  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Chapitre 1 : Les nombres complexes 1/2 }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
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\pagestyle{fancy}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
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\lhead{Chapitre 1}
\rhead{Les nombres complexes 1/2}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction du devoir Surveillé 1}

\Exoi{\textit{\textbf{R.O.C}}\hfill (3 points)
\begin{enumerate}
\item Démontrer qu'un nombre complexe $z$ est imaginaire pur si et seulement si $\overline{z} =  -z$.
\item Démontrer qu'un nombre complexe $z$ est réel si et seulement si $\overline{z}= z$.
\item Démontrer que pour tout nombre complexe $z$, on a l'égalité : $z\overline{z} = |z|^2$.
\end{enumerate}}


\Dem{\begin{enumerate}
\item et 2. Notons $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ deux réels. Ainsi : 
$$z+\overline{z}=x+iy+x-iy=2x=2\Re e(z) \text{ et }z-\overline{z}=x+iy-(x-iy)=2iy=2i\Im m(z)$$
On en déduit immédiatement que :
$$ \text{$z$ est réel}\Longleftrightarrow \Im m(z)=0\Longleftrightarrow z-\overline{z}=0\Longleftrightarrow z=\overline{z}$$
$$ z \text{ est imaginaire pur} \Longleftrightarrow \Re e(z)=0\Longleftrightarrow z+\overline{z}=0\Longleftrightarrow z=-\overline{z}$$
\item $z\overline{z}=(x+iy)(x-iy)=x^2-ixy+ixy-i^2y=x^2+y^2=|z|^2$
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (3 points)\\
On considère dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation $(E)$ d'inconnue $z$ suivante :
$$ z^3+(-8+i)z^2+(17-8i)z+17i=0$$
\begin{enumerate}
\item $(-i)^3+(-8+i)(-i)^2+(17-8i)(-i)+17i=i+8-i-17i-8+17i=0$
\item On a :
$$ (z+i)(az^2+bz+c)=az^3+(ai+b)+(c+ib)z+ic$$
On a donc par identification :
$a=1$, $ai+b=i-8\Longleftrightarrow b=-8$, $17-8i=c+ib\Longleftrightarrow c=17$ et $ic=17i\Longleftrightarrow c=17$
\item On a :
\begin{eqnarray*}
& z^3+(-8+i)z^2+(17-8i)z+17i=0\\
\Longleftrightarrow & (z+i)(z^2-8z+17)=0 \\
\Longleftrightarrow & z+i=0 \qquad \text{ou}\qquad z^2-8z+17=0\\
\Longleftrightarrow & z=-i \qquad \text{ou} \qquad z=\dfrac{8-i \sqrt{4} }{2}=4-i \qquad \text{ou}\qquad z=4+i\\
\end{eqnarray*}
\end{enumerate} }


%\Exoi{2009 \hfill (3 points)\\
%\textbf{Dans chacun des cas, indiquer si l'affirmation proposée est vraie ou fausse et justifier la réponse}.
%\begin{enumerate}
%\item Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$.\\
%Soit le point $A$ d'affixe 3,  le point $B$ d'affixe $-4\text{i}$ et l'ensemble $\mathscr{E}$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $\left| z - 3\right|=| %%z+4\text{i}|$.
%\begin{eqnarray*}
%& \left| z - 3\right|=| z+4\text{i}|\\
%\Longleftrightarrow &  |z-z_A|=|z-z_B|\\
%\Longleftrightarrow & |z_{\overrightarrow{AM}}|=|z_{\overrightarrow{BM} }| \\
%\Longleftrightarrow & AM=BM\\
%\end{eqnarray*}
%Par conséquent $M$ appartient à la médiatrice du segment $[AB]$ 
%\item On considère le nombre $z=2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{7}}$.\\
%$z^{2010}=2^{2010}\text{e}^{\text{i}\frac{2010\pi}{7}}=2^{2010}\text{e}^{\text{i}\frac{2010\pi}{7}}$\\
%$z^{2010}$ est un nombre réel positif si et seulement son argument vaut $0[2\pi]\Longleftrightarrow \dfrac{2010\pi}{7}=0[2\pi]$ \\
%Or $ \dfrac{2010\pi}{7}-143\times 2\pi=\dfrac{8\pi}{7}\neq 0[2\pi]$, donc $z^{2010}$ n'est pas réel.
%\end{enumerate}
%}

\Exoi{2007\hfill(6 points)\\
Soit les nombres complexes :
$\qquad \qquad \qquad  z_1=\sqrt{2}+i \sqrt{6} \qquad z_2=2+2i\qquad Z=\dfrac{z_1}{z_2}$
\begin{enumerate}
\item $Z=\dfrac{\sqrt{2}+i \sqrt{6}}{2+2i}=\dfrac{(\sqrt{2}+i \sqrt{6})(2-2i)}{(2+2i)(2-2i)}=\dfrac{2 \sqrt{2}+2i \sqrt{6}-2i \sqrt{2}+2 \sqrt{6}   }{8}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6} }{4}+i \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2} }{4}$
\item Or $z_1=2 \sqrt{2} (\cos \theta_1+i\sin \theta_1)$ où $\theta_1=arg(z_1)$, par conséquent :
$$ \cos \theta_1=\dfrac{\sqrt{2} }{2 \sqrt{2} }=\dfrac{1}{2}\qquad \text{et}\qquad \sin \theta_1=\dfrac{\sqrt{6} }{2 \sqrt{2} }=\dfrac{\sqrt{3} }{2}$$
ce qui prouve que $\theta_1=\dfrac{\pi}{3}[2\pi]$.\\
De la même manière $\mid z_2\mid =\sqrt{8}=2 \sqrt{2}$. \\
$z_2=2 \sqrt{2} (\cos \theta_2+i\sin \theta_2)$ où $\theta_2=arg(z_2)$, par conséquent :
$$ \cos \theta_2=\dfrac{2 }{2 \sqrt{2} }=\dfrac{ \sqrt{2} }{2}\qquad \text{et}\qquad \sin \theta_2=\dfrac{2 }{2 \sqrt{2} }=\dfrac{\sqrt{2} }{2}$$
ce qui prouve que $\theta_2=\dfrac{\pi}{4}[2\pi]$.\\ 
On obtient au final : $$ \mid Z\mid =\dfrac{\mid z_1\mid}{\mid z_2 \mid}=1$$
et $$ arg(Z)=arg\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)[2\pi]=arg(z_1)-arg(z_2)[2\pi]=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}[2\pi]=\dfrac{\pi}{12}[2\pi]$$
\item D'après la question précédente $$ Z=\cos \dfrac{\pi}{12}+i\sin \dfrac{\pi}{12}$$
et donc d'après la question $1.$ on a :
$$ \cos \dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6} }{4}\qquad \text{et}\qquad \sin \dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2} }{4}$$
\item Le plan est muni d'un repère orthonormal ; on prendra $2$ cm comme unité graphique. On désigne par $A$, $B$ et $C$ les points d'affixes respectives $z_1$, $z_2$ et $Z$. 
\begin{enumerate}
\item On commence par placer $B$, puis comme le module de $z_1$ et de $z_2$ sont identiques on sait que le point $A$ se trouvent sur le cercle de centre $O$ passant par $B$, que l'on trace. Enfin on connait l'argument de $z_1$ qu'il faut exploiter. Pour cela on trace le cercle trigonométrique et on place le point $A'$ qui a pour module $1$ et pour argument $ \dfrac{\pi}{3}$ à l'aide de son abscisse qui vaut $ \dfrac{1}{2}$.\\
Il ne reste plus qu'à prolonger $(OA')$ pour obtenir le point $A$ comme intersection entre cette droite et le premier cercle construit.
\begin{center}
\psset{xunit=2cm , yunit=2cm}
\begin{pspicture*}(-1.2,-0.4)(3.2,3.3)
\def\xmin{-1} \def\xmax{3} \def\ymin{-0.2} \def\ymax{3.1}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-1.2,-0.4)(3.2,3.3)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](2.0000,2.0000)
\uput{0.3000}[0.0000](2.0000,2.0000){B}
\psline(0.0000,0.0000)(2.0000,2.0000)
\pscircle(0.0000,0.0000){2.0000}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](0.5000,0.8600)
\uput{0.3000}[90.0000](0.5000,0.8600){A'}
\psline(-1.1628,-2.0000)(3.4884,6.0000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](1.4100,2.4500)
\uput{0.3000}[90.0000](1.4100,2.4500){A}
\pscircle(0.0000,0.0000){5.6600}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\end{pspicture*}
\end{center}
\item On sait que le point $C$ est sur le cercle trigonométrique, puisque le module de $Z$ vaut $1$. Il faut encore parvenir à construire un angle de $ \dfrac{\pi}{12}$. Pour cela on remarque que l'angle entre les demi-droites $[OB)$ et $[OA)$ vaut lui aussi $ \dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}=  \dfrac{\pi}{12}$. On reproduit la distance $A'B'$ en partant de $C'$, ainsi on trouve le point $C$. 
\begin{center}
\psset{xunit=2cm , yunit=2cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(3.2,3.3)
\def\xmin{-0.3} \def\xmax{3} \def\ymin{-0.3} \def\ymax{3.1}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-0.5,-0.5)(3.2,3.3)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](2.0000,2.0000)
\uput{0.3000}[0.0000](2.0000,2.0000){B}
\psline(0.0000,0.0000)(2.0000,2.0000)
\pscircle(0.0000,0.0000){2.0000}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](0.5000,0.8600)
\uput{0.3000}[90.0000](0.5000,0.8600){A'}
\psline(-1.1628,-2.0000)(3.4884,6.0000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](1.4100,2.4500)
\uput{0.3000}[90.0000](1.4100,2.4500){A}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](0.7100,0.7100)
\uput{0.3000}[90.0000](0.7100,0.7100){B'}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](1.0000,0.0000)
\uput{0.3000}[-120.0000](1.0000,0.0000){C'}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](0.9660,0.2588)
\uput{0.3000}[90.0000](0.9660,0.2588){C}
\pscircle(0.0000,0.0000){5.6600}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}
\item On a $$Z^{2010}=\left(e^{i \frac{\pi}{12} }\right)^{2010}=e^{i \frac{2010\pi}{12} }=e^{i \frac{335\pi}{2} }=e^{-i \frac{\pi}{2} }=\cos \left(-\dfrac{\pi}{2}\right)+i \sin \left(\dfrac{-\pi}{2}\right)=0-i=-i $$.
\end{enumerate}}


\Exoi{2005\hfill(5 points)\\
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$ (unité graphique : 8 cm).\\
On appelle $A$ le point d'affixe $-1$ et $B$ le point d'affixe $1$\\
Soit $\mathscr E$ l'ensemble des points du plan distincts de $A$, $O$ et $B$. \\
A tout point $M$ d'affixe $z$ appartenant à l'ensemble $\mathscr E$, on associe le point $N$ d'affixe $z^2$ et le point $P$ d'affixe $z^3$.
\begin{enumerate}
\item Si $M=N$ alors $z=z^2\Longleftrightarrow z-z^2=0 \Longleftrightarrow z(1-z)=0\Longleftrightarrow z=0\text{ ou }1=z$, or on suppose le contraire donc $M\neq N$.\\
De même si $M=P$ alors $z=z^3\Longleftrightarrow z-z^3=0\Longleftrightarrow z(1-z^2)=0\Longleftrightarrow z=0\text{ ou }z^2=1 \Longleftrightarrow z=0 \text{ ou }z=1 \text{ ou }z=-1$, or on suppose le contraire donc $M\neq P$.\\
Et enfin si $N=P$ alors $z^2=z^3\Longleftrightarrow z^2(1-z)=00\Longleftrightarrow z=0\text{ ou }1=z$, or on suppose le contraire donc $P\neq N$.\\
Ainsi les points $M$, $N$ et $P$ sont deux à deux distincts.
\item On se propose de déterminer l'ensemble $\mathscr C$ des points $M$ appartenant à $\mathscr E$ tels que le triangle $MNP$ soit rectangle en $P$.
\begin{enumerate}
\item 
On a :
$$ MN=\mid z_N-z_M\mid=\mid z^2-z\mid =\mid z(z-1)\mid =\mid z\mid \mid z-1\mid$$
mais aussi
$$ MP=\mid z_P-z_M\mid=\mid z^3-z\mid =\mid z(z^2-1)\mid=\mid z\mid \mid (z-1)(z+1)\mid=\mid z\mid \mid z-1\mid \mid z+1\mid$$
Et enfin 
$$ NP=\mid z_P-z_N\mid = \mid z^3-z^2\mid =\mid z^2(z-1)\mid =\mid z^2\mid \mid z-1\mid =\mid z\mid ^2\mid z-1\mid$$
D'après le théorème de Pythagore; le triangle $MNP$ est rectangle en $P$ si, et seulement si, 
$$PN^2+PM^2=MN^2\Longleftrightarrow \mid z\mid ^4\mid z-1\mid^2+ \mid z\mid^2 \mid z-1\mid^2 \mid z+1\mid^2=\mid z\mid^2 \mid z-1\mid^2$$
En divisant le tout par $\mid z\mid ^2\mid z-1\mid ^2\neq 0$, on obtient, $MNP$ est rectangle en $P$ si, et seulement si, 
$$ \mid z\mid ^2+  \mid z+1\mid^2=1$$
\item Démontrons que $ |z+1|^2+|z|^2=1 \Longleftrightarrow \left(z+\dfrac{1}{2}\right)\overline{\left(z+\dfrac{1}{2} \right)}=\dfrac{1}{4}$.\\
On a d'une part :
\begin{eqnarray*}
& \left(z+\dfrac{1}{2}\right)\overline{\left(z+\dfrac{1}{2} \right)}=\dfrac{1}{4}\\
\Longleftrightarrow & \left(z+\dfrac{1}{2}\right)\left(\overline{z}+\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{4}\\
\Longleftrightarrow & z \overline{z}+\dfrac{1}{2}(z+\overline{z})+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}\\
\Longleftrightarrow & z \overline{z}+\dfrac{1}{2}(z+\overline{z})=0
\end{eqnarray*}
et d'autre part :
\begin{eqnarray*}
& |z+1|^2+|z|^2=1  \\
\Longleftrightarrow & (z+1)\overline{(z+1)}+z \overline{z}=1\\
\Longleftrightarrow & (z+1)(\overline{z}+1)+z \overline{z}=1\\
\Longleftrightarrow & z \overline{z}+z+\overline{z}+1+z \overline{z}=1\\
\Longleftrightarrow & 2 z \overline{z}+z+\overline{z} =0\\ 
\Longleftrightarrow & z \overline{z}+\dfrac{1}{2}(z+\overline{z})=0
\end{eqnarray*}
ce qui prouve que $ |z+1|^2+|z|^2=1 \Longleftrightarrow \left(z+\dfrac{1}{2}\right)\overline{\left(z+\dfrac{1}{2} \right)}=\dfrac{1}{4}$.
\item On cherche l'ensemble des points $M$ appartenant à $\mathscr E$ du plan tels que $MNP$ est rectangle en $P$ i.e tels que 
\begin{eqnarray*}
&  \left(z+\dfrac{1}{2}\right)\overline{\left(z+\dfrac{1}{2} \right)}=\dfrac{1}{4}\\
\Longleftrightarrow & \mid z+\dfrac{1}{2}\mid ^2=\dfrac{1}{4}\\
\Longleftrightarrow & \mid z+\dfrac{1}{2}\mid =\dfrac{1}{2}\qquad \text{un module étant toujours positif}\\
\Longleftrightarrow & \mid z-z_E\mid = \dfrac{1}{2} \qquad \text{ où $z_E=-\dfrac{1}{2}$ est l'affixe du point $E$} \\
\Longleftrightarrow & \mid z_{\overrightarrow{EM}} \mid=\dfrac{1}{2}\\
\Longleftrightarrow & EM=\dfrac{1}{2}
\end{eqnarray*}
$\mathscr C$ est donc le cercle de centre $E$ et de rayon $ \dfrac{1}{2}$ privé (éventuellement) des points $A$, $O$ et $B$. Les points $A$ et $O$ appartiennent aux cercle trouvés, donc l'ensemble $\mathscr C$ est le cercle de $E$ privé des points $A$ et $O$.
\end{enumerate}
%\item Soit $M$ un point de $\mathscr E$ et $z$ son affixe. On désigne par $r$ le module de $z$ et par $\theta$ l'argument de $z$ avec $\theta \in]-\pi;\pi]$.
%\begin{enumerate}
%\item Démontrer que l'ensemble $\mathscr F$ des points $M$ de $\mathscr E$ tels que l'affixe de $P$ soit un réel strictement positif est la réunion de trois demi-droites (éventuellement privées de points). \footnote{\textit{On utilisera la forme exponentielle de $z$}}.
%\item Représenter les ensembles $\mathscr C$ et $\mathscr F$ dans le repère $(O;\vec u, \vec v)$.
%\item Déterminer les affixes des points $M$ de $\mathscr E$ tels que le triangle $MNP$ soit rectangle en $P$, l'affixe de $P$ étant un réel strictement positif.
%\end{enumerate}
\end{enumerate}}



\end{document}