  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macro_dwicky_final.tex
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\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les nombres \linebreak[2] Complexes 1/2}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
\usepackage{picins,fancyvrb,amsmath,amssymb,amsbsy,amsfonts,amstext,amscd,amsopn,amsxtra}

\usepackage[xcas]{pro-statdiv,pro-2varstat,pro-1varstat,pro-courbes}
\usepackage[upright]{fourier}
      \let\danger\undefined
	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{25}%

	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{16}%
	


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\usepackage[french]{varioref}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}



\pagestyle{styleDav}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 5}
\rhead{Continuité-TVI-Dérivabilité}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction DS 3 : Continuité-TVI-Dérivabilité}


%\vspace*{1cm}


\Exoi{On se propose de déterminer le nombre de racine(s) du polynôme $P$ définie sur $\R$ par  :
$$ P(x)=4x^4-3x^3+2x^2-x+1$$
\begin{enumerate}
\item %Déterminer $P'$ puis $P''$.
$P$ est une fonction polynôme, $P$ est donc dérivable sur $\R$. On a, 
$$\forall x\in\R \qquad  P'(x)=16x^3-9x^2+4x-1$$
et $P'$ est aussi une fonction polynôme donc $P'$ est dérivable sur $\R$ et : 
$$ \forall x\in\R \qquad P''(x)=48x^2-18x+4$$
\item %Dresser le tableau de signe de $P''$, puis en déduire le tableau de variation de $P'$.
On cherche les racines du polynôme de degré $2$ $P''$.\\
$\Delta=b^2-4ac=18^2-4\times 48\times 4=-444<0$ donc $P''$ n'a pas de racine est un signe constant sur $\R$
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.8]{$x$/1, $P''(x)$/1, $P'(x)$/2}{$-\infty$,$+\infty$}
%\tkzTabLine{,-,z,+,t,+}
%\tkzTabLine{,-,t,-,z,+}
\tkzTabLine{,+,}
%\tkzTabLine{,\text{Signe de }a,z,\text{Opposé de }a,z,\text{Signe de }a}
\tkzTabVar{-/ $-\infty$ , +/ $ +\infty$ } 
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item %Déterminer les limites de $P'$ en $+\infty$ et en $-\infty$, en déduire que l'équation $P'(x)=0$ admet exactement une solution $\alpha_1$ dans $\R$ dont on donnera une valeur approchée à $10^{-1}$ près.
$$ \lim\limits_{x\to -\infty} P'(x)=\lim\limits_{x\to -\infty} 16x^3=-\infty\qquad \text{et} \qquad \lim\limits_{x\to +\infty} P'(x)=\lim\limits_{x\to +\infty} 16x^3=+\infty$$
$P'$ est un polynôme donc $P$ est continue sur $\R$, de plus d'après la question précédente $P'$ est strictement croissante sur $\R$ en prenant des valeurs de \og $-\infty$ à $+\infty$ \fg. D'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation $P'(x)=0$ admet une unique solution dans $\R$, notons la $\alpha_1$, et on a d'après la calculatrice :
$$ \alpha_1\simeq 0,4$$
\item %En déduire le tableau de signe de $P'$ puis le tableau de variation de $P$.
D'après les deux questions précédentes on peut dresser le tableau de signe de $P'$ et par conséquent le tableau de variation de $P$ :
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.8]{$x$/1, $P'(x)$/1, $P(x)$/2}{$-\infty$, $\alpha_1$,$+\infty$}
%\tkzTabLine{,-,z,+,t,+}
%\tkzTabLine{,-,t,-,z,+}
\tkzTabLine{,-,z,+,}
%\tkzTabLine{,\text{Signe de }a,z,\text{Opposé de }a,z,\text{Signe de }a}
\tkzTabVar{+/ $+\infty$ , -/ $ P(\alpha_1)$, +/$+\infty$ } 
\end{tikzpicture}
\end{center}
On a $P(\alpha_1)\simeq P(0,4)\simeq 0,8$
\item %Calculer les limites de $P$ en $+\infty$ et en $-\infty$, en déduire que $P'(x)>0, \qquad \forall x\in\R$.
$$ \lim\limits_{x\to -\infty} P'(x)=\lim\limits_{x\to -\infty} 4x^4=+\infty\qquad \text{et} \qquad \lim\limits_{x\to +\infty} P'(x)=\lim\limits_{x\to +\infty} 4x^4=+\infty$$
D'après le tableau de variation de $P$, on obtient :
$$ \forall x\in \R\qquad P(x)\geq P(\alpha_1)\simeq 0,8>0$$
\item %Conclure.
Comme $P(x)>0$ pour tout $x\in\R$, l'équation $P(x)=0$ n'a pas de solution dans $\R$.
\item On considère le polynôme $Q$ définie sur $\R$ par :
$$ Q(x)=\dfrac{4}{5}x^5-\dfrac{3}{4}x^4+\dfrac{2}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2+x-1$$
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que $Q'(x)=P(x)$.
$Q$ est un polynôme donc $Q$ est dérivable et :
$$ \forall x\in\R\qquad Q'(x)=5\times \dfrac{4}{5}x^4-4\times \dfrac{3}{4}x^3+3\times \dfrac{2}{3}x^2-2\times \dfrac{1}{2}x+1=4x^4-3x^3+2x^2-x+1=P(x)$$
\item %En déduire que l'équation $Q(x)=0$ admet exactement une solution dans $\R$ dont on donnera une valeur approchée à $10^{-1}$ près.
On sait que $P(x)>0$ $\forall x\in \R$, donc $Q'(x)>0$ $\forall x\in \R$, d'où :
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.8]{$x$/1, $Q'(x)$/1, $Q(x)$/2}{$-\infty$,$+\infty$}
%\tkzTabLine{,-,z,+,t,+}
%\tkzTabLine{,-,t,-,z,+}
\tkzTabLine{,+,}
%\tkzTabLine{,\text{Signe de }a,z,\text{Opposé de }a,z,\text{Signe de }a}
\tkzTabVar{-/ $-\infty$ ,  +/$+\infty$ } 
\end{tikzpicture}
\end{center}
$$ \lim\limits_{x\to -\infty} Q(x)=\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{4}{5}x^5=-\infty\qquad \text{et} \qquad \lim\limits_{x\to +\infty} P'(x)=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{4}{5}x^5=+\infty$$
$Q$ est une fonction polynôme donc $Q$ est continue sur $\R$, de plus $Q$ est strictement croissante sur $\R$ en prenant des valeurs de \og $-\infty$ à $+\infty$ \fg, par conséquent d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $Q(x)=0$ admet une unique racine, que l'on note $\alpha_2$. A l'aide de la calculatrice on obtient :
$$ \alpha_2\simeq 0,9$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{\hfill (3 points)
\\
On considère une fonction $f$ définie sur $\R$ par  :
$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l}  2x-1 \qquad \qquad \text{si } x < 1\\ 3x^2-a \qquad \qquad \text{si } x\geq 1\end{array} \right.$$
\begin{enumerate}
\item %Tracer la courbe représentative $\mathscr C_f$ de la fonction $f$ avec $a=0$. $f$ est-elle continue sur $\R$ si $a=0$ ?
\qquad \begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-11.3,-12.29)(6.39,11.2)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=5,Dy=5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-11.3,-12.29)(6.39,11.2)
\psplot[plotpoints=200]{-10.0}{1.0}{2*x-1}
\psplot[plotpoints=200]{1.0}{6.385000000000001}{3*x^2}
\end{pspicture*}
\end{center}
On observe une discontinuité de la fonction $f$ en $1$, qui se justifie car les limites à gauche et à droite en $1$ ne sont pas identiques, ainsi :
$$ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x)= \lim\limits_{x\to 1^-} 2x-1=1\qquad \text{et}\qquad  \lim\limits_{x\to 1^+} f(x)= \lim\limits_{x\to 1^+} 3x^2=3  $$
\item %Justifier que la fonction $f$ est continue sur $\R\textbackslash \{1\}$.
En tant que fonction polynôme sur l'intervalle ouvert $]-\infty;1[$ la fonction $f$ y est continue, il en va de même sur l'intervalle ouvert $]1;+\infty[$.
\item %Déterminer $a$ pour que $f$ soit continue en $1$.
Pour que $f$ soit continue en $1$ il faut que les limites à gauche et à droite de $1$ soient égales :
$$ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x)=\lim\limits_{x\to 1^+} f(x)\Longleftrightarrow 2-1=3-a\Longleftrightarrow 1-3=-a\Longleftrightarrow 2=a$$
Ainsi, $f$ est continue en $1$ si et seulement si $a=2$.
\end{enumerate}
}


\Exoi{\hfill (6 points)\\
On considère la fonction $f$ définie pour $x\neq -1$ par :
$$ f(x)=\dfrac{-x^2+2x+5}{x+1}$$
On désigne par $\mathscr C_f$ la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère $(O;\vec i, \vec j)$ %(avec $1cm=5$).
\begin{enumerate}
\item %Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
$$ \lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{-x^2}{x}=\lim\limits_{x\to +\infty} -x=-\infty$$
De même :
$$ \lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{-x^2}{x}=\lim\limits_{x\to -\infty} -x=+\infty$$
\item %Calculer $f'(x)$. En déduire le tableau de variation de la fonction $f$.
Pour tout $x\neq 1$ on a :
$$ f'(x)=\dfrac{(-2x+2)(x+1)-(-x^2+2x+5)}{(x+1)^2}=\dfrac{-2x^2-2x+2x+2+x^2-2x-5}{(x+1)^2}=\dfrac{-x^2-2x-3}{(x+1)^2}$$
Comme $(x+1)^2>0$ pour $x\neq 1$, $f'(x)$ est du signe de $-x^2-2x-3$.\\
$\Delta=b^2-4ac=4-12=-8<0$, par conséquent $-x^2-2x-3<0$ pour tout $x\in\R$. D'où :
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{4.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$1$};
\node at (4*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$f'(x)$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$$};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (4*\Lrg,-1*\HtX) {$$};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$f(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$+\infty$};
\node[left] (f2) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-\infty$};
\node[right] (f3) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$+\infty$};
\node (f4) at (4*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-\infty$};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f3) -- (f4);
% Doubles Barres
\def\b#1{\draw[double distance=2pt] (#1,\lignex-0.1*\HtX) -- (#1,\lignef+0.1*\HtX);}
\def\bb#1{\draw[double distance=2pt] (#1,\lignef-0.1*\HtX) -- (#1,\bas+0.1*\HtX);}
\b{2*\Lrg}
\bb{2*\Lrg}
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\draw[cadre] (\gauche,\lignef) -- (\droite,\lignef);
\end{tikzpicture}
\end{center}
%:-+-+-+-+- Fin
%:>>>>> code du tableau à ré-injecter
%[
%	["x", "f'(x)", "f(x)"],
%	["-\\infty", "", "-", "+\\infty"],
%	["1", ":", "-", "-\\infty:+\\infty"],
%	["+\\infty", "", "?", "-\\infty"]
%]
\item \begin{enumerate}
\item %Montrer qu'il existe $3$ réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour $x\neq -1$ :
$$ ax+b+\dfrac{c}{x+1}=\dfrac{(ax+b)(x+1)+c}{x+1}=\dfrac{ax^2+ax+bx+b+c}{x+1}=\dfrac{ax^2+(a+b)x+b+c}{x+1}$$
En identifiant on obtient : $a=-1$ et donc $-1+b=2\Longleftrightarrow b=3$ et enfin $3+c=5\Longleftrightarrow c=2$, et donc au final pour $x\neq -1$ on a :
$$ f(x)=-x+3+\dfrac{2}{x+1}$$
\item %En déduire l'existence d'une asymptote oblique $T$ dont on donnera l'équation.
On a pour $x\neq-1$ :
$$ f(x)-(-x+3)=\dfrac{2}{x+1}$$
et $$ \lim\limits_{x\to \pm \infty}\dfrac{2}{x+1}= \lim\limits_{x\to \pm \infty} \dfrac{2}{x}=0$$
Ainsi, la droite $T : y=-x+3$ est une asymptote oblique à $\mathscr C_f$ en $\pm\infty$.
\item %Etudier la position de $T$ et $\mathscr C_f$.
Etudier la postion de $T$ et de $\mathscr C_f$ revient à étudier le signe de $f(x)-(-x+3)=\dfrac{2}{x+1}$ qui est du signe de $x+1$.\\
Ainsi si $x>-1$ alors $x+1>0\Longleftrightarrow f(x)-(-x+3)>0\Longleftrightarrow f(x)>-x+3$ et dans ce cas $\mathscr C_f$ est au dessus de $T$.\\
En revanche si $x<-1$ alors $x+1<0$ et donc $f(x)<-x+3$ et dans ce cas $\mathscr C_f$ est au dessous de $T$. 
% En déduire l'existence d'une asymptote à la représentation graphique de $f$ que l'on notera $\mathscr C_f$.
%\item Etudier les variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\item %Déterminer la limite de $f$ en $-1^+$ et en $-1^-$.
%\item Déterminer les sol
On a :
$$ \lim\limits_{x\to -1^+} -x+3=4\qquad \text{et} \qquad  \lim\limits_{x\to -1^+} x+1=0^+\Longrightarrow \lim\limits_{x\to -1^+} \dfrac{2}{x+1}=+\infty$$ 
Et par conséquent :
$$ \lim\limits_{x\to -1^+} f(x)=+\infty$$
De même :
$$ \lim\limits_{x\to -1^-} -x+3=4\qquad \text{et} \qquad  \lim\limits_{x\to -1^-} x+1=0^-\Longrightarrow \lim\limits_{x\to -1^-} \dfrac{2}{x+1}=-\infty$$ 
Et par conséquent :
$$ \lim\limits_{x\to -1^-} f(x)=-\infty$$
\item %Démontrer que l'équation de la tangente $\Delta$ à $\mathscr C_f$ au point d'abscisse $0$ est $y=-3x+5$.
%\item Tracer soigneusement $\Delta$, $\mathscr C_f$ et $T$.
On sait que l'équation de la tangente à $\mathscr C_f$ en $0$ est de la forme :
$$ y=f'(0)(x-0)+f(0)$$
Or, $f'(0)=\dfrac{-3}{1}=-3$ et $f(0)=\dfrac{5}{1}$ et donc la tangente à $\mathscr C_f$ a pour équation :
$$ y=-3x+5$$
\end{enumerate}}


 
 \Exoi{\hfill (5 points)\\
%\begin{enumerate}
 On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=\sin x -\dfrac{x}{2}$$
On souhaite résoudre l'équation $(E)$ : $\sin x -  \dfrac{x}{2} = 0,~x \in \R$.
\begin{enumerate}
\item Où l'on montre que les solutions de $(E)$ sont dans l'intervalle $[-2;2]$.
\begin{enumerate}
\item %Montrer que si $x>2$ alors $-\dfrac{x}{2}<-1$. En déduire que $f(x)\neq 0$ lorsque $x>2$.
On sait que pour tout $x\in\R$ :
$$  \sin x\leq 1$$
On a :
$$ x>2\Longleftrightarrow \dfrac{x}{2}>1\Longleftrightarrow -\dfrac{x}{2}<-1\Longleftrightarrow \sin x-\dfrac{x}{2}<\sin x-1\Longleftrightarrow f(x)<0$$
Etant donné que pour $x>2$ on a $f(x)<0$, il est impossible que $f(x)=0$.
\item %Montrer que si $x<-2$ alors $-\dfrac{x}{2}>1$ et en déduire de nouveau que $f(x) \neq 0$ pour $x<-2$.
On sait que pour tout $x\in\R$ :
$$ -1\leq \sin x $$
$$ x<-2\Longleftrightarrow \dfrac{x}{2}<-1\Longleftrightarrow -\dfrac{x}{2}>1\Longleftrightarrow \sin x-\dfrac{x}{2}>\sin x+1\Longleftrightarrow f(x)>0$$
Etant donné que pour $x<-2$ on a $f(x)>0$, il est donc impossible que $f(x)=0$.
\item %En déduire que toutes les solutions de l'équation $(E)$ se trouvent dans l'intervalle $[-2;2]$.
D'après les deux questions précédentes pour $x\notin[-2;2]$, $f(x)\neq 0$, par conséquent toutes les solutions de $(E)$ sont dans l'intervalle $[-2;2]$.
\end{enumerate}
\item Où l'on étudie la fonction $f$.
\begin{enumerate}
\item %Résoudre, à l'aide d'un cercle trigonométrique, l'équation $\cos x=\dfrac{1}{2}$ pour $x\in [-\pi;\pi]$.
Pour $x\in  [-\pi;\pi]$
$$\cos x=\dfrac{1}{2} \Longleftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{3}\qquad \text{ou}\qquad x=\dfrac{\pi}{3}$$
\item %Déterminer $f'(x)$ pour $x\in\[-\pi;\pi]$.
Pour $x\in  [-\pi;\pi]$ on a :
$$ f'(x)=\cos x-\dfrac{1}{2}$$
\item %En déduire le tableau de variations de $f$ pour $x\in [-\pi;\pi]$.
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.975]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{6.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\pi$};
\node at (2*\Lrg,0) {$-\dfrac{\pi}{3}$};
\node at (4*\Lrg,0) {$\dfrac{\pi}{3}$};
\node at (6*\Lrg,0) {$\pi$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$f'(x)$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$$};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (4*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (5*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (6*\Lrg,-1*\HtX) {$$};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$f(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$\dfrac{\pi}{2}$};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\pi}{6}$};
\node (f3) at (4*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\pi}{6}$};
\node (f4) at (6*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-\dfrac{\pi}{2}$};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
\draw[fleche] (f3) -- (f4);
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\draw[cadre] (\gauche,\lignef) -- (\droite,\lignef);
\end{tikzpicture}
\end{center}
%:-+-+-+-+- Fin
%:>>>>> code du tableau à ré-injecter
%[
%	["x", "f'(x)", "f(x)"],
%	["-\\pi", "", "-", "\\dfrac{\\pi}{2}"],
%	["-\\dfrac{\\pi}{3}", "0", "+", "-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}+\\dfrac{\\pi}{6}"],
%	["\\dfrac{\\pi}{3}", "0", "-", "\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}-\\dfrac{\\pi}{6}"],
%	["\\pi", "", "?", "-\\dfrac{\\pi}{2}"]
%]
\end{enumerate}
\item Où l'on conclut.
\begin{enumerate}
\item %Donner, en le justifiant, le nombre de solutions de l'équation $(E)$.
La fonction $f$ est continue sur $[-\pi;\pi]$, de plus elle est strictement décroissante sur $\left[-\pi;-\dfrac{\pi}{3}\right]$ en prenant des valeurs de $ -\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\pi}{6}<0$ à $+\dfrac{\pi}{2}>0$, par conséquent d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation $f(x)=0$ admet une solution dans l'intervalle $\left[-\pi;-\dfrac{\pi}{3}\right]$.\\
La fonction $f$ est continue sur $[-\pi;\pi]$, de plus elle est strictement croissante sur $\left[-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{3}\right]$ en prenant des valeurs de $ -\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\pi}{6}<0$ à $ \dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\pi}{6}>0$, par conséquent d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation $f(x)=0$ admet une autre solution dans l'intervalle $\left[-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{3}\right]$.\\
La fonction $f$ est continue sur $[-\pi;\pi]$, de plus elle est strictement décroissante sur $\left[\dfrac{\pi}{3};\pi\right]$ en prenant des valeurs de $ -\dfrac{\pi}{2}<0$ à $ \dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\pi}{6}>0$, par conséquent d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation $f(x)=0$ admet une autre solution dans l'intervalle $\left[-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{3}\right]$.\\
Au final l'équation $f(x)=0$ admet exactement trois solutions dans l'intervalle $[-\pi;\pi]$.\\
D'après la question $1.$ l'équation $(E)$ n'admet aucune solution en dehors de l'intervalle $[-2;2]$ donc en particulier en dehors de l'intervalle $[-\pi;\pi]$. \\
Ainsi $(E)$ admet exactement trois solutions dans $\R$ (dont une est trivialement $x=0$).
\item %Donner une valeur approchée, à $10^{-3}$ près par défaut, de la plus grande solution.
A l'aide de la calculatrice on trouve que la plus grande solution $\alpha$ est  :
$$\alpha\simeq 1,89 $$
\end{enumerate}
\end{enumerate} 
%\end{enumerate}
 }
 
 \Exoi{\hfill (Bonus)\\
  Etudier les variations de la fonction $g$ définie sur $\R$ 
par $g(x) =  \cos x + x$.
\\
En déduire que l'équation $\cos x + x =  0$ a une unique solution. En donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près.
\\
$$ g'(x)=-\sin x+1$$
Comme $-1\leq \sin x\leq 1\Longleftrightarrow -1\leq -\sin x\leq 1\Longleftrightarrow 0\leq g'(x)\leq 2$.\\Par conséquent la fonction $g$ est croissante sur $\R$.\\
De plus :
$$ -1\leq \cos x\leq 1\Longleftrightarrow -1+x\leq \cos x+x\leq 1+x$$
Ainsi comme $\lim\limits_{x\to -\infty} 1+x=-\infty$, on a par comparaison : $$ \lim\limits_{x\to -\infty}g(x)=-\infty$$
De même comme $\lim\limits_{x\to +\infty} -1+x=+\infty$, on a par comparaison : $$ \lim\limits_{x\to +\infty}g(x)=+\infty$$
D'où le tableau de variation complet de $g$ :
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.8]{$x$/1,  $g(x)$/2}{$-\infty$, $+\infty$}
%\tkzTabLine{,-,z,+,t,+}
%\tkzTabLine{,-,t,-,z,+}
%\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}
%\tkzTabLine{,\text{Signe de }a,z,\text{Opposé de }a,z,\text{Signe de }a}
\tkzTabVar{-/ $-\infty$ , +/$ +\infty$ } 
\end{tikzpicture}
\end{center}
$g$ est continue sur $\R$, monotone (strictement), en prenant toutes les valeurs possibles, le théorème des valeurs intermédiaires permet donc de conclure que $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\R$ et notre calculatrice permet d'en donner une valeur approchée :
$$ \alpha\simeq -0,74$$
}



\end{document}
