  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Chapitre 2 : Suites et récurrences }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}
\usepackage{pifont}


\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Complexes et exponentielles}	
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$ S}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
\newcommand{\Profs}{D.Zancanaro}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	PRemière Page
\pagestyle{empty}
\begin{framed}
\begin{center}
\begin{LARGE}
 BACCALAUREAT GENERAL BLEU
\end{LARGE}
\end{center}
\end{framed}


\vfill

\begin{Large}
\begin{center}
\underline{SESSION 2011}
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
\textbf{MATHEMATIQUES-SPECIALISTE et NON SPECIALISTE}
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
Série : \textbf{S}
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
DUREE DE L'EPREUVE : \textbf{4 Heures}. COEFFICIENT : \textbf{7} ou \textbf{9}.
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
\textbf{Ce sujet comporte 5 pages numérotées de 1 à 5.}
\end{center}
\end{Large}




\begin{Large}
\begin{center}
L’utilisation de la calculatrice est autorisée.
\end{center}
\end{Large}

\vfill
\begin{framed}
\begin{large}
\begin{center}
Le candidat doit traiter tous les exercices. 
\end{center}
Il est invité à faire sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il 
aura développé. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des 
raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. 
\end{large}
\end{framed}

\pagebreak
\clearpage
\pagenumbering{arabic}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\fancypagestyle{styleLyc}{%
\fancyhf{} 
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
	\fancyfoot[LE,LO]{{\scriptsize\textsl{ \Profs \\ Lycée \LyDav }}}
	\fancyfoot[C]{\scriptsize\textsl{\Cl \\ \Annee}}
\fancyfoot[LE,RO]{\bfseries\thepage / \pageref{LastPage}}
}
\pagestyle{styleLyc}
%\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Bac Bleu}
\rhead{Avril 2011}


\Cr{BAC BLEU}


\Exoi{\hfill (3 points)\\
\emph{Pour chacune des trois questions, une seule des quatre propositions est exacte.\\ 
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie, sans justification. \\
Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.}
\begin{enumerate}
\item On désigne par $A$ et $B$ deux événements indépendants d'un univers muni d'une loi de probabilité $p$.
\\ 
On sait que $p(A \cup B) = \dfrac{4}{5}$ et $p\left(\overline{A}\right) =  \dfrac{3}{5}$. 
\\
La probabilité de l'événement $B$ est égale à :
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $\quad \dfrac{2}{5}$
\item $\quad \dfrac{2}{3}$
\item $\quad \dfrac{3}{5}$
\item $\quad \dfrac{1}{2}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item On note $X$ une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,04$. 
\\
On rappelle que pour tout réel $t$ positif, la probabilité de l'événement $(X \leqslant t)$, notée $p(X \leqslant t)$, est donnée par $p(X \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$. 
\\
La valeur approchée de $p(X > 5)$ à $10^{-2}$ près par excès est égale à : 
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $\quad 0,91$
\item $\quad 0,18$
\item $\quad  0,19$
\item $\quad  0,82$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Dans ma rue, il pleut un soir sur quatre. 
\\
S'il pleut, je sors mon chien avec une probabilité égale à $\dfrac{1}{10}$ ; s'il ne pleut pas, je sors mon chien  avec une probabilité égale à $\dfrac{9}{10}$.
 \\
Je sors mon chien ; la probabilité qu'il ne pleuve pas est égale à : 
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $\quad \dfrac{9}{10}$
\item $\quad \dfrac{27}{40}$
\item $\quad \dfrac{3}{4}$
\item $\quad \dfrac{27}{28}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}}



\Exoi{\hfill (5 points)\\
\textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité.}\\
$(O;\vec u, \vec{v} )$ est un  repère orthonormal direct du plan complexe.
\\
Soit $A$ le point d'affixe $1+ \text{i}$.
\\
Au point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que 
\[z'=\dfrac12\left(z+\text{i}\overline{z}\right).\]
\begin{enumerate}
\item On pose $z=x+\text{i}y$ et $z'=x'+\text{i}y'$ avec $x$, $y$, $x'$ et $y'$ réels.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer les égalités suivantes: 
		$x'=\dfrac{1}{2}(x+y)$ et $y'=\dfrac{1}{2}(x+y)$.\/
		En déduire que le point $M'$ appartient à la droite $(\text{O}A)$.
		\item Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que $M=M'$.
		\item Démontrer que pour tout point $M$ du plan les vecteurs $\vect{MM'}$ et $\vect{\text{O}A}$ sont orthogonaux.
	\end{enumerate}	
\item Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac\pi2$. $M_{1}$ est le point d'affixe $z_{1}$ image de $M$ par $r$, $M_{2}$ le point d'affixe $z_{2}=\overline{z}$, $M_{3}$ le point d'affixe $z_{3}$ tel que le quadrilatère $\text{O}M_{1}M_{3}M_{2}$ soit un parallélogramme.
	\begin{enumerate}
		\item Dans cette question uniquement $M$ a pour affixe $4+\text{i}$, placer les points $M$, $M_{1}$, $M_{2}$, $M_{3}$.
		\item Exprimer $z_{1}$ en fonction de $z$, puis $z_{3}$ en fonction de $z$.
		\item $OM_{1}M_{3}M_{2}$ est-il un losange~? Justifier.
		\item Vérifier que $z'-z=\dfrac12iz_{3}$.
		\\
En déduire que $MM'=\dfrac12\text{O}M_{3}$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que les points $M$, $M_{1}$, $M_{2}$ e t$M_{3}$ appartiennent à un même cercle de centre O si et seulement si $MM'=\dfrac12\text{O}M$.
\\
Donner alors la mesure en radians de l'angle géométrique $\widehat{M'\text{O}M}$.
\end{enumerate}
}

\setcounter{Exi}{1}
\Exoi{\hfill (5 points)\\
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}\\
\textbf{\underline{Rappel}} :
\\
Pour deux entiers relatifs $a$ et $b$, on dit que $a$ est congru à $b$ modulo 7, et on écrit $a  \equiv b \quad \mod 7$ lorsqu'il existe un entier relatif $k$ tel que $a =  b + 7k$.
\begin{enumerate}
\item  \emph{Cette question constitue une restitution organisée de connaissances}
	\begin{enumerate}
		\item  Soient $a,~ b,~ c$ et $d$ des entiers relatifs.\\
Démontrer que : si $a \equiv b \mod 7$ et $c  \equiv d \mod 7$ alors $ac \equiv  bd \mod 7$.
		\item En déduire que : pour $a$ et $b$ entiers relatifs non nuls\\
si $a \equiv b \mod 7$ alors pour tout entier naturel $n,~ a^n \equiv  b^n \mod 7$.
	\end{enumerate}
\item Pour $a = 2$ puis pour $a =  3$, déterminer un entier naturel $n$ non nul tel que $a^n \equiv  1 \mod 7$.
\item Soit $a$ un entier naturel non divisible par 7.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que : $a^6 \equiv 1 \mod 7$.
		\item On appelle \emph{ordre} de $a \mod 7$, et on désigne par $k$, le plus petit entier naturel non nul tel que $a^k \equiv 1 \mod 7$. Montrer que le reste $r$ de la division euclidienne de 
$6$ par $k$ vérifie $a^r \equiv 	1 \mod 7$.\\
En déduire que $k$ divise $6$.\\
Quelles sont les valeurs possibles de $k$ ?
		\item Donner l'ordre modulo 7 de tous les entiers $a$ compris entre $2$ et $6$.
	\end{enumerate}
\item A tout entier naturel $n$, on associe le nombre
\[A_{n} = 2^n  + 3^n + 4^n + 5^n + 6^n.\]
Montrer que $A_{2006} \equiv  6 \mod 7.$
\end{enumerate}}


\Exoi{\hfill (4 points)\\
Dans l'espace rapporté à un repère orthononnal $(O;\vec{i}, \vec{j},\vec{k})$, on considère les points $A(1;2;3)$, $B(0;1;4)$, $C(-1~;~-3~;~2)$, $D(4~;~-2~;~5)$ et le vecteur $\vect{n}(2\;;\;- 1\;;\;1)$.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les points A, B, C ne sont pas alignés.
		\item Démontrer que $\vect{n} $
 est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
		\item Déterminer une équation du plan $(ABC)$.
	\end{enumerate}
\item Soit ($\Delta $) la droite dont une représentation paramétrique est : $$\left\{ \begin{array}{l c l}
 x &=& 2 - 2t \\ 
 y &=&  - 1 + t \\ 
 z &=& 4 - t \\ 
 \end{array} \right.\qquad \text{avec} t \in \R$$
Montrer que le point $D$ appartient à la droite ($\Delta $) et que cette droite est perpendiculaire au plan $(ABC)$.
\item Soit E le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$.
\\
Montrer que le point $E$ est le centre de gravité du triangle $ABC$.
\end{enumerate}}
\pagebreak

\Exoi{\hfill (8 points)\\
\begin{enumerate}
\item  Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère la fonction $ f_{n}$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :
\[f_{n}(x) = \ln x + \dfrac{x}{n} - 1.\]
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de $f_{n}$ en $0$ et en $+\infty$ puis étudier le sens de variations de $ f_{n}$.
		\item Montrer que l'équation $ f_{n}(x) = 0$ admet une unique solution dans $]0~;~+ \infty[$. On note $\alpha_{n}$ cette solution. Montrer qu'elle appartient à l'intervalle $[1~;~e]$.
	\end{enumerate}
\item Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O;\vec{i}, \vec{j})$. On note ($\Gamma$) la courbe représentative de la fonction logarithme népérien.
	\begin{enumerate}
		\item Soit $n$ un entier naturel non nul. Déterminer une équation de la droite $\Delta_{n}$ passant par le point $A$ de coordonnées $(0 ; 1)$ et le point $B_{n}$ de coordonnées $(n ~;~0)$.
		\item  Faire un croquis représentant la courbe ($\Gamma$) et les droites $\Delta_{1}, ~\Delta_{2}$ et $\Delta_{3}$.
		\item  Montrer que $\alpha_{n}$ est l'abscisse du point d'intersection de ($\Gamma$) avec $\Delta_{n}$. 
		\item  Préciser la valeur de $\alpha_{1}$ puis faire une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(\alpha_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $\ln \left(\alpha_{n}\right)$ en fonction de $n$ et de $\alpha_{n}$.
		\item Exprimer $f_{n+1} \left(\alpha_{n}\right)$ en fonction de $n$ et de $\alpha_{n}$ et vérifier que : 
$$f_{n+1} \left(\alpha_{n}\right) < 0$$
		\item  Déduire de la question précédente le sens de variation de la suite $\left(\alpha_{n}\right)$.
		\item Montrer que la suite $\left(\alpha_{n}\right)$ converge. \\
		On note $\ell$ sa limite. Etablir que : $\ln \ell = 1$ et en déduire la valeur de $\ell$.
	\end{enumerate}
\item  On désigne par $\mathcal{D}_{n}$ le domaine délimité par la courbe ($\Gamma$), l'axe des abscisses et les droites d'équation : $x = \alpha_{n}$ et $x = \text{e}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer l'aire du domaine $\mathcal{D}_{n}$ en fonction de $\alpha_{n}$ et montrer que cette aire est égale à $\dfrac{\alpha_{n}^2}{n}$.
		\item Etablir que :
\[\left(\text{e} - \alpha_{n}\right) \ln \alpha_{n} \leqslant  \dfrac{\alpha_{n}^2}{n} \leqslant \left(\text{e} - \alpha_{n}\right)
.\]
		\item En déduire un encadrement de $n\left(\text{e} - \alpha_{n}\right)$.
		\item La suite de terme général $n\left(\text{e} - \alpha_{n}\right)$ est-elle convergente ? Ce résultat permet-il d'apprécier la rapidité de la convergence de la suite $\left(\alpha_{n}\right)$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}








\end{document}