe bien et vaut $k''=7kk'+k+k'$ et on a donc $ac \equiv  bd \mod 7$.
		\item %En déduire que : pour $a$ et $b$ entiers relatifs non nuls\\
%si $a \equiv b \mod 7$ alors pour tout entier naturel $n,~ a^n \equiv  b^n \mod 7$.
Notons, si $a \equiv b \mod 7$, $\mathscr P(n)$ la propriété $  a^n \equiv  b^n \mod 7$.
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation} : Pour $n=1$ la propriété est trivialement vraie.
\item \textit{Hérédité} : Supposons $\mathscr P$ vraie pour un certain $n$ et montrons que $\mathscr P$ est vraie au rang $n+1$.\\
On a donc $a \equiv b \mod 7$ et $  a^n \equiv  b^n \mod 7$. En appliquant la première question, on obtient :
$$  a^n\times a \equiv  b^n\times b \mod 7\Longleftrightarrow a^{n+1}\equiv b^{n+1} \mod 7$$
\end{itemize}
	\end{enumerate}
\item %Pour $a = 2$ puis pour $a =  3$, déterminer un entier naturel $n$ non nul tel que $a^n \equiv  1 \mod 7$.
On a $2^3 \equiv 1\mod 7$ et comme $3^6-1=728=7\times 104$ $3^6\equiv 1\mod 7$.
\item Soit $a$ un entier naturel non divisible par 7.
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que : $a^6 \equiv 1 \mod 7$.
		Si $a$ n'est pas un multiple de $7$ alors il y a $6$ restes possibles dans la division euclidienne de $a$ par $7$. Examinons chacun des cas :
		\begin{enumerate}
\item $ a\equiv 1 \mod 7\Longrightarrow a^6\equiv 1^6\mod 7\Longrightarrow a^6\equiv 1\mod 7$
\item $ a\equiv 2 \mod 7\Longrightarrow a^6\equiv 2^6\mod 7\Longrightarrow a^6\equiv 64\mod 7\Longrightarrow a^6\equiv 1\mod 7$
\item $ a\equiv 3 \mod 7\Longrightarrow a^2\equiv 3^2\mod 7\Longrightarrow a^2\equiv 2\mod 7\Longrightarrow a^6\equiv 2^3\mod 7\Longrightarrow a^6\equiv 8\mod 7\Longrightarrow a^6\equiv 1\mod 7$
\item  $ a\equiv 4 \mod 7\Longrightarrow a^2\equiv 4^2\mod 7\Longrightarrow a^2\equiv 2\mod 7\Longrightarrow a^6\equiv 2^3\mod 7\Longrightarrow a^6\equiv 8\mod 7\Longrightarrow a^6\equiv 1\mod 7$
\item  $ a\equiv 5 \mod 7\Longrightarrow a^2\equiv 5^2\mod 7\Longrightarrow a^2\equiv 4\mod 7\Longrightarrow a^6\equiv 4^3\mod 7\Longrightarrow a^6\equiv 64\mod 7\Longrightarrow a^6\equiv 1\mod 7$
\end{enumerate}
CQFD.
		\item On appelle \emph{ordre} de $a \mod 7$, et on désigne par $k$, le plus petit entier naturel non nul tel que $a^k \equiv 1 \mod 7$. 
		%Montrer que le reste $r$ de la division euclidienne de $6$ par $k$ vérifie $a^r \equiv 	1 \mod 7$.\\
%En déduire que $k$ divise $6$.\\
%Quelles sont les valeurs possibles de $k$ ?
On a $a^k \equiv 1 \mod 7$ et, comme on suppose que $a$ n'est pas divisible par $7$ on a $a^6 \equiv 1 \mod 7$, de plus il existe un réel $q$ et un réel tel que :
$6=kq+r $, au final on a 
\begin{eqnarray*}
& & a^k \equiv 1 \mod 7\\
& \Longrightarrow & a^{kq}\equiv 1 \mod 7\\
& \Longrightarrow & a^{kq+r}\equiv a^r\mod 7\\
& \Longrightarrow & a^6\equiv a^r\mod 7\\
& \Longrightarrow & a^r\equiv 1 \mod 7
\end{eqnarray*}
Or, $r<k$ donc $r=0$, par conséquent $k$ divise $6$ et donc $k$ vaut $1$, $2$, $3$ ou $6$.
		\item %Donner l'ordre modulo 7 de tous les entiers $a$ compris entre $2$ et $6$.
		Si $a=2$, alors $a\equiv 2\mod 7$ et $a^2\equiv 4 \mod 7$ puis $a^3\equiv 1 \mod 7$, ainsi $2$ a pour ordre (modulo $7$) $3$.\\
		Si $a=3$ alors $a^2 \equiv 2 \mod 7\Longrightarrow a^3\equiv 6 \mod 7$, ainsi $3$ a pour ordre (modulo $7$) $6$.\\
		Si $a=4$ alors $a^2 \equiv 2 \mod 7$ donc $a^3 \equiv 1 \mod 7$ et donc $4$ a pour ordre (modulo $7$) $3$.\\
		Si $a=5$ alors $a^2 \equiv 4 \mod 7$ donc $a^3\equiv 20\mod 7$ i.e $a^3\equiv -1\mod 7$ et donc $5$ a pour ordre $6$.\\
		Enfin si $a=6$ alors $a^2 \equiv 36\mod 7$ i.e $a^2 \equiv 1 \mod 7$ et donc $6$ a pour ordre (modulo $7$) $2$.  
	\end{enumerate}
\item A tout entier naturel $n$, on associe le nombre
\[A_{n} = 2^n  + 3^n + 4^n + 5^n + 6^n.\]
%Montrer que $A_{2006} \equiv  6 \mod 7.$
L'ordre de $2$ est $3$, de plus $2006=3\times 668 +2$, par conséquent $2^{2006}\equiv 2^{2\times 668+2}\mod 7\Longrightarrow 2^{2006}\equiv 4\mod 7$.\\
L'ordre de $3$ est $6$, de plus $2006=6\times 334 +2$, par conséquent $3^{2006}\equiv 3^{6\times 334+2}\mod 7\Longrightarrow 3^{2006}\equiv 2\mod 7$.\\
L'ordre de $4$ est $3$, de plus $2006=3\times 668 +2$, par conséquent $4^{2006}\equiv 4^{3\times 668+2}\mod 7\Longrightarrow 4^{2006}\equiv 2\mod 7$.\\
L'ordre de $5$ est $6$, de plus $2006=6\times 334 +2$, par conséquent $5^{2006}\equiv 5^{6\times 334 +2}\mod 7\Longrightarrow 5^{2006}\equiv 4\mod 7$.\\
L'ordre de $6$ est $2$, de plus $2006=2\times 1003$, par conséquent $6^{2006}\equiv 6^{2\times 1003}\mod 7\Longrightarrow 6^{2006}\equiv 1\mod 7$.\\
Au final $ A_{2006}\equiv 4+2+2+4+1\mod 7\Longrightarrow A_{2006}\equiv 13\mod 7\Longrightarrow A_{2006}\equiv 6\mod 7$
\end{enumerate}}
\pagebreak

\Exoi{\hfill (4 points)\\
Dans l'espace rapporté à un repère orthononnal $(O;\vec{i}, \vec{j},\vec{k})$, on considère les points $A(1;2;3)$, $B(0;1;4)$, $C(-1~;~-3~;~2)$, $D(4~;~-2~;~5)$ et le vecteur $\vect{n}(2\;;\;- 1\;;\;1)$.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que les points A, B, C ne sont pas alignés.
		$\overrightarrow{AB}(-1;-1;1)$ et $\overrightarrow{AC}(-2;-5;-1)$.\\
		$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ n'ont pas leurs coordonnées proportionnelles, en effet pour passer de $-1$ à $-2$ on multiplie par $2$ tandis que pour passer de $1$ à $-1$ on multiplie par $-1$, par conséquent $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires et donc $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
		\item Compte tenu de la question précédente les points $A$, $B$ et $C$ forment un plan. De plus :
		$$ \overrightarrow{AC}\cdot \vec{n}=-2\times 2+1\times 5-1=-5+5=0\Longrightarrow \overrightarrow{AC}\perp \vec{n}$$
		et $$ \overrightarrow{AB}\cdot \vec{n}=-2+1+1=0\Longrightarrow \overrightarrow{AB}\perp \vec{n}$$
		$\vec{n}$ est normal à deux vecteurs non colinéaires qui dirige le plan $(ABC)$ donc $\vec{n}$ est normal à $(ABC)$.
		%Démontrer que $\vect{n} $
 %est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
		\item %Déterminer une équation du plan $(ABC)$.
		Compte tenu de la question précédente une équation de $(ABC)$ a pour forme :
		$$ 2x-y+z+d=0$$
		Comme $A\in (ABC)$ alors $2\times 1-2+3=-d\Longrightarrow d=-3$ d'où :
		$$ (ABC) : 2x-y+z-3=0$$
	\end{enumerate}
\item Soit ($\Delta $) la droite dont une représentation paramétrique est : $$\left\{ \begin{array}{l c l}
 x &=& 2 - 2t \\ 
 y &=&  - 1 + t \\ 
 z &=& 4 - t \\ 
 \end{array} \right.\qquad \text{avec} t \in \R$$
%Montrer que le point $D$ appartient à la droite ($\Delta $) et que cette droite est perpendiculaire au plan $(ABC)$.
Les coordonnées de $D$ vérifient-elles les équations de $(\Delta)$ :
$$\left\{ \begin{array}{l c l}
 4 &=& 2 - 2t \\ 
 -2 &=&  - 1 + t \\ 
 5 &=& 4 - t \\ 
 \end{array} \right.\Longleftrightarrow\left\{ \begin{array}{l c l}
 2t &=& -2 \\ 
 t &=&  -1 \\ 
 t &=& -1 \\ 
 \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l c l}
 t &=& -1 \\ 
 t &=&  - 1  \\ 
 t &=& -1 \\ 
 \end{array} \right.$$
 donc $D\in(\Delta)$.
 $\vec{m}(-2;1;-1)$ dirige $(\Delta)$ et $\vec{m}=-\vec{n}$ donc $\vec{m}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires, $\vec{n}$ étant normal à $(ABC)$, $\vec{ù}$ l'est aussi, et donc $(\Delta)$ est perpendiculaire à $(ABC)$.
\item Soit E le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$.
%Montrer que le point $E$ est le centre de gravité du triangle $ABC$.
D'après la question précédente, $E\in (ABC)\cap (\Delta)$, par conséquent :
$$ 2x_E-y_E+z_E-3=0\qquad \text{et} \left\{ \begin{array}{l c l}
 x_E &=& 2 - 2t \\ 
 y_E&=&  - 1 + t \\ 
 z_E &=& 4 - t \\ 
 \end{array} \right.$$
 donc $2(2-2t)-(-1+t)+4-t-3=0\Longleftrightarrow 4-4t+1-t+4-t-3=0\Longleftrightarrow 6-6t=0\Longleftrightarrow t=1$, et donc :
 $$ \left\{ \begin{array}{l c l}
 x_E &=& 2 - 2=0 \\ 
 y_E&=&  - 1 + 1=0 \\ 
 z_E &=& 4 - 1=3\\ 
 \end{array} \right.\Longleftrightarrow E(0;0;3)$$
 De plus si on note $G$ le centre de gravité du triangle $ABC$, $G$ est l'isobarycentre de $A$, $B$ et $C$ et $G$ a pour coordonnées :
 $$ G\left( \dfrac{1+0-1}{3}; \dfrac{2+1-3}{3}; \dfrac{3+4+2}{3}\right)\Longleftrightarrow G(0;0;3)\Longleftrightarrow G=E$$
\end{enumerate}}
\pagebreak

\Exoi{\hfill (8 points)\\}
\begin{enumerate}
\item  Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère la fonction $ f_{n}$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :
\[f_{n}(x) = \ln x + \dfrac{x}{n} - 1.\]
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer les limites de $f_{n}$ en $0$ et en $+\infty$ puis étudier le sens de variations de $ f_{n}$.
		On a $\lim\limits_{x\to+\infty} \ln x=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{x}{n}=+\infty$ donc 
		$$ \lim\limits_{x\to+\infty} f_n(x)=+\infty$$
		De plus  $\lim\limits_{x\to 0} \ln x=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{x}{n}=0$ donc 
		$$ \lim\limits_{x\to 0} f_n(x)=-\infty$$
		Puis, $f_n'(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{n}$ et $$ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{n}\geq 0\Longleftrightarrow \dfrac{1}{x}\geq -\dfrac{1}{n}\Longleftrightarrow n \geq -x \Longleftrightarrow -n \leq x\Longleftrightarrow x\geq -n$$
		Or, $-n<0$ et $x\geq 0$, on a pour tout $x\in\R^{+*}$, $f_n'(x)\geq 0$ donc $f_n$ est strictement croissante sur $\R^{+*}$.
		\item %Montrer que l'équation $ f_{n}(x) = 0$ admet une unique solution dans $]0~;~+ \infty[$. On note $\alpha_{n}$ cette solution. Montrer qu'elle appartient à l'intervalle $[1~;~e]$.
		$f_n$ est strictement croissante et continue sur $\R^{+*}$, de plus $ \lim\limits_{x\to+\infty} f_n(x)=+\infty$ et $ \lim\limits_{x\to 0} f_n(x)=-\infty$ donc d'après une conséquence du théorème des valeurs intermédiaires  l'équation $f_n(x)=0$ admet une unique solution sur $]0;+\infty[$.\\
		De plus $f_n(1)=\ln 1+\dfrac{1}{n}-1=\dfrac{1}{n}-1$.\\
		Comme $n\geq 1$, alors on a $0\leq \dfrac{1}{n}\leq 1\Longrightarrow -1+\dfrac{1}{n}\leq 0\Longrightarrow 1 \leq \alpha_n$.\\
		De même, $f_n(e)=\ln e+\dfrac{e}{n}-1=\dfrac{e}{n}>0\Longrightarrow \alpha_n<e$.
		On a donc bien $\alpha_n\in [1;e]$.
	\end{enumerate}
\item Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O;\vec{i}, \vec{j})$. On note ($\Gamma$) la courbe représentative de la fonction logarithme népérien.
	\begin{enumerate}
		\item %Soit $n$ un entier naturel non nul. Déterminer une équation de la droite $\Delta_{n}$ passant par le point $A$ de coordonnées $(0 ; 1)$ et le point $B_{n}$ de coordonnées $(n ~;~0)$.
		Le coefficient directeur de $\Delta_n$ vaut $$ \dfrac{-1}{n}$$
		D'où $\Delta_n : y=-\dfrac{1}{n} x+b$ et comme $A\in \Delta\Longrightarrow 1=b$
		\\
		Au final : $\Delta_n : y=-\dfrac{1}{n}x+1$
		\item \quad \\ %Faire un croquis représentant la courbe ($\Gamma$) et les droites $\Delta_{1}, ~\Delta_{2}$ et $\Delta_{3}$.
		\begin{center}
		%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.1,-4.1)(10.1,6.1)
\def\xmin{-2} \def\xmax{10} \def\ymin{-4} \def\ymax{6}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2.1,-4.1)(10.1,6.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=10,Dy=10,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x ln}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0.001}{10}{\F}
\def\G{0 x sub 1 add}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-2}{10}{\G}
\def\H{0 x 2 div sub 1 add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-2}{10}{\H}
\def\I{0 x 3 div sub 1 add}
\psplot[linecolor=yellow,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-2}{10}{\I}
 \uput[ur](5,1.8){$\Gamma$}
\uput[ur](8,-1.6){$\Delta_3$}
\uput[ur](6.5,-3){$\Delta_2$}
\uput[ur](3,-3){$\Delta_1$}
\endpsclip
\end{pspicture*}
		\end{center}
		\item  %Montrer que $\alpha_{n}$ est l'abscisse du point d'intersection de ($\Gamma$) avec $\Delta_{n}$. 
		En notant $M(x;y)$ intersection de $\Gamma$ et de $\Delta_n$ on a :
		$y=\ln x$ et $y=-\dfrac{1}{n}x+1$ d'où :
		\begin{eqnarray*}
		& & \ln x=-\dfrac{1}{n}x+1\\
		& \Longleftrightarrow & \ln x+\dfrac{1}{n}x-1=0\\
		& \Longleftrightarrow & f_n(x)=0
		\end{eqnarray*}
		D'après la question $1.(b)$ $x=\alpha_n$, CQFD.
		\item  %Préciser la valeur de $\alpha_{1}$ puis faire une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(\alpha_{n}\right)$.
		$\alpha_1$ vérifie $\ln x+x-1=0\Longleftrightarrow \ln x=1-x\Longleftrightarrow x=1$, ainsi $\alpha_1=1$.\\
		A l'aide de notre fameux croquis, il paraît judicieux de conjecturer que la suite $(\alpha_n)$ est croissante.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer $\ln \left(\alpha_{n}\right)$ en fonction de $n$ et de $\alpha_{n}$.
		On a :
		$$ \ln(\alpha_n)+\dfrac{\alpha_n}{n}-1=0\Longleftrightarrow \ln(\alpha_n)=-\dfrac{\alpha_n}{n}+1$$
		\item %Exprimer $f_{n+1} \left(\alpha_{n}\right)$ en fonction de $n$ et de $\alpha_{n}$ et vérifier que : 
%$$f_{n+1} \left(\alpha_{n}\right) < 0$$
$$f_{n+1} \left(\alpha_{n}\right) =\ln (\alpha_n)+\dfrac{\alpha_n}{n+1}-1=-\dfrac{\alpha_n}{n}+1+\dfrac{\alpha_n}{n+1}-1=-\dfrac{\alpha_n}{n}+\dfrac{\alpha_n}{n+1}=\dfrac{-\alpha_n(n+1)+n\alpha_n}{n(n+1)}=-\dfrac{\alpha_n}{n(n+1)}$$
On a $n(n+1)>0$, puis $\alpha_n\in[1;e]$ donc $\alpha_n>0$ et par conséquent $f_{n+1}(\alpha_n)<0$
		\item  %Déduire de la question précédente le sens de variation de la suite $\left(\alpha_{n}\right)$.
		On a $f_{n+1}(\alpha_{n+1}=0$ et $f_{n+1}(\alpha_n)<0$ i.e comme $f_{n+1}$ est une fonction croissante :
		$$ f_{n+1}(\alpha_n)<f_{n+1}(\alpha_{n+1} \Longleftrightarrow \alpha_n<\alpha_{n+1}$$
		Ainsi la suite $(\alpha_n)$ est croissante.
		\item %Montrer que la suite $\left(\alpha_{n}\right)$ converge. \\
		La suite $(\alpha_n)$ est croissante et majorée par $e$, donc convergente vers un réel $\ell$. Or, $\ln(\alpha_n)=-\dfrac{\alpha_n}{n}+1$
		et $\lim\limits_{n\to +\infty} \ln (\alpha_n)=\ln \ell$, puis $\lim\limits_{n\to +\infty}-\dfrac{\alpha_n}{n}+1=1$, par conséquent :
		$$ \ln \ell =1\Longleftrightarrow \ell=e$$
		%On note $\ell$ sa limite. Etablir que : $\ln \ell = 1$ et en déduire la valeur de $\ell$.
	\end{enumerate}
\item  On désigne par $\mathcal{D}_{n}$ le domaine délimité par la courbe ($\Gamma$), l'axe des abscisses et les droites d'équation : $x = \alpha_{n}$ et $x = \text{e}$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer l'aire du domaine $\mathcal{D}_{n}$ en fonction de $\alpha_{n}$ et montrer que cette aire est égale à $\dfrac{\alpha_{n}^2}{n}$.
Comme $\alpha_n>1$, $\ln(\alpha_n)>0$ donc l'aire du domaine $\mathcal{D_n}$ noté $\mathscr A$ vaut :
$$ \mathscr A=\int_{\alpha_n}^e \ln x dx=\int_{\alpha_n}^e 1\times \ln x dx=\left[x\ln x\right]_{\alpha_n}^e-\int_{\alpha_n}^e x\times \dfrac{1}{x} dx$$
i.e$$ \mathscr A=e-\alpha_n\ln(\alpha_n)-(e-\alpha_n)=\alpha_n-\alpha_n\ln(\alpha_n)=\alpha_n+\dfrac{\alpha_n^2}{n}-\alpha_n=\dfrac{\alpha_n^2}{n}$$	
		\item %Etablir que :
%\[\left(\text{e} - \alpha_{n}\right) \ln \alpha_{n} \leqslant  \dfrac{\alpha_{n}^2}{n} \leqslant \left(\text{e} - \alpha_{n}\right)
%.\]
Notons $C(\alpha_n;0)$, $D(e;0)$, $E(\alpha_n; \ln(\alpha_n))$ et $F(e;\ln(\alpha_n)$, comme la fonction logarithme népérien est croissante on a l'aire du rectangle $ CDFE$ est inférieure à $\mathscr A$ elle-même inférieure à l'aire du rectangle $CDFG$ avec $F(e;1)$ et $G(\alpha_n;1)$, d'où :
\[\left(\text{e} - \alpha_{n}\right) \ln \alpha_{n} \leqslant  \dfrac{\alpha_{n}^2}{n} \leqslant \left(\text{e} - \alpha_{n}\right)
.\]
		\item %En déduire un encadrement de $n\left(\text{e} - \alpha_{n}\right)$.
		On a donc $n(e-\alpha_n)\geq \alpha_n^2$. De plus, on a $ n(e-\alpha_n)\ln \alpha_n \leq \alpha_n^2\Longleftrightarrow n(e-\alpha_n)\leq \dfrac{\alpha_n^2}{\ln(\alpha_n)}$ (notons que $\alpha_n>1$).
		% comme $\alpha_n\in[1;e]$ $e-\alpha_n\leq e-1\Longrightarrow n(e-\alpha_n)\leq n(e-1)$.
		%\\
		Au final :
		$$ \alpha_n^2\leq n(e-\alpha_n)\leq \dfrac{\alpha_n^2}{\ln(\alpha_n)}$$
		\item %La suite de terme général $n\left(\text{e} - \alpha_{n}\right)$ est-elle convergente ? Ce résultat permet-il d'apprécier la rapidité de la convergence de la suite $\left(\alpha_{n}\right)$ ?
		En utilisant le théorème des gendarmes on obtient :
		$$ \lim\limits_{n\to +\infty} \alpha_n^2=e^2=\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{\alpha_n^2}{\ln(\alpha_n)}\Longrightarrow \lim\limits_{n\to+\infty} n(e-\alpha_n)=e^2$$
		On a de plus $\lim\limits_{n\to +\infty} \alpha_n=\lim\limits_{n\to +\infty} e\left(1-\dfrac{e}{n}\right)$.
		La suite $(\alpha_n)$ converge donc au rythme de la suite $\left(\dfrac{1}{n}\right)$.
		\Rq{Cette dernière interprétation m'apparaît comme très ambitieuse et il est fort improbable de retrouver une pareille question pour le bac métropole.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}








\end{document}