  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Chapitre 2 : Suites et récurrences }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}
\usepackage{pifont}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
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\lhead{Chapitre 2}
\rhead{Récurrences et suites}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction  du devoir surveillé 2}
\begin{center}
\textit{\textbf{On traitera les questions hors barème que dans le cas où l'ensemble du sujet est déjà traité.}}
\end{center}
%\Exoi{\textit{\textbf{R.O.C, Polynésie-juin 2005}}\hfill (3 points)\\
%\textsl{Pr\'erequis : d\'efinition d'une suite tendant vers} $+ \infty$. 
%\og \textsl{Une suite tend vers} $+ \infty$ \textsl{si, pour tout r\'eel $A$, tous les termes de la suite sont,  \`a partir d'un certain rang, sup\'erieurs  \`a $A$} \fg{}. \\
%D\'emontrer le th\'eorme suivant : \textsl{ une suite croissante non major\'ee tend vers}  $+\infty$.
%}

\Exoi{\textit{\textbf{R.O.C, France-juin 2005}}\hfill (3 points)\\
On considère deux suites  adjacentes $(u_n)$ et $(v_n)$ avec $(u_n)$ croissante et $(v_n)$ décroissante.\\
On suppose connus les r\'esultats suivants : 
\begin{dinglist}{227}
\item deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont adjacentes lorsque : l'une est croissante, l'autre est d\'ecroissante et $u_{n} - v_{n}$ tend vers 0 quand $n$ tend vers $+ \infty$ ;
\item si $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont deux suites adjacentes telles que $\left(u_{n}\right)$ est croissante et $\left(v_{n}\right)$ est d\'ecroissante, alors pour tout $n$ appartenant  \`a $\N$, on a $u_{n} \leqslant  v_{n}$ ;
\item toute suite croissante et major\'ee est convergente ; toute suite d\'ecroissante et minor\'ee est convergente.
\end{dinglist}
On veut montrer la proposition suivante :
\begin{center} \og Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la m\^eme limite \fg{}.\end{center}
\begin{enumerate}
\item La suite $(u_n)$ est croissante par conséquent  :
$$ \forall n\in\N, u_n\geq u_0 $$
La suite $(v_n)$ est décroissante par conséquent :
$$ \forall n\in\N, v_n\leq v_0$$
De plus on sait que $$ u_n\leq v_n, \forall n\in\N$$
Par conséquent, pour tout $n\in\N$, on a : $\qquad \qquad \qquad  u_0\leq u_n\leq v_n\leq v_0$
\item Comme $(u_n)$ est croissante et majorée par $v_0$, $(u_n)$ est une suite converge. On note $\ell$ sa limite.
\item Comme $(v_n)$ est décroissante et minorée par $u_0$, alors $(v_n)$ converge. On note $\ell'$ sa limite.
\item Comme $u_{n} - v_{n}$ tend vers 0 quand $n$ tend vers $+ \infty$  alors $\ell-\ell'=0\Longleftrightarrow \ell=\ell'$.
\end{enumerate}
}

%\Exoi{\textit{Polynésie-2010}\hfill (3 points)\\
%\emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.}
%\begin{enumerate}
%\item On considère la suite $\left(t_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : 
%\[t_{0} = 0~\text{et pour tout entier naturel}~n,~t_{n+1} = t_{n} +  \dfrac{1}{(n + 1)(n + 2)}.\]
%\textbf{Proposition 1} : Pour tout entier naturel $n,~t_{n} = \dfrac{n}{n+1}$. 
%\item  On considère trois suites $\left(u_{n}\right),~\left(v_{n}\right)$ et $\left(w_{n}\right)$ définies sur $\N$ telles que :
%\[\text{pour tout entier naturel}~n,~ u_{n} \leqslant w_{n} \leqslant v_{n}.\]
%\textbf{Proposition 2} : Si les suites $\left(u_{n}\right)$et $\left(v_{n}\right)$ sont adjacentes alors la suite $\left(w_{n}\right)$ est convergente.
%\item  
%\textbf{Proposition 3} : 
%\end{enumerate} }

\Exoi{\textit{\textbf{Antilles 2010}}\hfill (7 points)\\
On considère la suite de nombres réels $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\N$ par : 
\[u_{0} = - 1,~ u_{1} = \dfrac{1}{2}~ \text{et, pour tout entier naturel} ~n,~ u_{n+2} = u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_{n}.\]
\begin{enumerate}
\item $u_{2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$.\\
De plus $u_2-u_1=\dfrac{1}{4}\neq \dfrac{3}{2} =u_1-u_0$, par conséquent la suite $(u_n)$ est arithmétique.\\
Enfin $ \dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{3}{2}\neq \dfrac{u_1}{u_0}=-\dfrac{1}{2} $, par conséquent la suite $(u_n)$ n'est pas non plus géométrique.  
\item On définit la suite $\left(v_{n}\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ : $\qquad \qquad v_{n} = u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n}.$
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $v_{0}=u_1-\dfrac{1}{2}u_0=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1$. 
		\item \begin{eqnarray*}
v_{n+1} =& u_{n+2} - \dfrac{1}{2}u_{n+1}\\
=& u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_{n}-\dfrac{1}{2}u_{n+1}\\
=& \dfrac{1}{2}u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_n\\
=&\dfrac{1}{2}(u_{n+1}-\dfrac{1}{2}u_n)\\
=& \dfrac{1}{2}v_n
\end{eqnarray*}
		\item Comme  $v_{n+1} =\dfrac{1}{2}v_n$ la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$. 
		\item Par conséquent  $v_{n}=\dfrac{1}{2^n}$ 
	\end{enumerate} 
\item On définit la suite $\left(w_{n}\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ : 
\[w_{n}   = \dfrac{u_{n}}{v_{n}}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $w_{0}=\dfrac{u_0}{v_0}=\dfrac{-1}{1}=-1$. 
		\item En utilisant l'égalité $u_{n+1} = v_{n} + \dfrac{1}{2}u_{n}$ et le résultat de la question $2. (b)$, on a :
		 $$w_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}}{v_{n+1}}=\dfrac{v_{n} + \dfrac{1}{2}u_{n}}{\dfrac{1}{2}v_n  }=2+\dfrac{u_n}{v_n}$$ 
		\item Comme $w_{n+1}=2+w_n$, $(w_n)$ est une suite arithmétique de raison $2$.
		\item Par conséquent $w_{n}=w_0+nr=-1+2n$.
	\end{enumerate} 
\item Pour tout entier naturel $n$
\[u_{n} = v_n\times w_n=\dfrac{1}{2^n}\times (2n-1)=\dfrac{2n-1}{2^n}\]  
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose : $S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=n} u_{k} = u_{0} + u_{1} + \cdots	+ u_{n}$. 
Notons $\mathscr P(n)$ la propriété :
\[S_{n} = 2 - \dfrac{2n + 3}{2^n}.\]
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation} : $S_0=u_0=-1$ et $2-\dfrac{2\times 0+3}{2^0}=-1$ donc la propriété $\mathscr P$ est vraie pour $n=0$, par conséquent elle est initialisée.
\item \textit{Hérédité} Supposons que $\mathscr P$ soit vraie pour un certain $n$, montrons que $\mathscr P$ est vraie au rang $n+1$. On veut donc montrer que :
$$ S_{n+1} = 2 - \dfrac{2(n+1) + 3}{2^{n+1}}$$
On a :
$$ S_{n+1} =S_n+u_{n+1}= 2 - \dfrac{2n + 3}{2^n}+\dfrac{2(n+1)-1}{2^{n+1}}=2-\dfrac{4n+6}{2^{n+1}}+\dfrac{2n+1}{2^{n+1}}=2+\dfrac{2n+1-4n-6}{2^{n+1}}=2-\dfrac{4n+6-2n-1}{2^{n+1}}$$
$$S_{n+1} =2 - \dfrac{2(n+1) + 3}{2^{n+1}}$$
Par conséquent la propriété $\mathscr P$ est vraie au rang $n+1$, et donc on a pour tout entier $n\in\N$ :
$$ S_{n} = 2 - \dfrac{2n + 3}{2^n}$$
\end{itemize}
\end{enumerate}
}



\Exoi{\textit{\textbf{Métropole Septembre 2010}}\hfill (5 points (+2))\\
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{0} = 5$ et pour tout nombre entier naturel $n$, par  $$ u_{n+1} = \dfrac{4u_{n} - 1}{u_{n} +2}$$
Si $f$ est la fonction définie sur l'intervalle $]- 2~;~+ \infty[$ par $f(x) = \dfrac{4x - 1}{x + 2}$, alors on a, $\forall n\in\N$ $ u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)$.
 \\
On donne en annexe une partie de la courbe représentative $\mathscr{C}$ de $f$ ainsi que la droite $\Delta$ d'équation $y = x$.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Cf. Annexe
		\item La suite $\left(u_{n}\right)$ semble décroissante et convergente vers $1$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Notons $\mathscr P(n)$ : $u_{n} - 1 > 0$. 
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation} : $u_0-1=4>0$, par conséquent la propriété $\mathscr P$ est vraie au rang $0$.
\item \textit{Hérédité} : Supposons que la propriété $\mathscr P$ soit vraie pour un certain $n$ et montrons qu'elle est vraie au rang $n+1$.
\\
D'après l'hypothèse de récurrence on a :
$$ u_n-1>0\Longleftrightarrow u_n>1$$
De plus : 
$$ u_{n+1}-1=\dfrac{4u_{n} - 1}{u_{n} +2}-1=\dfrac{4u_{n} - 1-u_n-2}{u_{n} +2}=\dfrac{3u_n-3}{u_n+2}=\dfrac{3(u_n-1)}{u_n+2}>0$$
En effet $u_n-1>0\Longleftrightarrow 3(u_n-1)>0$, et $u_n>1\Longleftrightarrow u_n+2>3$\\
Ainsi, la propriété $\mathscr P$ est vraie au rang $n+1$  ce qui prouve que pour tout entier naturel $n$ on a $$ u_n-1>0\Longleftrightarrow u_n>1$$
La suite $(u_n)$ est donc minorée par $1$.
\end{itemize}		
		\item 
		\begin{enumerate}
\item Pour tout $x\in ]-2;+\infty[$ on a :
$$f'(x)=\dfrac{4(x+2)-(4x-1)}{(x+2)^2}=\dfrac{9}{(x+2)^2}>0$$
donc $f$ est une fonction strictement croissante sur $]-2;+\infty[$.
\item En déduire, par un raisonnement par récurrence, que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante. \\Montrons la propriété $\mathscr P(n) : 1<u_{n+1}<u_n$
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation} : $1<u_1=\dfrac{19}{7}<u_0$ par conséquent la propriété $\mathscr P$ est vraie au rang $0$.
\item \textit{Hérédité} : Supposons que la propriété $\mathscr P$ soit vraie pour un certain $n$ et montrons qu'elle est vraie au rang $n+1$.
\\
D'après l'hypothèse de récurrence on a : \begin{eqnarray*}
&  1<u_{n+1}<u_n\\
\Longleftrightarrow & f(1)<f(u_{n+1})<f(u_n) \\
\Longleftrightarrow & 1<u_{n+2}<u_{n+1}
\end{eqnarray*}
Ce qui prouve la propriété $\mathscr P$ au rang $n+1$. Ainsi la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
\end{itemize}
\item La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $1$ donc elle converge. On note $\ell$ sa limite.
\item Comme $ displaystyle \lim_{n\to +\infty}u_{n+1}=\ell$ et $ displaystyle \lim_{n\to +\infty}u_{n}=\ell$, on a :  $$\ell=\dfrac{4\ell-1}{\ell+2}\Longleftrightarrow \ell^2+2\ell =4\ell-1\Longleftrightarrow \ell^2-2\ell +1=0\Longleftrightarrow (\ell-1)^2=0\Longleftrightarrow \ell =1$$
\end{enumerate}
	\end{enumerate} 
\item\textbf{ (Hors Barème)} Dans cette question, on se propose d'étudier la suite $\left(u_{n}\right)$ par une autre méthode, en déterminant une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
 \\
Pour tout nombre entier naturel $n$, on pose $v_{n} = \dfrac{1}{u_{n} - 1}$. 
	\begin{enumerate}
		\item 
		\begin{eqnarray*}
v_{n+1}-v_n=& \dfrac{1}{u_{n+1}-1}-\dfrac{1}{u_n-1} \\
=& \dfrac{1}{\dfrac{4u_n-1}{u_n+2}-1 }-\dfrac{1}{u_n-1}\\
= & \dfrac{1}{\dfrac{4u_n-1-u_n-2}{u_n+2} }-\dfrac{1}{u_n-1}\\
= & \dfrac{u_n+2}{3u_n-3}-\dfrac{1}{u_n-1}\\
=& \dfrac{u_n+2-3}{3u_n-3}\\
=& \dfrac{u_n-1}{3(u_n-1)}\\
= & \dfrac{1}{3}
\end{eqnarray*}
Ainsi $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $ \dfrac{1}{3}$ 
		\item  Pour tout nombre entier naturel $n$ on a, puisque $(v_n)$ est arithmétique avec $ \dfrac{1}{3}$ pour raison :
		$$ v_n=v_0+nr=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}n$$ Par suite, comme $v_n=\dfrac{1}{u_n-1}\Longleftrightarrow v_n(u_n-1)=1\Longleftrightarrow u_n=\dfrac{1}{v_n}+1$ on a :
		$$ u_n=\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}n }+1=\dfrac{12}{3+4n}+1$$. 
		\item  Comme $ \displaystyle\lim_{n\to +\infty} 3+4n=+\infty$ on a :
		$$ \displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{12}{3+4n}=0\Longrightarrow \displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=1$$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
}



%\Exoi{(Amérique du sud, novembre 2009)\hfill (points)\\
%Dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O;\vec u, \vec v)$, on considère
%les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $2$ et $(-2)$ et on définit l'application $f$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ et différent de $A$ associe le point $M'$ d'affixe \[z'= \dfrac{\overline{z}(z - 2)}{\overline{z} - 2}.\]
%\begin{enumerate}
%\item
	%\begin{enumerate}
		%\item Déterminer l'affixe du point $P'$ image par $f$ du point $P$ d'affixe $(1 + i)$.
		%\item Montrer que les droites $(AP)$ et $(BP')$ sont parallèles.
		%\item Etablir que les droites $(AP)$ et $(PP')$ sont perpendiculaires.
	%\end{enumerate}
%\item Déterminer l'ensemble des points invariants par $f$ (i.e l'ensemble des points tels que $M'= M$).
%On cherche à généraliser les propriétés \textbf{1.b} et \textbf{1.c} pour obtenir une construction de l'image $M'$ d'un point $M$ quelconque du plan.
%\item 
	%\begin{enumerate}
	%	\item Montrer que pour tout nombre complexe $z$, le nombre $(z - 2)\left(\overline{z} - 2\right)$ est réel.
	%	\item En déduire que pour tout nombre complexe distinct de $2$, $\dfrac{z' + 2}{z - 2}$ est réel.
	%	\item Montrer que les droites $(AM)$ et $(BM')$ sont parallèles.
	%\end{enumerate}
%\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, sera prise en compte dans l'évaluation}.
%Soit $M$ un point quelconque non situé sur la droite $(AB)$. Généraliser les résultats de la question \textbf{1.c}.
%\item Soit $M$ un point distinct de A. Déduire des questions précédentes une construction du point $M'$ image de $M$ par $f$. Réaliser une figure pour le point $Q$ d'affixe $3 - 2\text{i}$.
%\end{enumerate}}

\Exoi{(\textbf{Liban 2009})\hfill (5 points (+2))\\
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct  $(O;\vec u, \vec v)$ (unité graphique : 2~cm).
\\
On considère les points $A$, $B$ et $C$ d' affixes respectives :
 \[ z_{\text{A}} = -\dfrac{3}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2},~z_{B}  = \overline{z_{A} }~\text{et}~ z_{C} =   - 3.\] 
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer le module du nombre complexe $z_A$ :
$$ \mid z_A\mid=\sqrt{\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4} }=\sqrt{\dfrac{12}{4} }=\sqrt{3}$$
Par conséquent la forme trigonométrique de $z_A$ est de la forme :
$$ z_A=\sqrt{3}(\cos \theta+i\sin \theta) \qquad \text{avec }\theta=arg(z_A)[2\pi]$$
On a :
$$ \sqrt{3}\cos \theta=-\dfrac{3}{2}\Longleftrightarrow \cos \theta=-\dfrac{3}{2 \sqrt{3} }=-\dfrac{\sqrt{3} }{2}\qquad \text{et}\qquad \sqrt{3}\sin\theta=\dfrac{\sqrt{3} }{2}\Longleftrightarrow \sin\theta=\dfrac{1}{2}$$
Par conséquent $ \theta=\dfrac{5\pi}{6}[2\pi]$. La forme exponentielle de $z_A$ est donc :
\boite{z_A=\sqrt{3}e^{i \frac{5\pi}{6}} }
Par conséquent : \boite{ z_B=\overline{z_A}=\overline{\sqrt{3}e^{i \frac{5\pi}{6}}}=\sqrt{3}e^{-i \frac{5\pi}{6}}}
Ecrire les nombres complexes $z_{A}$ et $z_{B}$ sous forme exponentielle. 
\item Cf. Figure en fin de corrigé.
\item Montrons que $AB=AC=BC$.\\
$$ AB=\mid z_{\overleftarrow{AB} }\mid=\mid z_B-z_A\mid=\mid -\dfrac{3}{2}-i \dfrac{ \sqrt{3} }{2} +\dfrac{3}{2}-\dfrac{ \sqrt{3} }{2}i\mid=\mid \sqrt{3} i \mid =\sqrt{3}$$
 De même $$ AC=\mid z_{\overrightarrow{AC} }\mid =\mid -3+\dfrac{3}{2}-i \dfrac{ \sqrt{3} }{2}\mid =\mid -\dfrac{3}{2}-i \dfrac{ \sqrt{3} }{2}\mid =\mid z_B \mid =\sqrt{3} $$
 Enfin 
 $$ BC=\mid z_{\overrightarrow{BC} }\mid =\mid z_B-z_C\mid = \mid -\dfrac{3}{2}-i \dfrac{ \sqrt{3} }{2}+3\mid=\mid \dfrac{3}{2}-i \dfrac{\sqrt{3} }{2}\mid =\sqrt{\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4} }=\sqrt{3}$$
 On a donc $ AB=AC=BC= \sqrt{3}$ ce qui prouve que le triangle $ABC$ est équilatéral.
\end{enumerate}
\item 
Soit $f$ l'application qui, à tout point $M$ du plan d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z' = \dfrac{1}{3}iz^2$.
 \\
On note $O'$, $A'$, $B'$ et $C'$ les points respectivement associés par $f$ aux points $O$, $A$, $B$ et $C$.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item   On remarque que  :
		$$i=0+1i = \cos \dfrac{\pi}{2}+i \dfrac{\pi}{2}= e^{i \frac{\pi}{2} }$$
		Par conséquent :
		$$ z_{A'}=\dfrac{1}{3} e^{i \frac{\pi}{2} } z_A^2=\dfrac{1}{3} e^{i \frac{\pi}{2} }\times \left(\sqrt{3}e^{i \frac{5\pi}{6}}\right)^2=\dfrac{1}{3}\times e^{i \frac{\pi}{2} }\times 3e^{i \frac{10\pi}{6}}=e^{i \frac{3\pi+10\pi}{6} }=e^{i \frac{13\pi}{6} }=e^{i \frac{\pi}{6} }$$
		Le nombre complexe $z_{A'}$ a donc pour module $1$ et pour argument $ \dfrac{\pi}{6}$.\\
		De plus : 
		$$ z_{B'}=\dfrac{1}{3} e^{i \frac{\pi}{2} } z_B^2=\dfrac{1}{3} e^{i \frac{\pi}{2} }\times \left(\sqrt{3}e^{-i \frac{5\pi}{6}}\right)^2=\dfrac{1}{3}\times e^{i \frac{\pi}{2} }\times 3e^{-i \frac{10\pi}{6}}=e^{i \frac{3\pi-10\pi}{6} }=e^{-i \frac{7\pi}{6} }=e^{i \frac{5\pi}{6} }$$
		Le nombre complexe $z_{B'}$ a donc pour module $1$ et pour argument $ \dfrac{5\pi}{6}$.\\
		Et enfin :
		$$ z_{C'}=\dfrac{1}{3} e^{i \frac{\pi}{2} } z_C^2=\dfrac{1}{3} e^{i \frac{\pi}{2} } \times 9=3e^{i \frac{\pi}{2} }$$
       Le nombre complexe $z_{C'}$ a donc pour module $3$ et pour argument $ \dfrac{\pi}{2}$.
		\item Cf. Figure en fin de corrigé. 
		\item On a :
		$$ arg(z_A)[2\pi]=\dfrac{5\pi}{6}[2\pi]=arg(z_{B'}[2\pi]$$
		Par conséquent les points $O$, $A$ et $B'$ sont alignés. \\
		De plus on a :
		$$ arg(z_{B})+\pi [2\pi]= -\dfrac{5\pi}{6}+\pi[2\pi]=\dfrac{-5\pi+6\pi}{6}[2\pi]=\dfrac{\pi}{6}[2\pi]=arg(z_{A'})[2\pi]$$
		Par conséquent les points $O$, $A'$ et $B$ sont alignés.
	\end{enumerate}  
\item Soit $G$ l'isobarycentre des points $O$, $A$, $B$ et $C$. On note $G'$ le point associé à $G$ par $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item 
On a : 
$$ z_G=\dfrac{z_O+z_A+z_B+z_C}{4}=\dfrac{0-\dfrac{3}{2}+i \dfrac{ \sqrt{3} }{2}-\dfrac{3}{2}-i \dfrac{ \sqrt{3} }{2}-3 }{4}=-\dfrac{6}{4}=-\dfrac{3}{2}$$	
Par conséquent 
$$ z_{G'}=\dfrac{1}{3}iz_G^2=\dfrac{1}{3}i\times \dfrac{9}{4}=\dfrac{3}{4}i$$
		\item \textbf{(Hors Barème)} Calculons l'affixe $z$ de l'isobarycentre des points $O'$ $A'$, $B'$ et $C'$ :
		$$ z=\dfrac{z_O+z_{A'}+z_{B'}+z_{C'}}{4}=\dfrac{0+e^{i \frac{\pi}{6} }+e^{i \frac{5\pi}{6} }+3e^{i \frac{\pi}{2} }}{4}=\dfrac{\dfrac{ \sqrt{3} }{2}+i \dfrac{1}{2}- \dfrac{ \sqrt{3} }{2}+i \dfrac{1}{2}+3i }{4}=\dfrac{4i}{4}=i$$
		 $z\neq z_{G'}$, par conséquent  $G'$ n'est pas l'isobarycentre des points $O$, $A'$, $B'$ et $C'$.
	\end{enumerate}
\item \textbf{(Hors Barème)} 
La droite $(AB)$ a pour équation $x=-\dfrac{3}{2}$, par conséquent si $M\in (AB)$ alors \boite{M\left(-\dfrac{3}{2}; y_M\right) }
On veut montrer que $M'$ appartient à la parabole d'équation $y = - \dfrac{1}{3}x^2 + \dfrac{3}{4}$ i.e que 
\boite{M'\left(x_{M'};- \dfrac{1}{3}x_{M'}^2 + \dfrac{3}{4}\right)}
Notons $z_M$ l'affixe de $M$, on a alors $z_M=-\dfrac{3}{2}+iy_M$, on cherche à montrer que $$ z_{M'}=x_{M'}+i (- \dfrac{1}{3}x_{M'}^2 + \dfrac{3}{4})
$$
Or : 
$$ z_{M'}=\dfrac{1}{3}i z_M^2=\dfrac{1}{3}i \left(-\dfrac{3}{2}+iy_M\right)^2=\dfrac{1}{3}i\left(\dfrac{9}{4}-3iy_M-y_M^2\right)=
y_M+i\left(\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{3}y_M^2\right)$$
CQFD en notant $y_M=x_{M'}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}
\pagebreak
\begin{center} 



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