  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Chapitre 5 : Fonctions exponentielles }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}
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\newcommand{\Ch}{Les nombres \linebreak[2] Complexes 1/2}	
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\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
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\lhead{Chapitre 7}
\rhead{Logarithme népérien}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Devoir Surveillé 6}




\Exoi{\textbf{R.O.C} \hfill (4 points)
\begin{center}
\psset{xunit=1.25cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(9,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(9,3)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\psplot{0.5}{9}{x ln}
\psline[linestyle=dotted](2.4,0)(2.4,0.8755)(0,0.8755)
\psline[linestyle=dotted](6.6,0)(6.6,1.887)(0,1.887)
\uput[u](8.5,0){$x$}\uput[r](0,2.5){$y = \ln x$}
\uput[ur](0,0){O}
\uput[ul](2.4,0.8755){A} \uput[d](2.4,0){$a$}
\uput[ul](6.6,1.887){B} \uput[d](6.6,0){$b$}
\uput[l](0,0.8755){Q} \uput[l](0,1.887){R}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psline(-0.2,-0.1245)(0.2,-0.1245) \uput[l](0,-0.1245){P}
%\psline{->}(0,-0.1245)(2.4,0.8755)(4.8,1.8755)
%\psline[linecolor=blue]{<->}(-0.5,-0.1245)(-0.5,0.8755)
\uput[l](-0.5,0.3755){$-1$}
\uput[l](-0.5,0.8755){$\ln a$}\uput[l](-0.5,1.887){$\ln b$}
\psline[linecolor=red,linewidth=2pt]{->}(0,1.38125)(3.98,1.38125)
\psline[linecolor=red,linewidth=2pt]{->}(3.98,1.38125)(3.98,0)
\uput[d](3.98,0){$\sqrt{ab}$} \uput[l](-0.25,1.38125){$\frac{1}{2}(\ln a + \ln b)$}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item R. O. C. : en appliquant la propriété à $\ln m = \ln \left(\sqrt{m} \times \sqrt{m}\right)$, on obtient :
$$\ln m = \ln \sqrt{m} + \ln \sqrt{m} = 2\ln \sqrt{m} \iff \ln \sqrt{m} = \dfrac{1}{2}\ln m$$ (avec $m > 0$).
\item On a $\ln a + \ln b = \ln ab = 2\ln \sqrt{ab} \iff \ln \sqrt{ab} = \dfrac{1}{2}(\ln a + \ln b)$.\\
D'o\`u la construction : 
	\begin{itemize}
		\item On construit la médiatrice de [QR].
		\item Cette médiatrice  coupe $\Gamma$ en un point dont l'abscisse est $\ln \sqrt{ab}$.
	\end{itemize}
\end{enumerate}
}





\Exoi{\hfill (16 points)\\
\begin{enumerate}
 \item Pour $x\in ]1;+\infty[$, on a $\ln x >0$ et on sait que la fonction ln est dérivable sur 
$]0;+\infty[$, on en déduit que $f$ est une fonction dérivable sur $]1;+\infty[$, avec :\\
$f'(x)=\frac{1}{x}+\frac{\frac{1}{x}}{(\ln x)^2}=\frac{(\ln x)^2+1}{x(\ln x)^2}$.\\
Pour $x\in ]1;+\infty[$, on a $(\ln x)^2+1>1>0$ et $x(\ln x)^2>0$, et donc $f'(x)>0$.\\
On en déduit que la fonction $f$ est strictement croissante sur $]1;+\infty[$.\\
$\lim_{x\to 1} \ln x=0$, avec $\ln x>0$ pour $x>1$, par conséquent $\lim_{{x\to 1}\atop{x>1}} \frac{1}{\ln x}=+\infty$\\
et donc $\lim_{{x\to 1}\atop{x>1}} f(x)=-\infty$.\\
$\lim_{x\to +\infty} \ln x=+\infty$, donc $\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{\ln x}=0$ et donc $\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$. 
\item \begin{enumerate}
 \item Pour $x\in ]1;+\infty[$, on a $f(x)-\ln x=- \frac{1}{\ln x}$, donc $\lim_{x\to +\infty} f(x)-\ln x=0$.\\
On en déduit que  $\Gamma$ est \og asymptote \fg au voisinage de $+\infty$ à $(\mathcal{C})$. Attention, notons que $\Gamma$ n'est pas une droite ici, mais une courbe, ainsi la courbe $(\mathcal C)$ se rapproche de $\Gamma$ d'aussi prêt que l'on veut lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
\item Pour $x\in ]1;+\infty[$, on a $\ln x >0$ et donc $- \frac{1}{\ln x}<0$,\\ par conséquent $(\mathcal{C})$ est en dessous de $\Gamma$ 
sur $]1;+\infty[$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
 \item La tangente $\mathcal{F}_a$ a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
 $$O(0,0)\in \mathcal{F}_a\iff0=f'(a)(0-a)+f(a)\iff f(a)-af'(a)=0$$
 \item Sur $]1;+\infty[$, on a $(\ln x)^2\ne 0$, donc :\\ $g(x)=0 \iff f(x)-xf'(x)=0 \iff \ln x-\frac{1}{\ln x}-\frac{(\ln x)^2+1}{(\ln x)^2}=0
$ \\ $\iff \frac{(\ln x)^3-\ln x - (\ln x)^2-1}{(\ln x)^2}=0 \iff (\ln x)^3-\ln x - (\ln x)^2-1=0$.\\
Ainsi les équations $g(x)=0$ et $(\ln x)^3-\ln x - (\ln x)^2-1=0$ ont le même ensemble de solution.
 \item La fontion $u$ est une fonction polynôme, donc dérivable (et continue) sur $\R$,\\ avec $u'(t)=3t^2-2t-1$.\\
On a $\Delta=16$, donc $u'$ admet deux racines distinctes : \\ $t_1=\frac{2-4}{6}=-\frac{1}{3}$ et $t_2=\frac{2+4}{6}=1$.\\
De plus, $u'(t)>0$ pour $t\in ]-\infty;-\frac{1}{3}[\cup ]1;+\infty[$ et $u'(t)<0$ pour $t\in ]-\frac{1}{3};1[$.\\
 \begin{center}
\begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit[espcl=4]{$t$/1, Signe\\de $ 3t^2-2t-1 $/2, Variation\\ de $u$/2} {$0$  , $-\frac{1}{3}$, $1$,  $+\infty$}%
  \tkzTabLine {,+,z,-,z,+,}%
  \tkzTabVar {-/ $-\infty$ , + /$-\frac{22}{27}$, -/$ -2$, +/$+\infty$ }
%  \tkzTabVal[draw] {1}{3} {1.8} {$1$} {$0$}
  %\tkzTabVal[draw] {1}{2} {2.4} {$\alpha$} {$0$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
La fonction $u$ est croissante sur $\left]-\infty~;~-\frac{1}{3}\right[$ et décroissante sur $\left]-\frac{1}{3}~;~1\right[$.\\ Par conséquent, sur $]-\infty~;~1[$, la fonction $u$ admet un maximum en $-\frac{1}{3}$.\\
 Ce maximum vaut $-\frac{22}{27}$, ainsi l'équation $u(t) = 0$ n'admet pas de solution sur $]-\infty~;~1[$.\\
La fonction $u$ est continue et strictement croissante sur $[1~;~+\infty[$, avec $u(1)=-2$ et $\lim_{t\to +\infty} u(t)=+\infty$.\\
Or $0\in [-2;+\infty[$, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, on en déduit que  l'équation $u(t)=0$ admet une unique solution sur $[1~;~+\infty[$,\\
par conséquent, l'équation $u(t)=0$ admet une unique solution, $\alpha$, sur $\R$.
\item $$ (\ln x)^3-\ln x - (\ln x)^2-1=0 \iff \left\lbrace\begin{array}{l}
             t^3 - t^2 - t - 1=0\\
t = \ln x                                                                               
\end{array}\right.$$
D'après ce qui précède, $\alpha\geq 1 > 0$, donc le réel $x$, tel que $\ln x =\alpha$, appartient à $]1~;~+\infty[$, ainsi l'équation $(\ln x)^3-\ln x - (\ln x)^2-1 = 0$ admet une unique solution sur $]1~;~+\infty[$, il en est alors de même pour l'équation $g(x)=0$ (d'après \textbf{3. b.}), et donc il existe une unique tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ passant par l'origine du repère (d'après \textbf{3. a.}).
\end{enumerate}
\item Soit $p$ le coefficient directeur de la tangente $T$ que l'on vient de tracer.\\
Sur l'intervalle $]1~;~+\infty[$ :\\
Pour $m\le 0$, l'équation $f(x) = mx$ admet une solution.\\
Pour $0<m<p$, l'équation $f(x) = mx$ admet deux solutions.\\
Pour $m=p$, l'équation $f(x) = mx$ admet une unique solution.\\
Pour $m>p$, l'équation $f(x) = mx$ n'admet pas de solution.\\
En traçant la droite $\Delta$, passant par l'origine et par le point de coordonnées $(10~;~f~(10))$, de coefficient directeur noté $q$, on obtient le résultat
suivant :\\
Sur l'intervalle $]1~;~10[$ :\\
Pour $m\le 0$, l'équation $f(x) = mx$ admet une solution.\\
Pour $0<m<q$, l'équation $f(x) = mx$ admet une solution unique.\\
Pour $q\le m<p$, l'équation $f(x)=mx$ admet deux solutions.\\
Pour $m=p$, l'équation $f(x)=mx$ admet une unique solution.\\
Pour $m>p$, l'équation $f(x)=mx$ n'admet pas de solution.\\
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture}(0,-3)(12,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,-3)(12,3)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(0,-3)(12,3)
% \psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000]{0.05}{11.5}{x ln}
\psplot[linestyle=dashed,plotpoints=2000]{1.355}{11.5}{x ln 1 x ln div sub}
\psline[linecolor=blue](0,0)(10,2.1)
\uput[u](10,2.1){\textcolor{blue}{$T$}}
\psline[linecolor=red](0,0)(10,1.868)
\uput[dl](10,1.82){\textcolor{red}{$\Delta$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
}



\end{document}