  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 2 : Suites et récurrences }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}
\usepackage{pifont}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 3}
\rhead{Continuité-Dérivabilité}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction  du devoir surveillé 4}

\Exoi{\textbf{R.O.C} \hfill (4 points)\\
\textsc{Pr\'e-requis}\\
Les solutions de l'\'equation diff\'erentielle $y'=-\lambda y$ sont 
les fonctions $x\mapsto C\mathrm{e}^{-\lambda x}$ o\`u $C$ est une 
constante r\'eelle.
Le but de cette question est de d\'emontrer l'existence et l'unicit\'e de la solution $z$ de 
l'\'equation diff\'erentielle (E'$_{\lambda}$)~:\\
\noindent $z'=-(\lambda z+ 1)$ telle que $z(0) = 1$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=-\dfrac{1}{\lambda}$$
est solution de $z'=-(\lambda z+1)$.
\item Montrer que $z$ est solution de $z'=-(\lambda z+1)$ est équivalent à $z-f$ est solution de l'équation différentielle $y'=-\lambda y$.
\item En déduire l'ensemble des solutions $z$ de l'équation différentielle $z'=-(\lambda z+1)$.
\item En déduire l'existence et l'unicité de la solution de (E'$_{\lambda}$) dont on donnera l'expression $z_0$
\end{enumerate}
}

\Dem{\begin{enumerate}
\item On pour tout $x\in\R$ 
$$ f'(x)=0\qquad \text{et}\qquad -\left(\lambda \times \dfrac{-1}{\lambda}+1\right)=0$$
Par conséquent $f$ est solution de $z'=-(\lambda z+1)$.
\item On a la série d'équivalence suivante :
\begin{eqnarray*}
& \text{$z$ est solution de $z'=-(\lambda z+1)$} \\
\Longleftrightarrow & z'=-(\lambda z+1) \\
\Longleftrightarrow & z'-f'=-(\lambda z+1)-[-(\lambda f+1)] \qquad \text{en effet on vient de démontrer que} f'=-(\lambda f+1)\\
\Longleftrightarrow & (z-f)'=-\lambda z+\lambda f\\
\Longleftrightarrow &  (z-f)'=-\lambda( z- f)\\
\Longleftrightarrow & \text{$z-f$ est solution de l'équation différentielle $y'=-\lambda y$}\\
\end{eqnarray*}
\item D'après la première question, il existe au moins une solution à l'équation différentielle $z'=-(\lambda z+1)$, de plus on vient de montrer que pour $z$ solution de cette équation différentielle, la fonction $z-f$ est solution de $y'=-\lambda y$, équation dont on connaît les solutions d'où :
$$ (z-f)(x)=C\mathrm{e}^{-\lambda x}$$
où $C$ est une constante.\\
Ainsi pour tout $x\in\R$ on a :
$$ z(x)=C\mathrm{e}^{-\lambda x}-\dfrac{1}{\lambda}$$
Si on ajoute, de plus, la condition $z(0)=1$ alors :
$$ 1=C-\dfrac{1}{\lambda}\Longleftrightarrow C=1+\dfrac{1}{\lambda}$$
Ainsi (E'$_{\lambda}$) admet une unique solution qui est 
$$ z_0(x)=\left(1+\dfrac{1}{\lambda}\right)\mathrm{e}^{-\lambda x}+\dfrac{1}{\lambda}$$
\end{enumerate}}

\pagebreak
\Exoi{
\begin{center}
\textbf{PARTIE A.}
\end{center}
%La temprature de refroidissement d'un objet fabriqu industriellement est une fonction $f$ du temps $t$.\\
%$f$ est dfinie sur l'ensemble des nombres rels positifs et vrifie l'quation diffrentielle:
%$$f'(t)+\dfrac12f(t)=10.$$
%La temprature est exprime en degrs Celsius (C) et le temps $t$ en heures.
\begin{enumerate}
\item $f$ est solution de l'équation différentielle $y'=-\dfrac12y+10$, donc d'après un théorème du cours, il existe une constante $k$ telle que, pour tout $t\geqslant 0$: 
\[f(t)= k\text{e}^{-\frac12t}-\dfrac{10}{-\frac12}=k\text{e}^{-\frac12t}+20.\]
La condition $f(0)=220$ entraîne alors que $k+20=220$, c'est-à-dire $k=200$. Finalement:
\[f(t)=200\text{e}^{-\frac{t}{2}}+20.\]
%Dterminer $f(t)$ pour $t\geqslant 0$, sachant que pour $t=0$, la temprature de l'objet est 220C.
\item 
%On pourra admettre dsormais que la fonction $f$ est dfinie sur $\R^+$ par $$f(t)=200e^{-\frac{t}{2}}+20.$$
%On note $\mathscr{C}$ sa reprsentation graphique dans le plan muni d'un repre orthogonal; les  units graphiques sont 2~cm pour un heure en abscisse et 1~cm pour vingt degrs Celsius en ordonne.
\begin{enumerate}
\item $f$ est dérivable sur $\R^+$ en tant que combinaison simple de fonctions qui le sont, et, pour tout $t\geqslant 0$:
\[
f'(t) = -100\text{e}^{-\frac{t}{2}}<0;
\]
la fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $\R^+$.
%tudier les variations de la fonction $f$ sur $\R^+$.
\item $\displaystyle\lim_{t\to+\infty}-\dfrac{t}{2}=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{X\to -\infty}\text{e}^X = 0$, donc par composition $\displaystyle\lim_{t\to +\infty}\text{e}^{-\frac{t}{2}}=0$. On en déduit par opérations que $\displaystyle\lim_{t\to+\infty}f(t)=20$; ce qui signifie que la droite $\mathscr{D}$ d'équation $y=20$ est asymptote horizontale à la courbe $\mathscr{C}$ au voisinage de $+\infty$.
%tudier la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.\\
%En dduire l'existence d'une asymptote $\mathscr{D}$  la courbe $\mathscr{C}$ en $+\infty$.
\item  Voir figure.
\begin{figure}[ht]
\label{fig1}
\newrgbcolor{qqzzqq}{0 0.6 0}
\newrgbcolor{ccqqcc}{0.8 0 0.8}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(7,12)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1,-1)(7,12)
\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.0375cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
{\small
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=20,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-20)(7,240)
}
\psplot[linecolor=qqzzqq]{-1}{7}{(--20-0*x)/1}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=200]{0.0}{7.0}{200*2.718281828^(-(x)/2)+20}
\psplot[linecolor=ccqqcc]{-1}{7}{(--50-0*x)/1}
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,linecolor=ccqqcc](3.79,50)(3.79,0)
\rput[bl](-0.98,23.9){\qqzzqq{$\mathscr{D}$}}
\rput[bl](0.21,213.67){\blue{$\mathscr{C}$}}
\rput[bl](-0.98,54.03){\ccqqcc{$y=50$}}
\psdots[linecolor= ccqqcc](3.79,50)
\psdots[linecolor=ccqqcc](3.79,0)
\rput[bl](3.71,-8.48){\ccqqcc{$\simeq\nombre{3,8}$}}
\uput[90](6.2,0){$t$ (en heures)}
\uput[0](0,230){$f(t)$ en C}
\end{pspicture*}
\end{figure}
%Construire $\mathscr{D}$ et $\mathscr{C}$ sur l'intervalle $[0;7]$.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Graphiquement, $f(t)=50$ pour $t=\nombre{3,8}$, soit 3 heures et 48 minutes environ.
%Utiliser le graphique pour dterminer une valeur approche, en heures et minutes, du moment o la temprature de l'objet est 50C. On laissera apparents les traits de construction.
\item Résolvons:
\begin{eqnarray*}
f(t)=50 & \Longleftrightarrow & 200e^{-\frac{t}{2}}+20=50\\
&\Longleftrightarrow& 200e^{-\frac{t}{2}}=30\\
&\Longleftrightarrow&\text{e}^{-\frac{t}{2}}=\dfrac{3}{20}\\
&\Longleftrightarrow&-\dfrac{t}{2}=\ln\left(\dfrac{3}{20}\right)\\
&\Longleftrightarrow& t=-2\ln\left(\dfrac{3}{20}\right)\simeq\nombre{3,79}\text{  \nombre{0,01} prs}
\end{eqnarray*}
On retrouve bien le résultat précédent.
%Retrouver ce rsultat par le calcul.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}
\textbf{PARTIE B.}
\end{center}
%On considre la suite de terme gnral $d_{n}=f(n)-f(n+1)$ o $n\in\mathbb{N}$. $d_{n}$ reprsente l'abaissement de temprature de l'objet entre l'heure $n$ et l'heure $n+1$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item A l'aide de la calculatrice, au dixième près:
$d_{0}\simeq 78,7$, 
$d_{1}\simeq 47,7$, 
$d_{2}\simeq 28,9$. 
%Calculer des valeurs approches au dixime de $d_{0}$, $d_{1}$ et $d_{2}$.
\item $d_n= 200 e^{-\frac{n}{2} }+20-200e^{-\frac{n+1}{2}}-20=200 \left(e^{-\frac{n}{2} }-e^{-\frac{n+1}{2}}\right)$
\\
Or, $$ \displaystyle\lim_{n\to +\infty}\text{e}^{-\frac{n}{2}}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\text{e}^{-\frac{n+1}{2}}=0$$
Ainsi on obtient :
$$ \displaystyle\lim_{n\to +\infty}d_n=0$$
%Quelle est la limite de $d_{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty$~?
\end{enumerate}
\item On détermine à  partir de quel entier naturel $n$ on a $d_{n}\leqslant 5$.
\begin{eqnarray*}
d_{n}\leqslant 5 &\Longleftrightarrow & 200\text{e}^{-\frac{n}{2}}-200\text{e}^{-\frac{n+1}{2}}\leqslant 5 \\
&\Longleftrightarrow & 200\text{e}^{-\frac{n}{2}}\left(1 - \text{e}^{-\frac12}\right)\leqslant 5\\
&\Longleftrightarrow & 40\left(1- \text{e}^{-\frac12}\right)\leqslant \text{e}^{\frac{n}{2}}\\
&\Longleftrightarrow & \ln\left[40\left(1-\text{e}^{-\frac12}\right)\right]\leqslant\dfrac{n}{2}\\
&\Longleftrightarrow & 2 \ln\left[40\left(1-\text{e}^{-\frac12}\right)\right]\leqslant n
\end{eqnarray*}
et comme $2 \ln\left[40\left(1-\text{e}^{-\frac12}\right)\right]\simeq 5,5$ (au dixième près), la plus petite valeur de l'entier $n$ à partir de laquelle l'abaissement de la température est inférieur  5~C est donc $n=6$.\\
\emph{Remarque:}
on pouvait aussi démontrer que la suite $(d_{n})$ est décroissante, puis calculer $d_{5}$ et $d_{6}$ et conclure.
%Dterminer la plus petite valeur de l'entier $n$  partir de laquelle l'abaissement de temprature est infrieur  5C.
\end{enumerate}}

\end{document}