  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 2 : Suites et récurrences }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}
\usepackage{pifont}


\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Complexes et exponentielles}	
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$ S}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
\newcommand{\Profs}{D.Rouymi/D.Sauzet/D.Zancanaro}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	PRemière Page
\pagestyle{empty}
\begin{framed}
\begin{center}
\begin{LARGE}
 BACCALAUREAT GENERAL BLANC-Corrigé
\end{LARGE}
\end{center}
\end{framed}


\vfill

\begin{Large}
\begin{center}
\underline{SESSION 2011}
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
\textbf{MATHEMATIQUES-NON SPECIALISTE}
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
Série : \textbf{S}
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
DUREE DE L'EPREUVE : \textbf{4 Heures}. COEFFICIENT : \textbf{7}.
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
\textbf{Ce sujet comporte 5 pages numérotées de 1 à 5.}
\end{center}
\end{Large}




\begin{Large}
\begin{center}
L’utilisation de la calculatrice est autorisée.
\end{center}
\end{Large}

\vfill
\begin{framed}
\begin{large}
\begin{center}
Le candidat doit traiter tous les exercices. 
\end{center}
Il est invité à faire sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il 
aura développé. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des 
raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. 
\end{large}
\end{framed}

\pagebreak
\clearpage
\pagenumbering{arabic}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\fancypagestyle{styleLyc}{%
\fancyhf{} 
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
	\fancyfoot[LE,LO]{{\scriptsize\textsl{ \Profs \\ Lycée \LyDav }}}
	\fancyfoot[C]{\scriptsize\textsl{\Cl \\ \Annee}}
\fancyfoot[LE,RO]{\bfseries\thepage / \pageref{LastPage}}
}
\pagestyle{styleLyc}
%\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Bac Blanc}
\rhead{Avril 2011}


\Cr{BAC BLANC}


\Exoi{\hfill (3 points)\\
\textit{Cet exercice est une restitution organisée de connaissance}\\
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item %Démontrer, à l'aide de la définition du nombre dérivé, que :
On a :
$$ \dfrac{\sin x}{x}=\dfrac{\sin x-\sin 0}{x-0}$$
ce qui est le taux d'accroissement de la fonction sinus entre $0$ et $x$, comme il s'agit d'une fonction dérivable sur $\R$ alors, la limite de ce taux de variation lorsque $x$ tend vers $0$ est le nombre dérivé de la fonction sinus en $0$ i.e $\cos 0$ :
$$ \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x}=\cos 0=1$$
\item On a :$$ \dfrac{\sin 4x}{x}=4\times \dfrac{\sin 4x}{4x}$$
\textit{$1^{\text{er}}$ type de rédaction} : 
Comme $\lim \lim\limits_{x\to 0} 4x=0=\lim\limits_{x\to 0} x$ on en déduit :
$$ \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin 4x}{x}=4\times 1=4$$
\textit{$2^{\text{nd}}$ type de rédaction} : Il est encore possible de poser $X=4x$, qui tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers $0$ ce qui donne :
$$ \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin 4x}{x}=4\times \lim\limits_{X\to 0} \dfrac{\sin X}{X}=4\times 1=4$$
\end{enumerate}
\item 
Soit $A$ un réel, puisque $(u_n)$ est une suite non majorée alors il existe un certain entier, disons $n_0$ tel que :
$$ u_{n_0}\geq A$$
Puisque $(u_n)$ est croissante, alors pour tout $n\geq n_0$ on a:
$$ u_n\geq u_{n_0}\geq A$$
ainsi pour tout réel $A$, tous les termes de la suite sont, à partir d'un certain rang $n_0$, supérieurs à $A$
ce qui, par définition, nous permet de conclure que $(u_n)$ tend vers $+\infty$
\end{enumerate}}



\Exoi{\hfill (5 points)\\
\begin{enumerate} 
\item Résoudre dans $\C$ l'équation :
\[ 4z^2 - 12z + 153 = 0. \]
$\Delta=b^2-4ac=144-4\times 4\times 153=144-2448=-2304=-48^2$, ainsi comme le discriminant est négatif cette équation possède deux solutions complexes qui sont :
$$ z_A=\dfrac{12+48i}{8}=\dfrac{3+12i}{2}\qquad \text{et}\qquad z_B=\dfrac{3-12i}{2}$$
\item Dans le plan rapporté à un repère orthonormé 
\Ouv,  d'unité graphique 1~cm on considère les points A, B, C, P d'affixes 
respectives :$$z_A = \dfrac{3}{2} + 
6i \qquad z_B = \dfrac{3}{2} - 6i\qquad z_C = - 
3 - \dfrac{1}{4}i\qquad \text{et}\qquad z_P = 3 + 2i$$
 et le vecteur
$\vect{w}$ d'affixe $z_{\vect{w}} = - 1 + \dfrac{5}{2} i$.
	\begin{enumerate} 
		\item %Déterminer l'affixe $z_Q$ du point $Q$, image du point $ B$ dans la translation $t$ de vecteur $\vect{w}$.
		On a 
		$$t(B)=Q\Longleftrightarrow z_Q=z_B+z_{\vec w}\Longleftrightarrow z_Q= \dfrac{3}{2} - 6i- 1 + \dfrac{5}{2} i=\dfrac{1}{2}-\dfrac{7}{2}i$$
		\item %Déterminer l'affixe $z_R$ du point $R$, image du point  $P$ par l'homothétie $h$ de centre $C$ et de rapport $- \dfrac{1}{3}$.
		On a 
		$$h(P)=R\Longleftrightarrow z_R-z_C=-\dfrac{1}{3}(z_P-z_C) $$
		Ainsi :
		$$ z_R=-\dfrac{1}{3}\left( 3 + 2i+ 3 +\dfrac{1}{4}i\right)- 3 - \dfrac{1}{4}i=-2-\dfrac{3}{4}i-3-\dfrac{1}{4}i=-5-i$$
		\item %Déterminer l'affixe $z_S$ du point $S$, image du point $P$ par la rotation $r$ de centre $A$ et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$.
		On a :
		$$ r(P)=S\Longleftrightarrow z_S-z_A=e^{-i\frac{\pi}{2}}(z_P-z_A)$$
		Par conséquent :
		$$ z_S=-i\left(3 + 2i-\dfrac{3}{2} - 
6i\right) +\dfrac{3}{2} + 
6i=-3i+2+\dfrac{3}{2}i-6+\dfrac{3}{2}+6i=-4+\dfrac{3}{2}+3i+\dfrac{3}{2}i=-\dfrac{5}{2}+\dfrac{9}{2}i$$
\\Plaçons les points $P$, $Q$, $R$ et $S$.\\
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5.78,-4.76)(4.26,5.22)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-5.78,-4.76)(4.26,5.22)
\psline(-2.5,4.5)(3,2)
\psline(3,2)(0.5,-3.5)
\psline(0.5,-3.5)(-5,-1)
\psline(-5,-1)(-2.5,4.5)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-2.5,4.5)
\rput[bl](-2.6,4.7){$S$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-5,-1)
\rput[bl](-5.44,-0.93){$R$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0.5,-3.5)
\rput[bl](0.62,-3.75){$Q$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3,2)
\rput[bl](3.12,2.07){$P$}
\end{pspicture*}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Démontrer que le quadrilatère $PQRS$ est un parallélogramme.
		Montrons par exemple que les vecteurs $ \overrightarrow{SP}$ et $\overrightarrow{RQ}$ sont égaux. 
		On a :
		$$ z_{\overrightarrow{SP}}=z_P-z_S=3 + 2i+\dfrac{5}{2}-\dfrac{9}{2}i=\dfrac{11}{2}-\dfrac{5}{2}i$$
		Et aussi :
		$$ z_{\overrightarrow{RQ}}=z_Q-z_R=\dfrac{1}{2}-\dfrac{7}{2}i+5+i=\dfrac{11}{2}-\dfrac{5}{2}i$$
		Au final on vient de démontrer que $$  z_{\overrightarrow{SP}}= z_{\overrightarrow{RQ}}\Longleftrightarrow \overrightarrow{SP}=\overrightarrow{RQ}\Longleftrightarrow PQRS \text{ est un parallélogramme.}$$
		\item Calculons (puisqu'il le faut !) 
		$$\dfrac{z_{R} - 
z_{Q}}{z_{P} - z_{Q}}=\dfrac{-5,5+2,5i}{3+2i-0,5+3,5i}=\dfrac{-5,5+2,5i}{2,5+5,5 i}=\dfrac{-11+5i}{5+11i}=\dfrac{i}{i}\times \dfrac{-11+5i}{5+11i}=i\times \dfrac{-11+5i}{5i-11}=i$$
Ce résultat nous permet d'en déduire que :
$$ arg\left(\dfrac{z_{R} - 
z_{Q}}{z_{P} - z_{Q}}\right)=arg(i)=\dfrac{\pi}{2}[2\pi]\Longleftrightarrow \left(\overrightarrow{QP};\overrightarrow{QR}\right)=\dfrac{\pi}{2}[2\pi]$$
Ainsi le parallélogramme $PQRS$ est un rectangle. \\
Mais on a aussi (puisque le module de $i$ est $1$) :
$$ \dfrac{RQ}{PQ}=1\Longleftrightarrow RQ=PQ$$
Ainsi le rectangle $PQRS$ est un carré.
\\
Il était possible de procéder autrement (mieux) :
$$\dfrac{z_{R} - 
z_{Q}}{z_{P} - z_{Q}}=i\Longleftrightarrow z_R-z_Q=i(z_P-z_Q)\Longleftrightarrow z_R-z_Q=e^{i\frac{\pi}{2}}(z_P-z_Q )$$
Ainsi le point $R$ est l'image du point $P$ par la rotation d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ et de centre $Q$, ce qui prouve directement que le parallélogramme $PQRS$ est un carré.
%En déduire la nature précise du parallélogramme $PQRS$.
		\item %Justifier que les points $P$, $Q$, $R$ et $S$ appartiennent à un même cercle, noté $\mathscr{C}$. On calculera l'affixe de son 
%centre $\Omega$ et son rayon $\rho$.
Tout carré est inscrit dans un cercle dont le centre est le milieu de l'une de ses diagonales et le rayon est donc la moitié de la longueur de n'importe laquelle des diagonales. 
Ainsi :
$$ z_{\Omega}=\dfrac{z_R+z_P}{2}=\dfrac{-5-i+ 3 + 2i}{2}=\dfrac{-2+i}{2}=-1+\dfrac{1}{2}i$$
et $$ \rho=\Omega P=\sqrt{(3+1)^2-(2-0,5)^2}=\sqrt{4+2,25}=\sqrt{6,25}=\sqrt{\dfrac{25}{4}}=\dfrac{5}{2}$$
	\end{enumerate}
\item La droite $(AP)$ est tangente au cercle $\mathscr{C}$ si et seulement si $(AP)\perp (\Omega P)$ i.e si et seulement si 
$$(\overrightarrow{PA};\overrightarrow{P \Omega })= \dfrac{\pi}{2}[\pi]\Longleftrightarrow
\dfrac{z_{\Omega}-z_P}{z_A-z_P}\in i\R$$
Et bien prouvons le :
$$ \dfrac{z_{\Omega}-z_P}{z_A-z_P}= \dfrac{-1+\dfrac{1}{2}i-3-2i}{1,5+6i-3-2i}=\dfrac{-4-1,5i}{-1,5+4i}=\dfrac{i}{i}\times \dfrac{-4-1,5i}{-1,5+4i}=i \dfrac{-4-1,5i}{-1,5i-4}=i$$
Ainsi ce quotient est bien un imaginaire pur, ce qui démontre que $(AP)$ est tangente au cercle $\mathscr C$.\\
Notons que si l'on peut éviter de multiplier par la quantité conjugué, c'est plutôt économique en calcul...
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (6 points)\\
On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par
\[f(x) = 1 + x \ln x.\]
On note $\mathscr{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O; I, J)$
\\
Toutes les aires considérées dans ce problème seront exprimées en unités d'aire.
\\
\textbf{Partie A}
\\
Le but de cette partie est de déterminer un encadrement de l'aire $\mathscr{A}$ du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathscr{C}_{f}$, et les deux droites d'équations $x = 1$ et $x = 2$.
\\
On note $M$ et $N$ les points de $\mathscr{C}_{f}$ d'abscisses respectives 1 et 2, $P$ et $Q$ leurs projetés orthogonaux respectifs sur l'axe des abscisses. La figure est donnée en annexe 1.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que $f$ est positive sur $[1;2]$.
		Et bien comme la fonction $\ln $ est strictement croissante sur $[1;2]$ alors pour tout $x\in [1;2]$ on a :
		$$ \ln x\geq \ln 1=0$$
		Ainsi trivialement, pout tout $x\in [1;2]$ :
		$$ f(x)\geq 1+0=1>0$$
		\item  %Montrer que le coefficient directeur de la droite $(MN)$ est $2\ln 2$.
		Notons $a$ ce coefficient directeur alors on a :
		$$ a=\dfrac{y_N-y_M}{x_N-x_M}=y_N-y_M=f(2)-f(1)=1+2\ln 2-1-1\ln 1=2\ln 2$$
		\item %Soit E le point d'abscisse $\dfrac{4}{e}$.
	%\\
%Montrer que, sur l'intervalle $[1;2]$, le point $E$ est l'unique point de $\mathscr{C}_{f}$ en lequel la tangente à $\mathscr{C}_{f}$ est parallèle à $(MN)$.
Sur l'intervalle $[1;2]$ la fonction $f$ est dérivable, par conséquent tout point $truc$ de $\mathscr C_f$ admet une tangente si son abscisse est comprise entre $1$ et $2$ et cette tangente, que l'on va nommer $T_{truc}$ a pour coefficient directeur $f'(x)$ où $x$ désigne l'abscisse du point $truc$.\\
On a alors la suite d'équivalence suivante :
\begin{eqnarray*}
& & T_{truc}//(MN) \\
&\Longleftrightarrow & f'(x)=2\ln 2\\
&\Longleftrightarrow & \ln x+x\times \dfrac{1}{x}=2\ln 2\\
&\Longleftrightarrow & \ln x+1=2\ln 2\\
& \Longleftrightarrow &\ln x=2\ln 2-1\\
&\Longleftrightarrow & x=e^{2\ln 2-1}=e^{\ln 4}e^{-1}=\dfrac{4}{e}\\
\end{eqnarray*}
Ainsi $T_{truc}//(MN)$ si et seulement si l'abscisse du point $truc$ est $\dfrac{4}{e}\Longleftrightarrow truc=E$, d'où la conclusion. 
		\item  %On appelle $T$ la tangente à $\mathscr{C}_{f}$ au point $E$.\\
%Montrer qu'une équation de $T$ est : $y = (2\ln 2)x - \dfrac{4}{e} + 1$.
L'équation de $T$ est de la forme $$ y=f'\left(\dfrac{4}{e}\right)\left(x-\dfrac{4}{e}\right)+f\left(\dfrac{4}{e}\right)$$
Or, $f'\left(\dfrac{4}{e}\right)=2 \ln 2$ d'après la question précédente et $f\left(\dfrac{4}{e}\right)=1+\dfrac{4}{e}\ln \dfrac{4}{e}=1+\dfrac{4}{e}\left(\ln 4-1\right)=1+\dfrac{4\ln 4}{e}-\dfrac{4}{e}=1+\dfrac{8\ln 2}{e}-\dfrac{4}{e}$.
\\
Ainsi :
$$y=2\ln 2 \left(x-\dfrac{4}{e}\right)+1+\dfrac{8\ln 2}{e}-\dfrac{4}{e}=2 \ln 2 x-\dfrac{8 \ln 2}{e}+1+\dfrac{8\ln 2}{e}-\dfrac{4}{e}= (2\ln 2)x - \dfrac{4}{e} + 1$$
	\end{enumerate}
\item   Soit $g$ la fonction définie sur $[1;2]$ par : $g(x) = f(x) - \left[(2 \ln 2)x - \dfrac{4}{e} +  1\right]$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que pour tout $x$ de $[1;2]$ : $g'(x) = 1 + \ln \left(\dfrac{x}{4}\right)$.
		$\forall x\in [1;2]$ on a :
		$$ g'(x)=f'(x)-2 \ln 2=\ln x+1-2\ln 2= 1+\ln x-\ln 4=1+\ln \dfrac{x}{4}$$
		\item  On a $g'(x)=0\Longleftrightarrow 1+\ln \dfrac{x}{4}\geq 0\Longleftrightarrow \ln \dfrac{x}{4}\geq -1\Longleftrightarrow \dfrac{x}{4}\geq \dfrac{1}{e}\Longleftrightarrow x\geq \dfrac{4}{e}$.
		$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{1}&&\tx{\dfrac{4}{e}}&&\tx{2}\cr
\tx{g'(x)}&&\tx{-}&\txt{0}&\tx{+}&\cr
\tx{g(x)}&&\fd&\txb{0}&\fm&\cr
}$$
Ainsi $g(x)\geq 0$ ce qui implique que $\mathscr C_f$ est au dessus de $T$ sur $[1;2]$		
	\end{enumerate}
\item Soient $M'$ et $N'$ les points d'abscisses respectives 1 et 2 de la droite $T$. On admet que la courbe $\mathscr{C}_{f}$ reste sous la droite $(MN)$ sur l'intervalle $[1 ; 2]$ et que les points
$M'$ et $N'$ ont des ordonnées strictement positives.
	\begin{enumerate}
		\item % Calculer les aires des trapèzes $MNQP$ et $M'N'QP$.
		Compte tenu de tout ce qu'on vient d'admettre, l'aire disons $\mathscr B$ du trapèze $MNQP$ est (en notant $W(2;1)$) :
		$$ \mathscr B=\mathscr A(MWQP)+\mathscr A(MWN)=1+\dfrac{f(2)-1}{2}=1+\dfrac{1+2\ln 2-1}{2}=1+\ln 2 \quad \text{u.a}$$
		et puis l'aire $\mathscr D$ du trapèze $M'N'QP$ (en notant $W(2;2\ln 2-4/e+1)$) est :
		$$ \mathscr D=\mathscr A(M'W'QP)+\mathscr A(M'W'N')=2\ln 2-\dfrac{4}{e}+1+\dfrac{4\ln 2-4/e+1-2\ln 2+4/e-1}{2}
		$$
		$$\mathscr D=2\ln 2-\dfrac{4}{e}+1+\ln 2=3\ln 2-\dfrac{4}{e}+1\quad \text{u.a}$$
		\item  %En déduire, à l'aide de la calculatrice, un encadrement de $\mathscr{A}$ d'amplitude $10^{-1}$.
		Notons que $f(x)>0$ sur $[1;2]$, ainsi $\mathscr A=\int_1^2 f(x) dx$.\\
		Comme $\mathscr C_f$ est au dessus de $T$ mais au dessous de $(MN)$ sur $[1;2]$ on obtient :
		$$ \mathscr D\leq \int_1^2 f(x) dx \leq \mathscr B\Longleftrightarrow 3\ln 2-\dfrac{4}{e}+1\leq  \int_1^2 f(x) dx  \leq 1+\ln 2$$
		Or : $ 3\ln 2-\dfrac{4}{e}+1\simeq 1,6$ et $ 1+\ln 2\simeq 1.7$, ainsi à $10^{-1}$ près on obtient (en u.a) :
		$$ 1,6 < \mathscr A<1,7$$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Partie B}
\\
Le but de cette partie est de déterminer la valeur exacte de $\mathscr{A}$.
\begin{enumerate}
\item %A l'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_{1}^2 x \ln x \:\text{d}x$.
$$ \int_{1}^2 x \ln xdx = \left[\dfrac{x^2}{2}\times\ln x\right]_1^2-\int_1^2 \dfrac{x^2}{2}\times \dfrac{1}{x} dx$$
i.e 
$$ \int_{1}^2 x \ln xdx = 2\ln 2-0-\dfrac{1}{2}\int_1^2 x dx=2\ln 2-\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_1^2=2\ln 2-\dfrac{1}{2}\left(2-\dfrac{1}{2}\right)=2\ln 2-1+\dfrac{1}{4}=2\ln 2-\dfrac{3}{4}\quad \text{u.a}$$
\item %En déduire la valeur exacte de $\mathscr{A}$.
On a déjà vu que :
$$ \mathscr A=\int_1^2 f(x) dx=\int_1^2 1+x\ln x dx=\int_1^2 dx+\int_1^2 x\ln xdx=1+2\ln 2-\dfrac{3}{4}=2\ln 2+\dfrac{1}{4}\quad \text{u.a}$$
\end{enumerate}}
\pagebreak

\Exoi{\hfill (6 points)\\
\emph{On cherche à modéliser de deux façons différentes l'évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat, en fonction de l'année.}
\\
Les parties A et B sont indépendantes
\\
\textbf{Partie A : un modèle discret}
 \\
Soit $u_{n}$ le nombre, exprimé en millions, de foyers possédant un téléviseur à écran plat l'année $n$.
\\
On pose $n =0$ en 2005, $u_{0} = 1$  et, pour tout $n \geqslant 0,$
 \[u_{n+1} = \dfrac{1}{10}u_{n}\left(20 - u_{n } \right).\]
\begin{enumerate}
\item  Soit $f$ la fonction définie sur [0 ~;~ 20] par
\[ f(x)= \dfrac{1}{10}x(20 - x ).\]
	\begin{enumerate}
		\item  %Etudier les variations de $f$ sur [0 ~;~ 20].
		Pour tout $x \in [0 ~;~ 20]$  on a :
		$$ f'(x)=0,1(20-x)-0,1x=0,1(20-x-x)=0,1(20-2x)=2-0,2x$$
		Or $f'(x)\geq 0\Longleftrightarrow 2-0,2x\geq 0\Longleftrightarrow 2\geq 0,2 x\Longleftrightarrow x\leq 2\times 5=10$
		\\
		D'où :
		$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{0}&&\tx{10}&&\tx{20}\cr
\tx{f'(x)}&&\tx{+}&\txt{0}&\tx{-}&\cr
\tx{f(x)}&\txb{0}&\fm&\txh{10}&\fd&\txb{0}\cr
}$$
		\item %En déduire que pour tout $x \in [0~;~20],~ f(x) \in [0~;~10]$.
		Evident d'après la question précédente.
		\item %On donne en \textbf{annexe 2} la courbe représentative $\mathscr{C}$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormal.
	%	\\
%Représenter, sur l'axe des abscisses,  à l'aide de ce graphique, les cinq premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant 0}$.
\quad \\
\begin{center}
\psset{xunit=0.66cm , yunit=0.66cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.6)(20.5,13.6)
\def\xmin{0} \def\xmax{20} \def\ymin{0} \def\ymax{13}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-0.5,-0.6)(20.5,13.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
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\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
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\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.9,3.439)(0,3.439)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(1.9,3.439)(0,3.439)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,3.439)(3.439,3.439)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,3.439)(3.439,3.439)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3.439,3.439)(3.439,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(3.439,3.439)(3.439,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3.439,0)(3.439,5.69532)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(3.439,0)(3.439,5.69532)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3.439,5.69532)(0,5.69532)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(3.439,5.69532)(0,5.69532)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,5.69532)(5.69532,5.69532)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,5.69532)(5.69532,5.69532)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(5.69532,5.69532)(5.69532,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(5.69532,5.69532)(5.69532,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(5.69532,0)(5.69532,8.14697)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(5.69532,0)(5.69532,8.14697)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(5.69532,8.14697)(0,8.14697)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(5.69532,8.14697)(0,8.14697)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,8.14697)(8.14697,8.14697)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,8.14697)(8.14697,8.14697)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(8.14697,8.14697)(8.14697,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(8.14697,8.14697)(8.14697,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(8.14697,0)(8.14697,9.65663)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(8.14697,0)(8.14697,9.65663)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(8.14697,9.65663)(0,9.65663)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(8.14697,9.65663)(0,9.65663)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,9.65663)(9.65663,9.65663)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,9.65663)(9.65663,9.65663)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(9.65663,9.65663)(9.65663,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(9.65663,9.65663)(9.65663,0)
\def\F{0.1 x mul 20 x sub mul}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{0}{20}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{20}{\F}
\uput[0](3,6.5){$C_f$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=10,Dy=10,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\uput[-90](1,0){\small $u_0$}
\uput[180](0,1.9){\small $u_1$}
\uput[-90](1.9,0){\small $u_1$}
\uput[180](0,3.439){\small $u_2$}
\uput[-90](3.439,0){\small $u_2$}
\uput[180](0,5.69532){\small $u_3$}
\uput[-90](5.69532,0){\small $u_3$}
\uput[180](0,8.14697){\small $u_4$}
\uput[-90](8.14697,0){\small $u_4$}
\uput[180](0,9.65663){\small $u_5$}
\uput[-90](9.65663,0){\small $u_5$}
\end{pspicture*}
\end{center}
 	\end{enumerate}
\item Montrer par récurrence que pour tout $n \in  \N,~ 0 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 	10$.\\
Notons $\mathscr P(n)$ cette propriété.
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation} : On a $u_0=1$ et $u_1=1,9$, ce qui donne bien :
$$ 0\leq u_0\leq u_1\leq 10$$
La propriété $\mathscr P$ est donc vraie au rang $0$.
\item \textit{Hérédité} : Supposons que $\mathscr P$ soit vraie pour un certain rang $n$ et montrons qu'elle est vraie au rang $n+1$.\\
Ainsi  on a, comme la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;10]$, la série d'équivalence suivante :
\begin{eqnarray*}
& & 0 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 	10\\
& \Longleftrightarrow & f(0)\leq f(u_n)\leq f(u_{n+1})\leq f(10)\\
&\Longleftrightarrow & 0 \leq u_{n+1} \leq u_{n+2} \leq 10\\
\end{eqnarray*}
La propriété $\mathscr P$ est donc vraie au rang $n+1$ dès qu'elle l'est au rang $n$.
\item \textit{Conclusion} On vient de démontrer par récurrence que pour tout $n \in  \N,~ 0 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 	10$. 
\end{itemize}
\item %Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant 0}$ est convergente et déterminer sa limite.
D'après la question précédente $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant 0}$ est une suite croissante et majorée par $10$, par conséquent elle converge vers un réel que nous allons noter $\ell$. \\
On a comme $f$ est continue sur $\R$,  $ u_{n+1}= f( u_n)\Longleftrightarrow \ell=f(\ell)$ i.e
$$ u_{n+1} = \dfrac{1}{10}u_{n}\left(20 - u_{n }\right)\Longleftrightarrow \ell = \dfrac{1}{10}\ell (20-\ell)\Longleftrightarrow \ell=2\ell -0,1\ell^2\Longleftrightarrow 10\ell=20\ell-\ell^2\Longleftrightarrow \ell^2-10\ell=0$$
i.e $$\ell(\ell-10)=0\Longleftrightarrow \ell=0\quad \text{ou}\quad \ell=10$$
Or, $u_0=1$ et $(u_n)$ est une suite croissante, par conséquent $\ell\neq 0$ donc $\ell=10$.
	\end{enumerate}
\textbf{Partie B : un modèle continu}
\\
Soit $g(x)$ le nombre, exprimé en millions, de tels foyers l'année $x$.
\\
On pose $x = 0$ en 2005,  $g(0) = 1$
et $g$ est une solution, qui ne s'annule pas sur $[0~; ~+\infty[$, de l'équation différentielle
\[(\text{E})\quad ;~~y' = \dfrac{1}{20}y(10 - y).\]
\begin{enumerate}
\item On considère une fonction $y$ qui ne s'annule pas sur $[0~; ~+\infty[$ et on pose $z = \dfrac{1}{y}$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que $y$ est solution de (E) si et seulement si $z$ est solution de l'équation différentielle :
	%	\[(\text{E}_{1})\quad  : ~~z' = - \dfrac{1}{2}z + \dfrac{1}{20}.\]
	Notons que $z=\dfrac{1}{y}\Longleftrightarrow y=\dfrac{1}{z}\Longrightarrow y'=-\dfrac{z'}{z^2}$
	\begin{eqnarray*}
	& & y \text{ solution de } (E)\\
	& \Longleftrightarrow & y' = \dfrac{1}{20}y(10 - y)\\
	& \Longleftrightarrow & -\dfrac{z'}{z^2}= \dfrac{1}{20} \times \dfrac{1}{z} \left(10-\dfrac{1}{z}\right)\\
	&\Longleftrightarrow & -z'=\dfrac{1}{20}z\left(10-\dfrac{1}{z}\right)\\
	&\Longleftrightarrow & -z'=\dfrac{1}{20}(10z-1)\\
	&\Longleftrightarrow &-z'=\dfrac{1}{2}z-\dfrac{1}{20}\\
	&\Longleftrightarrow & z'=-\dfrac{1}{2}z+\dfrac{1}{20}\\
	&\Longleftrightarrow & z \text{ solution de } (E_1)
	\end{eqnarray*}
		\item  %Résoudre l'équation (E$_{1}$) et en déduire les solutions de l'équation (E).
Les solutions $z$ de l'équation $(E_1)$ sont de la forme :		
$$ z(t)=Ke^{-0,5t}-\dfrac{0,05}{-0,5}=Ke^{-0,5t}+\dfrac{1}{10}\qquad \text{avec }K\in R\qquad \forall t\in \R$$
Par conséquent d'après la question précédente les solutions $h$ de l'équation $(E)$ sont de la forme :
$$ h(t)=\dfrac{1}{Ke^{-0,5t}+\dfrac{1}{10}}\qquad \text{avec }K\in R\qquad \forall t\in \R$$
		\end{enumerate}
\item %Montrer que $g$ est définie sur $[0~; ~+\infty[$ par $g(x) = \dfrac{10}{9\text{e}^{-\frac{1}{2}x} + 1}$.
D'après la question précédente on a :
$$ g(t)=\dfrac{1}{Ke^{-0,5t}+\dfrac{1}{10}}\qquad \text{avec }K\in R\qquad \forall t\in \R$$
De plus $g(0)=1\Longleftrightarrow \dfrac{1}{K+0,1}=1\Longleftrightarrow K+0,1=1\Longleftrightarrow K=0,9=\dfrac{9}{10}$.\\
Ainsi pour tout $t\in \R$ on a :
$$ g(t)=\dfrac{1}{\frac{9}{10}e^{-0,5t}+\dfrac{1}{10}}=\dfrac{10}{9e^{-0,5t}+1}$$
\item %Etudier les variations de $g$ sur $[0~; ~+\infty[$.
$$ g'(t)=-\dfrac{10\times (-9/2)e^{-0,5t}}{(9e^{-0,5t}+1)^2}=\dfrac{45e^{-0,5t}}{(9e^{-0,5t}+1)^2}$$
Le dénominateur est trivialement strictement positif, et donc $g'(x)$ est du signe du numérateur, qui est lui aussi strictement positif (puisque c'est le cas de l'exponentielle de n'importe quoi) par conséqunet $g'(t)>0$ $\forall t\in\R$ et donc $g$ est strictement croissante sur $\R$, en particulier sur $[0;+\infty[$.
\item %Calculer la limite de $g$ en $+ \infty$ et interpréter le résultat.
$$ \lim\limits_{x\to +\infty}g(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{10}{9e^{-0,5x}+1}=\dfrac{10}{9\times 0+1}=10$$
D'après ce modèle dans un temps infini le nombre de foyers possédant un téléviseur à écran plat se stabilisera à $10$ millions.
\item %En quelle année le nombre de foyers possédant un tel équipement dépassera-t-il $5$~millions ?
On cherche donc $x$ tel que $$ g(x)\geq 5\Longleftrightarrow \dfrac{10}{9e^{-0,5x}+1}\geq 5\Longleftrightarrow 2\geq 9e^{-0,5x}+1\Longleftrightarrow 1/9\geq  e^{-0,5x}\Longleftrightarrow -\ln 9\geq -0,5 x\Longleftrightarrow 2\ln 9\leq x\Longleftrightarrow x\geq 2\ln 9$$
Or, $2\ln 9\simeq 4,4$
En $2010$  le nombre de foyers possédant un tel équipement dépassera $5$~millions, ce dépassement interviendra courant $2009$ d'après ce modèle bien sûr.
\end{enumerate}}

\newpage

\begin{center} \textbf{ANNEXE 1} \par \par
\textbf{Cette page ne sera pas à remettre avec la copie}
\par

\bigskip

\psset{xunit=5cm,yunit=5cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(2.3,2.6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.2,-0.2)(2.3,2.6)
\psline(0.2,-0.2)(2.2,2.575)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=10,griddots=10,subgridcolor=orange](0,0)(-0.2,-0.2)(2.3,2.6)
\uput[d](2.25,0){$x$} \uput[l](0,2.55){$y$}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.001}{2.125}{x ln x mul 1 add}
\psline(1,1)(2,2.4)\uput[dl](0,0){O}
\uput[u](0.33,0.6){$\mathscr{C}_{f}$} \uput[u](0.35,0.04){T} \uput[ul](1,1){M} 
\uput[dr](1,0.9){M$'$} \uput[ul](1,0){P} \uput[dr](1.47,1.55){E} 
\uput[ul](2,2.4){N} \uput[dr](2,2.3){N$'$} \uput[ur](2,0){Q} 
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](1.471,1.5677)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](1,0)(1,1)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](2,0)(2,2.4)
\end{pspicture}
\end{center}









\end{document}