  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 2 : Suites et récurrences }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}
\usepackage{pifont}


\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Complexes et exponentielles}	
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$ S}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
\newcommand{\Profs}{D.Rouymi/D.Sauzet/D.Zancanaro}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	PRemière Page
\pagestyle{empty}
\begin{framed}
\begin{center}
\begin{LARGE}
 BACCALAUREAT GENERAL BLANC
\end{LARGE}
\end{center}
\end{framed}


\vfill

\begin{Large}
\begin{center}
\underline{SESSION 2011}
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
\textbf{MATHEMATIQUES-NON SPECIALISTE}
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
Série : \textbf{S}
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
DUREE DE L'EPREUVE : \textbf{4 Heures}. COEFFICIENT : \textbf{7}.
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
\textbf{Ce sujet comporte 5 pages numérotées de 1 à 5.}
\end{center}
\end{Large}




\begin{Large}
\begin{center}
L’utilisation de la calculatrice est autorisée.
\end{center}
\end{Large}

\vfill
\begin{framed}
\begin{large}
\begin{center}
Le candidat doit traiter tous les exercices. 
\end{center}
Il est invité à faire sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il 
aura développé. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des 
raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. 
\end{large}
\end{framed}

\pagebreak
\clearpage
\pagenumbering{arabic}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\fancypagestyle{styleLyc}{%
\fancyhf{} 
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
	\fancyfoot[LE,LO]{{\scriptsize\textsl{ \Profs \\ Lycée \LyDav }}}
	\fancyfoot[C]{\scriptsize\textsl{\Cl \\ \Annee}}
\fancyfoot[LE,RO]{\bfseries\thepage / \pageref{LastPage}}
}
\pagestyle{styleLyc}
%\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Bac Blanc}
\rhead{Avril 2011}


\Cr{BAC BLANC}


\Exoi{\hfill (3 points)\\
\textit{Cet exercice est une restitution organisée de connaissances}\\
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Démontrer, à l'aide de la définition du nombre dérivé, que :
$$ \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x}=1$$
\item En déduire 
$$ \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin 4x}{x}$$
\end{enumerate}
\item \textbf{Prérequis} : définition d'une suite tendant vers plus l'infini.
\\
\og \emph{une suite tend vers $ + \infty $
 si, pour tout réel $A$, tous les termes de la suite sont, à partir d'un certain rang, supérieurs à $A$} \fg.
 \\
Démontrer le théoréme suivant : une suite croissante non majorée tend vers $ + \infty $.
\end{enumerate}}
\Exoi{\hfill (5 points)\\
\begin{enumerate} 
\item Résoudre dans $\C$ l'équation :
\[ 4z^2 - 12z + 153 = 0. \]
\item Dans le plan rapporté à un repère orthonormé 
\Ouv,  d'unité graphique 1~cm on considère les points $A$, $B$, $C$, $P$ d'affixes 
respectives : 
$$z_A = \dfrac{3}{2} + 
6i \qquad z_B = \dfrac{3}{2} - 6i\qquad z_C = - 
3 - \dfrac{1}{4}i\qquad \text{et}\qquad z_P = 3 + 2i$$
 et le vecteur
$\vect{w}$ d'affixe $z_{\vect{w}} = - 1 + \dfrac{5}{2}i$.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer l'affixe $z_Q$ du point $Q$, image du point $ B$ dans la translation $t$ de vecteur $\vect{w}$.
		\item Déterminer l'affixe $z_R$ du point $R$, image du point  $P$ par l'homothétie $h$ de centre $C$ et de rapport $- 
\dfrac{1}{3}$.
		\item Déterminer l'affixe $z_S$ du point $S$, image du point $P$ par la rotation $r$ de centre $A$ et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$.
\\Placer les points $P$, $Q$, $R$ et $S$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que le quadrilatère $PQRS$ est un 
parallélogramme.
		\item Calculer $$\dfrac{z_{R} - 
z_{Q}}{z_{P} - z_{Q}}$$
En déduire la nature précise du parallélogramme $PQRS$.
		\item Justifier que les points $P$, $Q$, $R$ et $S$ appartiennent à un 
même cercle, noté $\mathscr{C}$. On calculera l'affixe de son 
centre $\Omega$ et son rayon $\rho$.
	\end{enumerate}
\item La droite $(AP)$ est-elle tangente au cercle $\mathscr{C}$ ?
\end{enumerate}
}


\Exoi{\hfill (6 points)\\
On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par
\[f(x) = 1 + x \ln x.\]
On note $\mathscr{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O; I, J)$
\\
Toutes les aires considérées dans ce problème seront exprimées en unités d'aire.
\\
\textbf{Partie A}
\\
Le but de cette partie est de déterminer un encadrement de l'aire $\mathscr{A}$ du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathscr{C}_{f}$, et les deux droites d'équations $x = 1$ et $x = 2$.
\\
On note $M$ et $N$ les points de $\mathscr{C}_{f}$ d'abscisses respectives 1 et 2, $P$ et $Q$ leurs projetés orthogonaux respectifs sur l'axe des abscisses. La figure est donnée en annexe 1.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $f$ est positive sur $[1;2]$.
		\item  Montrer que le coefficient directeur de la droite $(MN)$ est $2\ln 2$.
		\item  Soit E le point d'abscisse $\dfrac{4}{e}$.
	\\
Montrer que, sur l'intervalle $[1;2]$, le point $E$ est l'unique point de $\mathscr{C}_{f}$ en lequel la tangente à $\mathscr{C}_{f}$ est parallèle à $(MN)$.
		\item  On appelle $T$ la tangente à $\mathscr{C}_{f}$ au point $E$.\\
Montrer qu'une équation de $T$ est : $y = (2\ln 2)x - \dfrac{4}{e} + 1$.
	\end{enumerate}
\item   Soit $g$ la fonction définie sur $[1;2]$ par : $g(x) = f(x) - \left[(2 \ln 2)x - \dfrac{4}{e} +  1\right]$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout $x$ de $[1;2]$ : $g'(x) = 1 + \ln \left(\dfrac{x}{4}\right)$.
		\item  Etudier les variations de $g$ sur $[1;2]$ et en déduire la position relative de $\mathscr{C}_{f}$ et de la tangente T sur cet intervalle.
	\end{enumerate}
\item Soient $M'$ et $N'$ les points d'abscisses respectives 1 et 2 de la droite $T$. On admet que la courbe $\mathscr{C}_{f}$ reste sous la droite $(MN)$ sur l'intervalle $[1 ; 2]$ et que les points
$M'$ et $N'$ ont des ordonnées strictement positives.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer les aires des trapèzes $MNQP$ et $M'N'QP$.
		\item  En déduire, à l'aide de la calculatrice, un encadrement de $\mathscr{A}$ d'amplitude $10^{-1}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Partie B}
\\
Le but de cette partie est de déterminer la valeur exacte de $\mathscr{A}$.
\begin{enumerate}
\item A l'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_{1}^2 x \ln x \:\text{d}x$.
\item En déduire la valeur exacte de $\mathscr{A}$.
\end{enumerate}}

\Exoi{\hfill (6 points)\\
\emph{On cherche à modéliser de deux façons différentes l'évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat, en fonction de l'année.}
\\
Les parties A et B sont indépendantes
\\
\textbf{Partie A : un modèle discret}
 \\
Soit $u_{n}$ le nombre, exprimé en millions, de foyers possédant un téléviseur à écran plat l'année $n$.
\\
On pose $n =0$ en 2005, $u_{0} = 1$  et, pour tout $n \geqslant 0,$
 \[u_{n+1} = \dfrac{1}{10}u_{n}\left(20 - u_{n } \right).\]
\begin{enumerate}
\item  Soit $f$ la fonction définie sur [0 ~;~ 20] par
\[ f(x)= \dfrac{1}{10}x(20 - x ).\]
	\begin{enumerate}
		\item  Etudier les variations de $f$ sur [0 ~;~ 20].
		\item En déduire que pour tout $x \in [0~;~20],~ f(x) \in [0~;~10]$.
		\item On donne en \textbf{annexe 2} la courbe représentative $\mathscr{C}$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormal.
		\\
Représenter, sur l'axe des abscisses,  à l'aide de ce graphique, les cinq premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant 0}$.
 	\end{enumerate}
\item Montrer par récurrence que pour tout $n \in  \N,~ 0 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 	10$.
\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant 0}$ est convergente et déterminer sa limite.
	\end{enumerate}
\textbf{Partie B : un modèle continu}
\\
Soit $g(x)$ le nombre, exprimé en millions, de tels foyers l'année $x$.
\\
On pose $x = 0$ en 2005,  $g(0) = 1$
et $g$ est une solution, qui ne s'annule pas sur $[0~; ~+\infty[$, de l'équation différentielle
\[(\text{E})\quad ;~~y' = \dfrac{1}{20}y(10 - y).\]
\begin{enumerate}
\item On considère une fonction $y$ qui ne s'annule pas sur $[0~; ~+\infty[$ et on pose $z = \dfrac{1}{y}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $y$ est solution de (E) si et seulement si $z$ est solution de l'équation différentielle :
		\[(\text{E}_{1})\quad  : ~~z' = - \dfrac{1}{2}z + \dfrac{1}{20}.\]
		\item  Résoudre l'équation (E$_{1}$) et en déduire les solutions de l'équation (E).
		\end{enumerate}
\item Montrer que $g$ est définie sur $[0~; ~+\infty[$ par $g(x) = \dfrac{10}{9\text{e}^{-\frac{1}{2}x} + 1}$.
\item Etudier les variations de $g$ sur $[0~; ~+\infty[$.
\item Calculer la limite de $g$ en $+ \infty$ et interpréter le résultat.
\item En quelle année le nombre de foyers possédant un tel équipement dépassera-t-il $5$~millions ?
\end{enumerate}}

\newpage

\begin{center} \textbf{ANNEXE 1} \par \par
\textbf{Cette page ne sera pas à remettre avec la copie}
\par

\bigskip

\psset{xunit=5cm,yunit=5cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(2.3,2.6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.2,-0.2)(2.3,2.6)
\psline(0.2,-0.2)(2.2,2.575)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=10,griddots=10,subgridcolor=orange](0,0)(-0.2,-0.2)(2.3,2.6)
\uput[d](2.25,0){$x$} \uput[l](0,2.55){$y$}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.001}{2.125}{x ln x mul 1 add}
\psline(1,1)(2,2.4)\uput[dl](0,0){O}
\uput[u](0.33,0.6){$\mathscr{C}_{f}$} \uput[u](0.35,0.04){T} \uput[ul](1,1){M} 
\uput[dr](1,0.9){M$'$} \uput[ul](1,0){P} \uput[dr](1.47,1.55){E} 
\uput[ul](2,2.4){N} \uput[dr](2,2.3){N$'$} \uput[ur](2,0){Q} 
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](1.471,1.5677)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](1,0)(1,1)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](2,0)(2,2.4)
\end{pspicture}
\end{center}



\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 2}

\bigskip

\textbf{à rendre avec la copie}

\bigskip

\psset{unit=0.66cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(24,14)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-3)(24,14)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(-4,-3)(24,14)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=1500]{0}{20}{20 x sub x mul 10 div}
\end{pspicture}
\end{center}







\end{document}