  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Chapitre 2 : Suites et récurrences }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}
\usepackage{pifont}


\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Complexes et exponentielles}	
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$ S}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
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\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
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\lhead{Chapitre 6}
\rhead{Complexes et exponentielles}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction  du devoir surveillé 5}

\Exoi{\textbf{R.O.C} \hfill (2 points)\\
Le plan complexe est rapporté à un repre orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$.\\
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan d'affixes respectives $a,~b,~c$. \\
On suppose que $A$ et $B$ sont distincts, ainsi que $A$ et $C$.
\\
On rappelle que $\left(\overrightarrow{e_1},~\overrightarrow{\text{AB}}\right) = \text{arg}(b - a)\quad [2\pi]$.
\\Montrer que $\left(\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AC}}\right) = \text{arg}\left(\dfrac{c - a}{b - a} \right) \quad [2\pi]$. 
}

\Dem{
\begin{align*}
 \left(\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AC}\right) &= \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{e_1}\right)+\left(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{AC}\right) = -\left(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{AB}\right)+\left(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{AC}\right)\\
  &= -\text{arg}(b - a)+\text{arg}(c - a) = \text{arg}\left(\frac{c-a}{b-a}\right)\qquad [2\pi]
\end{align*}}


\Exoi{\hfill (Antilles-Guyanne Sept. 2008)\\
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : 
\[f(x) = x + 2 - \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 3}.\]
On désigne par $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j)$ d'unité graphique 2~cm.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  
%D�terminer la limite de $f$ en $- \infty$. 
Comme $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x = 0,~\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 3} = 0.$ La limite de $f(x)$ est celle de $x + 2$ soit $- \infty.$ 
\item On réécrit le quotient $ \dfrac{e^x}{e^x+3}=\dfrac{e^x}{e^x\left(1+\frac{3}{e^x}\right)}=\dfrac{1}{1+\frac{3}{e^x}}$. Ainsi comme $e^x$ tend vers $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ on a $\Lim{+\infty}\dfrac{1}{1+\frac{3}{e^x}}=1$ et comme $\Lim{+\infty}x+2=+\infty$ on a :
$$ \Lim{+\infty} f(x)=+\infty$$
		\item 
%D�montrer que la droite $\mathscr{D}_{1}$ d'�quation $y = x + 2$ est asymptote � la courbe $\mathscr{C}$. 
$f(x) - (x + 2) = -\dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 3}$ et on a vu que la limite de ce quotient est égale à $0$ au voisinage de $- \infty$. Ceci montre que la droite $\mathscr{D}_{1}$ d'équation $y = x + 2$ est asymptote à la courbe $\mathscr{C}$ au voisinage de $- \infty.$
		\item 
%�tudier la position de $\mathscr{C}$ par rapport � $\mathscr{D}_{1}$.
Comme $4,~ \text{e}^x,~\text{e}^x + 3$ sont des nombres supérieurs à zéro, $-\dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 3} < 0.$
\\
Ceci montre que la droite $\mathscr{D}_{1}$ est sous la courbe $\mathscr{C}$ au voisinage de $- \infty.$
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  
%On note $f'$ la fonction d�riv�e de $f$. Calculer $f'(x)$ et montrer que, pour tout r�el $x$, on a : 
%\[f'(x) = \left(\dfrac{\text{e}^x - 3}{\text{e}^x + 3}\right)^2\]
$f$ est une somme de quotients de fonctions dérivables sur $\R$, le dénominateur ne s'annulant pas : elle est donc dérivable sur $\R$ et 
\\
$f'(x) = 1 + \dfrac{-4\text{e}^x\left(\text{e}^x + 3 \right)  + 4\text{e}^x \times \text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 3 \right)^2} = 1 - \dfrac{12\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 3 \right)^2} = \dfrac{\left(\text{e}^x + 3 \right)^2 - 12\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 3 \right)^2} =$
\\
$ \dfrac{\text{e}^{2x} + 9 + 6\text{e}^x - 12\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 3 \right)^2} = \dfrac{\text{e}^{2x} + 9 - 6\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 3 \right)^2} = \dfrac{\left(\text{e}^x - 3 \right)^2}{\left(\text{e}^x + 3 \right)^2}$
\\
D'o\`u finalement $f'(x) = \left(\dfrac{\text{e}^x - 3}{\text{e}^x + 3}\right)^2$, quel que soit $x \in \R$.
			\item 
%�tudier les variations de $f$ sur $\R$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
On a manifestement $f'(x) \geqslant  0$.
\\
La fonction $f$ est donc croissante sur $\R$.
\\
On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} - \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 3} = - 4,~\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty.$
\\
D'o\`u le tableau de variations :
\begin{center} \psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(7,3.5)
%\psgrid
\psframe[linecolor=blue](7,3.5)
\psline[linecolor=blue](0,2.5)(7,2.5)
\psline[linecolor=blue](0,3)(7,3)
\psline[linecolor=blue](1.5,0)(1.5,3.5)
\uput[u](0.75,3){$x$} \uput[u](1.8,3){$- \infty$} \uput[u](4.25,3){$\ln 3$} \uput[u](5.6,3){$+ \infty$} \uput[u](0.75,2.4){$f'(x)$} \uput[u](2.85,2.5){$+$} \uput[u](4.25,2.5){$0$}  \uput[u](5.7,2.5){$+$} \rput(0.75,1.25){$f(x)$} \rput(1.8,0.2){$- \infty$} \rput(6.6,2.3){$+ \infty$}
\psline{->}(2.3,0.4)(6.1,2)
\end{pspicture}
\end{center} 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  
% Que peut-on dire de la tangente $\mathscr{D}_{2}$ � la courbe $\mathscr{C}$ au point I d'abscisse $\ln 3$ ?
$f'(x) = 0 \iff  \text{e}^x = 3 \iff x = \ln 3.$
$\mathscr{C}$ a donc  une tangente    horizontale au point d'abscisse $x = \ln 3$.
\\
On a $f(\ln 3) = \ln 3 + 2 - \dfrac{4 \times 3}{3 + 3} = \ln 3$.
\\
L'équation de $\mathscr{D}_{2}$ est $y = \ln 3 $.
		\item 
- Si $x < \ln 3$, alors par croissance de $f,~f(x) < f(\ln 3)$. La courbe  $\mathscr{C}$ est sous la droite $\mathscr{D}_{2}$.
\\
- Si $x > \ln 3$, alors par croissance de la fonction $f~f(x) > f(\ln 3)$. La courbe  $\mathscr{C}$ est au-dessus de  la droite $\mathscr{D}_{2}$.
\\
- Si $x = \ln 3$, alors $\mathscr{C}$ et $\mathscr{D}_{2}$ sont tangentes.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  
% Montrer que la tangente $\mathscr{D}_{3}$ � la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse $0$ a pour �quation : $y = \dfrac{1}{4} x + 1$. 
$M(x~;~y) \in \mathscr{D}_{3} \iff \dfrac{Y - f(0)}{X - 0} = f'(0) \quad (\text{si}~X \neq 0 \iff Y = f(0) + f'(0)X.$
\\
$f(0) = 2 - \dfrac{4}{4} = 1$ ;
\\
$f'(0) =  \left(\dfrac{-2}{4} \right)^2 = \dfrac{1}{4}$.
\\
$M(x~;~y) \in \mathscr{D}_{3} \iff y = \dfrac{1}{4}x + 1$
		\item 
% �tudier la position de la courbe $\mathscr{C}$ par rapport � la tangente $\mathscr{D}_{3}$ sur l'intervalle $]-\infty~;~ \ln 3]$. 
%On pourra utiliser la d�riv�e seconde de $f$ not�e $f''$ d�finie pour tout $x$ de $\R$ par : 
Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = f(x) - \left(\dfrac{1}{4}x + 1 \right)$.
\\
$g$ est dérivable sur $\R$ et $g'(x) = f'(x) - \dfrac{1}{4}$ ;
\\
$g'$ est dérivable sur $\R$ et $g'"(x) = f''(x)  = \dfrac{12\text{e}^x \left(\text{e}^x - 3\right)}{\left(\text{e}^x + 3  \right)^3}$ ; ce quotient est du signe de $\text{e}^x - 3$ ; le signe de $g''$ dépend donc de la position de $x$ par rapport à $\ln 3$ :
\\
- si $x < \ln 3,~g''(x) < 0$, ce qui signifie que $g'$ est décroissante ;
\\
-  si $x > \ln 3,~g''(x) > 0$, ce qui signifie que $g'$ est croissante.
\\
- $g'$ admet donc un minimum en $\ln 3$ qui vaut $g'(\ln 3) = f'(\ln 3) - \dfrac{1}{4} = 0 - \dfrac{1}{4} = - \dfrac{1}{4}$.
\\
On remarque que $g'(0) = f'(0) - \dfrac{1}{4} = \left(\dfrac{-2}{4} \right)^2  - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} = 0$.
\\
On en déduit que sur $]- \infty~;~0[,~g'(x) > 0$, donc $g$ est croissante, puis que sur $]0~;~\ln 3[,~g'(x) < 0$, donc $g$ est décroissante.
\\
$g$ a donc un maximum en $x = 0$ qui vaut $g(0) = f(0) - 1 = 2 - \dfrac{4}{4} - 1 = 0$.
\\
\textbf{Conclusion} : sur l'intervalle $]- \infty~;~\ln 3[$, la fonction $g$ est négative soit $f(x) - \left(\dfrac{1}{4}x + 1 \right) < 0 \iff f(x) < \left(\dfrac{1}{4}x + 1 \right)$, ce qui signifie 
 que $\mathscr{C}$ est au dessous de $\mathscr{D}_{3}$ sur $]- \infty~;~\ln 3[$.
%\[ 
%	f"(x) =  \dfrac{12\text{e}^x \left(\text{e}^x - 3\right)}{\left(\text{e}^x + 3  \right)^3}.\]
	\end{enumerate}
\item \quad \\
%On admet que le point I est centre de sym�trie de la courbe $\mathscr{C}$. 
%Tracer la courbe  $\mathscr{C}$, les tangentes $\mathscr{D}_{3}, ~\mathscr{D}_{3}$ et les asymptotes � la courbe $\mathscr{C}$. On rappelle que l'unit� graphique choisie est 2~cm.
\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(4,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt](0,0)(-2,-1)(4,4) 
\psaxes[Dx=10,Dy=10,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-1)(4,4) 
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000]{-2}{4}{x 2 add 2.71828 x exp 4 mul 2.71828 x exp 3 add div sub}
\psplot[linecolor=green]{-2}{4}{0.25 x mul 1 add}
\psplot[linecolor=red]{-2}{2}{ x 2 add}
\psplot{-2}{4}{1.09861}
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](4,0){$x$}\uput[l](0,4){$y$}\uput[dr](1.098,0){$\ln 3$} 
\uput[ul](0,1.098){$\ln 3$} 
\psline[linestyle=dashed](1.09861,-1)(1.09861,2) \uput[dr](1.09861,1.09861){I}
\rput{45}(-0.5,1.7){$\mathscr{D}_{1}$} \uput[u](-1.8,1.0986){$\mathscr{D}_{2}$}
\rput{22.5}(2.5,1.8){$\mathscr{D}_{3}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}}


\Exoi{\hfill (Amérique du nord Sept.2009)\\
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $(O;\vec u, \vec v)$.
 \\
Soit A le point d'affixe $a = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et B le point d'affixe $b = 1 - \sqrt{3} + \left(1 + \sqrt{3}\right)\text{i}$. \\
\textbf{Partie A : Etude d'un cas particulier}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item % Exprimer $\dfrac{- a}{b - a}$ sous forme alg�brique. 
		$\dfrac{- a}{b - a} = \dfrac{ -1 - \text{i}\sqrt{3}}{- \sqrt{3} + \text{i}} = \dfrac{\left( -1 - \text{i}\sqrt{3} \right) \left(- \sqrt{3} - \text{i} \right)}{4} = \text{i}$
	\item  %En d�duire que OAB est un triangle rectangle isoc�le en A.
On en déduit que $0 - a = \text{i} (b - a)$, donc, que le point O est l'image de B($b$) dans la rotation de centre A($a$) et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.
Le triangle OAB est bien rectangle, isocèle en A.
	\end{enumerate} 
\item %D�montrer que $c = -2$. On admet que $d = -2 - 2\text{i}$.
On utilise l'écriture complexe de la rotation $r~ :~ z'-0 = \text{e}^{\frac{2 \pi}{3}}(z-0)$.\\
$c = \text{e}^{\frac{2 \pi}{3}} a = \text{e}^{\frac{2 \pi}{3}} (1 + \text{i}\sqrt{3}) = \left( - \dfrac{1}{2} + \text{i} \frac{\sqrt{3}}{2} \right)(1 + \text{i}\sqrt{3}) = \dfrac{1}{2} \left( -1 - (\sqrt{3})^2 \right) = -2 $
\item 	
	\begin{enumerate} 
	\item %Montrer que la droite (AC) a pour �quation $y = \dfrac{\sqrt{3}}{3}(x+ 2)$.
	On peut se contenter de vérifier que les coordonnées de A et de C vérifient cette équation : 
	\\
	A$(1~;~ \sqrt{3})$ et C$(0~;~ -2)$.
	\\
	Pour A : $\dfrac{\sqrt{3}}{3}(x+ 2) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}(1+ 2) = \sqrt{3}$. OK
	\\
	Pour C :  $\dfrac{\sqrt{3}}{3}(x+ 2) =  \dfrac{\sqrt{3}}{3}(-2+ 2) = 0$. OK
	\\
	A et C appartiennent à la droite d'équation $y = \dfrac{\sqrt{3}}{3}(x+ 2)$, c'est donc bien la droite (AC).
	\item %D�montrer que le milieu du segment [BD] appartient � la droite (AC).
L'affixe du milieu E de [BD] est $z_{\text{E}} = \dfrac{b+d}{2} = \dfrac{1 - \sqrt{3} + \left(1 + \sqrt{3}\right)\text{i} -2 - 2\text{i}}{2} = \dfrac{-1- \sqrt{3}}{2} +  \dfrac{-1+ \sqrt{3}}{2} \text{i}$	
\\
Or, $\dfrac{\sqrt{3}}{3}(x_{\text{E}}+ 2) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{-1- \sqrt{3}}{2} + 2\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{3- \sqrt{3}}{2}\right) = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2} = y_{\text{E}}$. E est bien sur (AC). 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Partie B : Etude du cas général}
\begin{enumerate}
\item  %Exprimer $a'$ en fonction de $a$ et $\theta$ et $b'$ en fonction de $b$ et $\theta$. 
$a' = a \text{e}^{\text{i} {\theta}}$ et $b' = b \text{e}^{\text{i} {\theta}}$.
\item %Soit P le point d'affixe $p$ milieu de [AA$'$] et Q le point d'affixe $q$ milieu de [BB$'$].
	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer $p$ en fonction de $a$ et $\theta$ puis $q$ en fonction de $b$ et $\theta$.
$p = \dfrac{a + a'}{2} = \dfrac{1}{2} a \left(1 + \text{e}^{\text{i} {\theta}}\right)	\qquad \text{et} \qquad q = \dfrac{b + b'}{2} = \dfrac{1}{2} b \left(1 + \text{e}^{\text{i} {\theta}}\right)$		 
	\item %D�montrer que $\dfrac{-p}{q - p} = \dfrac{- a}{b - a}$. 
$\dfrac{-p}{q - p} = \dfrac{-\dfrac{1}{2} a\left(1 + \text{e}^{\text{i} {\theta}}\right)}{ \dfrac{1}{2} b\left(1 + \text{e}^{\text{i} {\theta}}\right) - \dfrac{1}{2} a\left(1 + \text{e}^{\text{i} {\theta}}\right)} = \dfrac{- a}{b - a}$	 en simplifiant par $\dfrac{1}{2} (1 + \text{e}^{\text{i} {\theta}})$
	\item %En d�duire que la droite (OP) est perpendiculaire � la droite (PQ). 
Or, d'après la question A 1. a., 	$\dfrac{- a}{b - a} = \text{i}$, donc $\dfrac{-p}{q - p} = \text{i} $.
Donc, $\left(\vect{\text{PQ}} ; \vect{\text{PO}} \right) = \dfrac{\pi}{2}$ [$2\pi$]\\
Les droites (OP) et (PQ) sont bien orthogonales.
	\item %D�montrer que le point Q appartient � la droite (AA').
A$'$ est l'image de A dans une rotation de centre O, donc OA$'$ = OA et O est sur la médiatrice de (AA$'$).
\\
Comme P est le milieu de [AA$'$], cette médiatrice est donc (OP).
\\
Les deux droites (PQ) et (AA$'$) sont donc orthogonales à (OP) et passent par P, elles sont donc confondues et Q appartient bien à (AA$'$).
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}}

\Exoi{\hfill (Pondichéry Avril 2009)\\
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item \begin{center}\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-3.77,-3.75)(6.15,5.22)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-3.77,-3.75)(6.15,5.22)
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,labels=none,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.77,-3.75)(6.15,5.22)
\pscircle(0,0){2.53}
\pscircle[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](2,1){1.79}
\psline(3,-1)(-1,-1)
\psline(-1,-1)(1,-3)
\psline(3,-1)(1,-3)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](3,-1)(1.46,2.8)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](1.46,2.8)(5.27,4.34)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](5.27,4.34)(3,-1)
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\rput[tl](0.31,-0.1){$\vec u$}
\rput[tl](-0.31,1.04){$\vec v$}
\psdots[dotsize=2pt 0](3,-1)
\rput[bl](3.12,-1.29){$A$}
\psdots[dotsize=2pt 0](1,-3)
\rput[bl](1.11,-3.39){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0](-1,-1)
\rput[bl](-0.9,-0.9){$C$}
\psdots[dotsize=2pt 0](0,0)
\rput[bl](-0.34,-0.39){$O$}
\rput[bl](-2.03,2.88){$\Gamma$}
\psdots[dotsize=2pt 0](1.46,2.8)
\rput[bl](1.4,2.95){$M$}
\psdots[dotsize=2pt 0](5.27,4.34)
\rput[bl](5.37,4.45){$N$}
\psdots[dotsize=2pt 0](4.13,1.67)
\rput[bl](4.31,1.57){$Q$}
\psdots[dotsize=2pt 0](2,1)
\rput[bl](1.69,1.11){$D$}
\rput[bl](2.37,3.51){$\Gamma'$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item $\dfrac{c-b}{a-b}=\dfrac{-2+2 i}{2+2 i}=\dfrac{i(2+2 i)}{2+2 i}=i$ de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$ donc\\
$BA=BC$ et $(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC})=\dfrac{\pi}{2}$. (\emph{Interprétation géométrique d'un quotient}). Le triangle $ABC$ est donc rectangle isocèle de sommet $B$.
		\item $|a|=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$ et $|b|=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$ donc $OA=OB=\sqrt{10}$. Les points sur le cercle de centre $O$ et de rayon $\sqrt{10}$.
		\end{enumerate}	
\item
	\begin{enumerate}
	\item La rotation de centre $M(m)$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ a pour expression complexe : $z'=e^{i\dfrac{\pi}{2}}(z-m)+m$ soit $z'=i z+(1-i)m$.
		\item $N(n)$ est l'image de $A$ par $r$, donc $n=ia + (1-i)m= 1+3i + (1-i)m$.
			\end{enumerate}
\item Le milieu $Q$ du segment [A$N$] a pour affixe $q=\dfrac{a+n}{2}=2+i+\dfrac{(1-i)m}{2}$.
\item Dans cette question, $M$ est un point du cercle $\Gamma$.
	\begin{enumerate}
		\item Le point $M(z)$ est sur le cercle de centre $\Omega(\omega)$ et de rayon $r$ si et seulement s'il existe un réel $\theta$ tel que $z=\omega+r e^{i\theta}$ (\emph{Représentation paramétrique d'un cercle}). Ici, $M$ est sur le cercle de centre $O$ et de rayon $\sqrt{10}$ donc il existe un réel $\theta$ tel que : $m = \sqrt{10} \text{e}^{i\theta}$.
		\item $|q - 2 - i|=\left|\dfrac{(1- i)m}{2}\right|=\dfrac{12|1- i|}{|m|}= \dfrac{1}{2}\sqrt2\sqrt{10}=\sqrt5$. Si $D$ est le point d'affixe $d=2+i$, alors $DQ=\sqrt 5$ donc $Q$ est sur le cercle de centre $D$ et de rayon $\sqrt 5$.\\ 
		Plus précisément, $q-d=\dfrac{(1-i)m}{2}=\dfrac{1}{2} \sqrt{2}e^{-i \frac{\pi}{4}}\sqrt{10} e^{i\theta}=\sqrt 5 e^{i(\theta-\frac{\pi}{4})}$. Quand $M$ décrit le cercle $\Gamma$, $\theta$ décrit $\R$, $\theta-\frac{\pi}{4}$ décrit $\R$ et le point $Q$ décrit \textbf{tout le cercle} de centre $D$ et de rayon $\sqrt 5$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}




		
 
	

\end{document}