  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 2 : Suites et récurrences }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}
\usepackage{pifont}


\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Complexes et exponentielles}	
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$ S}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
\newcommand{\Profs}{D.Zancanaro}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	PRemière Page
\pagestyle{empty}
\begin{framed}
\begin{center}
\begin{LARGE}
 BACCALAUREAT GENERAL GRIS CLAIR
\end{LARGE}
\end{center}
\end{framed}


\vfill

\begin{Large}
\begin{center}
\underline{SESSION 2011}
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
\textbf{MATHEMATIQUES}
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
Série : \textbf{S}
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
DUREE DE L'EPREUVE : \textbf{4 Heures}. COEFFICIENT : \textbf{7}.
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
\textbf{Ce sujet comporte 3 pages numérotées de 1 à 3.}
\end{center}
\end{Large}




\begin{Large}
\begin{center}
L’utilisation de la calculatrice est autorisée.
\end{center}
\end{Large}

\vfill
\begin{framed}
\begin{large}
\begin{center}
Le candidat doit traiter tous les exercices. 
\end{center}
Il est invité à faire sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il 
aura développé. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des 
raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. 
\end{large}
\end{framed}

\pagebreak
\clearpage
\pagenumbering{arabic}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\fancypagestyle{styleLyc}{%
\fancyhf{} 
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
	\fancyfoot[LE,LO]{{\scriptsize\textsl{ \Profs \\ Lycée \LyDav }}}
	\fancyfoot[C]{\scriptsize\textsl{\Cl \\ \Annee}}
\fancyfoot[LE,RO]{\bfseries\thepage / \pageref{LastPage}}
}
\pagestyle{styleLyc}
%\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Bac gris clair}
\rhead{Avril 2011}


\Cr{Bac gris clair}






\Exoi{\hfill (5 points)\\
\emph{Cet exercice contient une restitution organisée de connaissances.}
 \\
\textbf{Partie A}
\\
On suppose connus les résultats suivants :
\begin{enumerate}
\item Dans le plan complexe, on donne par leurs affixes $z_{A},~z_{B}$  et $z_{C}$ trois points $A,~ B$ et $C$.
\\
Alors $\left|\dfrac{z_{B} - z_{C}}{z_{A} - z_{C}}  \right|= \dfrac{CB}{CA}$ et arg$\left(\dfrac{z_{B} - z_{C}}{z_{A} - z_{C}}  \right) = \left(\vect{CA},~\vect{CB} \right) \quad (2\pi)$.
\item 	Soit $z$ un nombre complexe et soit $\theta$ un réel :
\\
$z = \text{e}^{\text{i}\theta}$  si et seulement si  $|z| =1$ et arg$(z) = \theta + 2k\pi$, où $k$ est un entier relatif.
\end{enumerate}
\emph{Démonstration de cours} :  démontrer que la rotation $r$ d'angle $\alpha$ et de centre $\Omega$ d'affixe $\omega$ est la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que
\[z' - \omega = \text{e}^{\text{i}\alpha}(z - \omega).\]
\\
\textbf{Partie B}
\\
Dans un repère orthonormal direct du plan complexe $(O;\vec u, \vec v)$ d'unité graphique $2$~cm, on considère les points $A,~ B,~ C$ et $D$ d'affixes respectives 
 \[z_{A} = -\sqrt{3} - \text{i},~ z_{B} = 1 - \text{i}\sqrt{3},~ z_{C} = \sqrt{3} + \text{i}~\text{et}~z_{D} = - 1 +\text{i}\sqrt{3}.\]
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Donner le module et un argument pour, chacun des quatre nombres complexes $z_{A},~z_{B},~z_{C}$ et $z_{D}$.
		\item Comment construire à la règle et au compas les points $A,~ B,~ C$ et $D$ dans le repère $(O;\vec u, \vec v)$ ?
		\item Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ?
	\end{enumerate}
\item On considère la rotation $r$ de centre B et d'angle $- \dfrac{\pi}{3}$. Soient $E$ et $F$ les points du plan définis par :
$E = r(A)$ et $F = r(C)$.
	\begin{enumerate}
		\item  Comment construire à la règle et au compas les points $F$ et $E$ dans le repère précédent ?
		\item  Donner l'écriture complexe de $r$.
		\item  Déterminer l'affixe du point $E$.
	 \end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{\hfill (5 points)\\
Soit $\varphi$ la fonction définie sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ par 
\[\varphi(x) = 1 + x^2 -  2x^2 \ln x. \]
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Etudier le sens de variation de la fonction $\varphi$
 sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$. 
		\item Calculer $\varphi(\text{e})$. Démontrer que l'équation $\varphi(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [1~;~e]. Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$. 
		\item Déterminer le signe de $\varphi(x)$ suivant les valeurs de $x$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ par 
\[f(x) = \dfrac{\ln x}{1 + x^2}.\]
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ et montrer que pour tout $x \geqslant 1$ on a : $f'(x) = \dfrac{\varphi(x)}{x\left(1 + x^2 \right)^2}$. 
		\item  Déduire de la question 1. le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$. 
		\item  Démontrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ on a : 
\[0  \leqslant  f(x) \leqslant  \dfrac{\ln x}{x^2}.\] 
		\item  En déduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. 
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item A l'aide d'une intégration par parties, montrer que $\displaystyle\int_{1}^{\text{e}}  \dfrac{\ln x}{x^2}\:\text{d}x = 1 - \dfrac{2}{\text{e}}$. 
		\item On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$, dans un repère orthonormé $(0;\vec i, \vec j)$ d'unité graphique 1~cm.
Soit $\mathscr{A}$ l'aire exprimée en cm$^2$ du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = \text{e}$.
 \\
Déterminer un encadrement de $\mathscr{A}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}


\Exoi{\hfill (5 points)\\
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
\[f(x) = \dfrac{9}{2}\text{e}^{-2x} - 3\text{e}^{-3x}.\]
\textbf{Partie A :}
\\
Soit l'équation différentielle (E) : $y' +2y = 3\text{e}^{-3x}$.
\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle (E$'$) : $y' +2y = 0$.
\item En déduire que la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x) =
\dfrac{9}{2}\text{e}^{-2x}$ est solution de (E$'$).
\item  Vérifier que la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = - 3\text{e}^{-3x}$ est solution de l'équation (E).
\item  En remarquant que $f = g +h$, montrer que $f$ est une solution de (E).
\end{enumerate}
\textbf{ Partie B :}
\\
On nomme $\mathscr{C}_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j)$ d'unité 1~cm.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que pour tout $x$ de $\R$ on a : $f(x) = 3\text{e}^{-2x}\left(\dfrac{3}{2} - \text{e}^{-x}\right)$.
\item  Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ puis la limite de $f$ en $- \infty$.
\item  Etudier les variations de la fonction $f$ et dresser le tableau de variations de $f$.
\item  Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $\mathscr{C}_{f}$ avec les axes du repère.
\item  Calculer $f(1)$ et tracer l'allure de la courbe $\mathscr{C}_{f}$.
\item  Déterminer l'aire $\mathscr{A}$ de la partie du plan délimitée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathscr{C}_{f}$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$. On exprimera cette aire en
cm$^2$.
\end{enumerate}
}



\Exoi{\hfill (6 points)\\
\begin{center} L'objectif de l'exercice est l'étude d'une fonction et d'une suite liée à cette fonction \end{center}
\textbf{PARTIE A}
\\
On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par :
\[ f(x) = \dfrac{1}{x^2}\text{e}^{\frac{1}{x}}.\] 
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j)$. L'unité graphique est 1~cm.
\begin{enumerate}
\item  Etude des limites 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $0$. 
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $+\infty$. 
\item Quelles conséquences peut-on déduire de ces deux résultats, pour la courbe $\mathcal{C}$  ?
\end{enumerate} 
\item Etude des variations de la fonction $f$ 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, la fonction dérivée de la fonction $f$ s'exprime, pour tout réel $x$ strictement positif, par : 
\[f'(x) = - \dfrac{1}{x^4}\text{e}^{\frac{1}{x}}(2x + 1).\] 
		\item Déterminer le signe de $f'$ et en déduire le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle  $]0~;~+\infty[$. 
		\item Démontrer que l'équation $f(x) = 2$ a une unique solution notée $\alpha$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$ et donner la valeur approchée de $\alpha$ arrondie au centième.
	\end{enumerate} 
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j)$.
\end{enumerate}
\textbf{PARTIE B  : Etude d'une suite d'intégrales}
\\
Pour tout entier naturel $n \geqslant 2$ on considère l'intégrale $I_{n}$ définie par :
\[I_{n} = \int_{1}^2 \dfrac{1}{x^n}\text{e}^{\frac{1}{x}}\:\text{d}x.\] 
\begin{enumerate}
\item Calculer $I_{2}$. 
\item Une relation de récurrence 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer, à l'aide d'une intégration par parties, que pour tout entier naturel $n \geqslant 2$ :
\[I_{n+1} = \text{e} - \dfrac{\sqrt{\text{e}}}{2^{n-1}} + (1 - n)I_{n}.\]
		\item Calculer $I_{3}$.
	\end{enumerate} 
\item Etude de la limite de la suite de terme général $I_{n}$ 
	\begin{enumerate}
		\item  Etablir que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle [1~;~2], on a : 
		$$0 \leqslant  \dfrac{1}{x^n}\text{e}^{\frac{1}{x}} \leqslant \dfrac{\text{e}}{x^n}$$
		\item En déduire un encadrement de $I_{n}$ puis étudier la limite éventuelle de la suite $\left(I_{n}\right)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
}











\end{document}